古希臘是如何繞過定積分求得拋物線弓形的面積(第一彈)

前兩天在知乎上康到這個問題

那個阿基米德之死的故事大傢應該都聽過,但是阿基米德時期並沒有出現定積分……

實際上他是用一系列技巧性極高的方法來完成的,而且出現瞭類似微分無限細分的思想,然後加上一些物理原理:重心和杠桿原理。up豬給瞭一個視頻鏈接

因為up豬太懶,這裡選擇一種取巧的方法來說明問題

對於一個弓形,可以以拋物線的頂點為標準分割成兩個含原點的弓形和一個三角形,然後三角形的面積很好求,重點其實就是在求包含原點的弓形

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拋物線: y=ax^{2}D(x_{0},ax_{0}^{2}) ,E為線段CD上任一點,EFG三點共線且平行於拋物線對稱軸

因為 l_{CD}y=ax_{0}x ,可設 E(x_{1},ax_{0}x_{1})

過點D的切線方程: y=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}

CE:CD=x_{0}:x_{1}

EF:EG=frac{ax_{0}x_{1}-ax_{1}^{2}}{ax_{0}x_{1}-(2ax_{0}x_{1}-ax_{0}^2)}=frac{x_{1}(x_{0}-x_{1})}{x_{0}(x_{0}-x_{1})}=frac{x_{1}}{x_{0}}

所以 CE:CD=EF:EG

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取CH中點I為杠桿的支點,ID為杠桿,作D關於I的對稱點J,所以IJ=ID,結合上面證明的比例和相似三角形有

IJtimes EF=EGtimes IK

在這裡,我們把拋物線弓形和三角形看成有質量的實體,給上面那個方程兩邊乘上一些物理量

rho gtimes IJtimes EFtimes hdx= rho gtimes IKtimes EGtimes hdx

其中h是厚度,ρ是密度,g是重力加速度,所以這個等式相當於被綠色直線截取下來的一小段在杠桿上產生的力矩相等,也就是說,如果把所以從拋物線上截取下來的線段全部疊加到J點上,杠桿兩邊是平衡的

而三角形那些合力矩的效果,可以視為全部集中在重心M上,而重心M是中線的三等分點

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IM:IJ=IM:ID=1:3

而力臂長和受到的重力呈反比,重力又是和體積成正比,

所以S_{弓形}=frac{1}{3}S_{Delta DCH}

所以把弓形的面積轉化為瞭三角形面積


但是這種方法雖然巧妙,但並不是嚴謹的數學證明,但是阿基米德從中獲得瞭靈感之後給出瞭一個數學證明,也就是窮竭法

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