微积分是大学数学教育中最重要的基础课．经过三百多年的发展，这一课程的基本内容已经定型，并且已经有了为数众多的教材(其中不乏优秀之作)．但是，人们仍然感到微积分的教和学都不是一件容易的事．究其原因，恐怕与这门学科本身的历史进程有关．

　　微积分这座大厦是从上往下施工建造起来的．微积分诞生之初就显示了强大的威力，解决了许多过去认为是高不可攀的困难问题，取得了辉煌的胜利．创始微积分的大师们着眼于发展强有力的方法，解决各式各样的问题．他们没有来得及为这门新学科建立起经得起推敲的严格的理论基础．在以后的发展中，后继者才对逻辑的细节作了逐一的修补．重建基础的细致工作当然是非常重要的，但也给后世的学习者带来了不利的影响．微积分本来是一件完整的艺术杰作，现在却诐拆成碎片，对每一细部进行详尽的、琐细的考察．每一细节都弄得很清楚了，完整的艺术形象却消失了．今日的初学者在很长一段时间里只见树木不见森林．在微积分创始时期刺激了这一学科飞速发展的许多重要的应用问题，今日的初学者却几乎一无所知．因为这些应用往往涉及到微分方程，而微分方程则要等待到漫长的学究式的考察完成之后再到另一门课程中去学习．P．Lax，S．Burstein和A．Lax在他们合著的《微积分及其应用与计算》(有人民教育出版社出版的中译本)序言中批评道："传统的课本很象一个车间的工具帐，只载明这儿有不同大小的锤子，那儿有锯子，而刨子则在另一个地方，只教给学生每种工具的用法而很少教学生将这些工具一起用于构造某寸、真正有意义的东西"．

　　黾然越来越多的人认识到分析教学中的这一缺憾，但要改变这-状况也并不容易的：因为数学分析在漫长的岁月中已形成一个庞大的知识体系，牵一发而动全身，任何改动都必须作全局通盘考虑，稍有疏忽就难免顾此失彼．

　　本书的前身是北京大学数学系《数学分析》基础课教学改革实验讲义．改革方案的基调是：强调启发性；强调数学内在的统一性；重视学生能力的培养．

　　我们希望尽可能早一点让初学者对分析的全貌有一个轮廓的印象，尽可能早一点让初学者学会用分析的方法去解决问题．为了达到这一日的，我们在准备好基础之后，不拘泥于每一细节的深入详尽的讨论，也不追求最一般的条件，而是尽快地层示分析的主要概念(导数、原函数、积分，微分方程)并应用这些概念去解决一些重要而有趣的问题．等到学生对全貌有了初步的印象之后，再具体进行涉及细节的讨论．根据这样的方案进行试验，学生在第一学期就能掌握一元函数微积分的基本理论和方法，能用初等的微分方程解应用问题，并能了解历史上应用微积分的一些最著名的例子．

　　虽然《数学分析》课程的基本内容已经定型，我们仍然尝试加入了一些在理论上或应用上有重要意义，经适当处理之后又能放入基础课的材料．例如：利用微分形式的积分证明著名的Brou-wer不动点定理；利用Fourier级数的封闭性方程去解等周问题，等等．

　　实数理论的教学，历来是一个棘手的问题．从逻辑顺序来说，这一部分材料应该摆在开头的地方，而初学者在一开始时又很难接受这些内容．我们考虑再三，最后采取的折衷方案是：在讲义中较详细地写出实数理论(不过分学究气)，但在讲课时却只扼要地说明实数的连续性．可以基于学生已有的关于无尽小数的知识，概述一下讲义中关于确界原理的证明–主要是说明怎样构造一个无尽小数，它的各不足近似值都是下界．而过剩近似值都不是下界．至于所构造的数应是集合的下确界．这一事实容易为学生所接受．讲授"实数"这一章时，甚至可以略去§1、§2和§3的大部分内容，只简要地介绍上、下确界的概念，然后重点讲解§4与§5 讲义中的详细内容可供学生经过一段时间的学习之后再回过头来复习时用，那时他们就可以进一步理解较细致的论述了．

　　从教学改革实验到最后整理写成本书，在整个过程中作者得到了北京大学数学系领导与同事们多方面的关心与帮助．在此谨向李忠、邓东皋、姜伯驹、方企勤、敖海龙等同志致谢．

　　美国加州大学伯克莱分校的项武义教授关心祖国的教育事业．作者曾就教学改革问题向他请教，获益实多．借此机会谨向项先生表示衷心感谢．

　　张筑生

　　1988年12月于北京大学

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