2023广州中考数学的两道压轴题

网传今年广州中考数学的两道压轴大题如下:

今年这两道题的解题关键都是对几何图形的特殊性质(定点、定角)的猜想和证明,有难度。

24题:

第一问:n=1,送分;

第二问:对称轴为 x=frac{m-frac 2m}2=frac m2-frac 1m ,直接代入交点式,得到顶点坐标( frac m2-frac 1m,-(frac m2+frac 1m)^2 ),这个坐标公式留着,下一问直接用。

由基本不等式得, -(frac m2+frac 1m)^2leq -(2timessqrt{frac m2timesfrac 1m} )^2=-2 ,此时 frac m2=frac 1m, m=-sqrt2

第三问,一下子冒出很多个点,让人眼花缭乱。一个一个理一下,关注其特性:

容易发现G点坐标为(0,mn),mn=-2,G点为定点;

M,N为x轴上的点,纵坐标为0;

F点为关键点,横坐标为0,FMGN四点共圆, angle GFN=angle GMNRightarrow frac {|FO|}{|ON|}=frac{|MO|}{|GO|}Rightarrow frac {|FO|}{-frac 2m}=frac{-m}{|-2|}Rightarrow |FO|=1 ,所以F为定点(0,1),线段FG定长为3

所以C点的纵坐标恒为 -frac 12 , C点、E点横坐标都是 frac m2-frac 1m

因为FG//CE,所以四边形FGEC为平行四边形的充要条件为FG=CE

-(frac m2+frac 1m)^2+frac 12=-3

易得 (frac m2-frac 1m)^2=-(frac m2+frac 1m)^2-2=frac32

所以此时E的坐标为( -frac{sqrt6}2,-frac72 )或( frac{sqrt6}2,-frac72

25题:

第一问:

AB=BC=CF, angle FBA=angle FBE-angle ABE=angle CBE-angle ABE=angle ABC-2angle ABE=60^0

所以三角形ABF为等边三角形,送分。

第二问:由正方形和对称,猜想角AGC为直角,

由AB=BC=BF,尝试作BM垂直于AF于M,联系到图形旋转,作BN垂直CG,如果能证明BM垂直BN,则可知角AGC为直角

易证三角形FMB与三角形CNB全等,所以 angle NBC=angle MBF=angle MBARightarrow angle MBN=angle ABC=90^0

所以 angle AGB=angle BGC=45^0

如果三角形BGF为等腰三角形,则角F为45度,或角FBG=45度,或 angle F=angle FBG=67.5^0 ,前两种情况下,E点与A,D重合。第三种情况下, angle ABE=angle FBG-2angle FBM=angle FBG-2(90^0-angle FBG)=22.5^0

第三问:

易知ABCDG五点共圆。

因为三角形BCG和三角形BFG全等,所以当G为劣弧AD中点时,BC边上的高最大,三角形面积最大。

取BC中点H和正方形中心O,由正方形和圆的对称性可知,AH为BC边上的高,

GH=OH+OG=frac12AB+frac{sqrt2}2AB

S_{triangle BGF}=frac12AHtimes AB=frac14(1+sqrt2)AB^2=frac{27+9sqrt3}4

此时 angle ABE=angle DBE=22.5^0 , frac {AE}{DE}=frac{AB}{BD}=frac1{sqrt2}

AE=frac1{1+sqrt2}AD=sqrt3


有趣的是,21年中考数学,广州难,深圳易;22年,广州易,深圳难;今年,广州难,深圳?拭目以待。

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