一. 特勒根定理

特勒根定理有两种形式：

（1）对同一个电路，设各支路电压、电流为 U_b,I_b ，则

sum_b U_bI_b=0

（2）对两个具有相同的图但不同内部元件的电路，支路电压电流分别记为 (U_b,I_b),(hat U_b,hat I_b) ，则

sum_b U_bhat I_b=0,quad sum_b hat U_b I_b=0

以上均是对所有支路求和。

特勒根定理是一个只与电路拓扑结构相关联的定理，即与具体元件无关。

换句话说，我们只需要使用基尔霍夫定律得到的电路方程，而无需使用线性元件得到的方程。

事实上，借助之前得到过的下表

中的第一行，我们有

bm U_b^Tbm I_b=bm U_n^T bm Abm I_b=bm U_n^T (bm Abm I_b)=0

而这恰好就是特勒根定理（写成了向量点乘）。另外，由于我们只用到了与拓扑结构相关的 bm A ，因此其中的 U,I 中的一个完全可以换成另外一个具有相同拓扑结构的电路中的量。

自此，我们用一个式子即证明了特勒根定理。

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二. 互易定理

互易定理是针对一个四端网络，具有激励和响应：

其中的 X,hat X 为激励，而 Y,hat Y 为响应。激励和响应可以是电流，也可以是电压。

假定四端网络内部没有独立电源和受控源，且激励均为单个激励（只有电流源或电压源），响应为单个物理量（即开路电压或短路电流）。

我们要研究的是保持原先的四段网络内部结构不变的情况下，将激励和响应交换位置后的结果。

注意：从第一个电路到第二个电路时，激励由左侧换到右侧，即从原先的响应端输入，并且激励具体值可以有改变。响应的变换同理。

互易定理的内容是：激励和响应互换位置后，响应与激励的比值不变。

根据具体激励和响应形式的不同，定理的数学描述也会有区别，但我们也可以用前面的知识统一起来说明。

首先根据前面的特勒根定理的（2）形式，我们有

bm U_b^That{bm I}_b=0,quad hat{bm U_b^T}{bm I}_b=0

注意到对于四端网络的那部分电路量（用N标记），我们有

bm U_b^{(N)}=bm R_b^{(N)}bm I_b^{(N)},quadhat{bm U}_b^{(N)}=bm R_b^{(N)}hat{bm I}_b^{(N)}

且没有受控源时 bm R_b^{(N)} 是对角矩阵。于是上两式可改写成

begin{cases} U_b^{(E)}hat I_b^{(R)}+U_b^{(R)}hat I_b^{(E)}+{bm I_b^{(N)}}^Tbm R_b^{(N)}{hat{bm I}_b^{(N)}}=0/ hat U_b^{(E)} I_b^{(R)}+hat U_b^{(R)} I_b^{(E)}+{hat{bm I}_b^{(N)}}^Tbm R_b^{(N)}{{bm I}_b^{(N)}}=0 end{cases}

其中：E是激励端，R是响应端。注意两电路中E,R有互换操作。

而由于bm R_b^{(N)} 对角，简单的线性代数表明

{bm I_b^{(N)}}^Tbm R_b^{(N)}{hat{bm I}_b^{(N)}}={hat{bm I}_b^{(N)}}^Tbm R_b^{(N)}{{bm I}_b^{(N)}}

因此两式相减得到

U_b^{(E)}hat I_b^{(R)}+U_b^{(R)}hat I_b^{(E)}=hat U_b^{(E)} I_b^{(R)}+hat U_b^{(R)} I_b^{(E)}

根据前面的假设，对响应的形式，我们有两种情况，即

（1）响应为电流，激励为电压

此时 U_b^{(R)}=hat U_b^{(R)}=0 ，从而

frac{I_b^{(R)}}{U_b^{(E)}}=frac{hat I_b^{(R)}}{hat U_b^{(E)}}

（2）响应为电压，激励为电流

此时 I_b^{(R)}=hat I_b^{(R)}=0 ，从而

frac{U_b^{(R)}}{I_b^{(E)}}=frac{hat U_b^{(R)}}{hat I_b^{(E)}}

注意到响应的这两种情况不能对激励和响应同为电流或电压的情况进行判断。

但如果是同种电路量的话，受到启发，我们可以构造第三种形式和第四种形式：

（3）激励和响应在交换前是电流，交换后是电压

此时 U_b^{(R)}=0,quadhat I_b^{(R)}=0，从而

frac{I_b^{(R)}}{I_b^{(E)}}=-frac{hat U_b^{(R)}}{hat U_b^{(E)}}

注意到此时有一个负号，说明此时流入一端的电流的正方向要进行改变。

（4）激励和响应在交换前是电压，交换后是电流

此时 I_b^{(R)}=0,quadhat U_b^{(R)}=0，从而

frac{U_b^{(R)}}{U_b^{(E)}}=-frac{hat I_b^{(R)}}{hat I_b^{(E)}}

同样要涉及正方向的改变。