對於一般實系數三次方程：

ax^3+bx^2+cx+d=0tag{1}

方程兩邊同除以 a ，再令：

x=y-frac{b}{3a}tag{2}

我們有：

y^3+py+q=0tag{3}

其中：

p=-frac{b^2-3ac}{3a^2}，q=frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}\

接下來，令：

y=u+vtag{4}

代入 (3) ，並合並同類項，有：

u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0tag{5}

令：

3uv+p=0tag{6}

代入 (5) ，有：

u^3+v^3=-qtag{7}

再由 (6) 得：

uv=-frac{p}{3}tag{8}

所以 u^3v^3=-frac{p^3}{27} ，與 (7) 式聯立可知，u^3，v^3 是方程 z^2+qz-frac{p^3}{27}= 0 的根，解之，有：

z_{1,2}=-frac{q}{2}pmsqrt{frac{q^2}{4}+frac{p^3}{27}}\

考慮到 u，v 的順序，不妨令：

u^3=-frac{q}{2}+sqrt{frac{q^2}{4}+frac{p^3}{27}}，v^3=-frac{q}{2}-sqrt{frac{q^2}{4}+frac{p^3}{27}}\

故有：

u=begin{cases} sqrt[3]{-dfrac{q}{2}+sqrt{dfrac{q^2}{4}+dfrac{p^3}{27}}}\ sqrt[3]{-dfrac{q}{2}+sqrt{dfrac{q^2}{4}+dfrac{p^3}{27}}}·ω\ sqrt[3]{-dfrac{q}{2}+sqrt{dfrac{q^2}{4}+dfrac{p^3}{27}}}·ω^2 end{cases}，v=begin{cases} sqrt[3]{-dfrac{q}{2}-sqrt{dfrac{q^2}{4}-dfrac{p^3}{27}}}\ sqrt[3]{-dfrac{q}{2}-sqrt{dfrac{q^2}{4}-dfrac{p^3}{27}}}·ω\ sqrt[3]{-dfrac{q}{2}-sqrt{dfrac{q^2}{4}-dfrac{p^3}{27}}}·ω^2 end{cases}\

其中 ω=-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i ，是 1 的三次單位根。

u，v 的取值必須滿足 (8) 式，否則就有九種組合方式。據此選擇合適的 u，v 值，再由 (4) 式便可得方程 (3) 的解：

begin{cases} y_1=sqrt[3]{-dfrac{q}{2}+sqrt{dfrac{q^2}{4}+dfrac{p^3}{27}}}+sqrt[3]{-dfrac{q}{2}-sqrt{dfrac{q^2}{4}+dfrac{p^3}{27}}}\ y_2=sqrt[3]{-dfrac{q}{2}+sqrt{dfrac{q^2}{4}+dfrac{p^3}{27}}}· ω+sqrt[3]{-dfrac{q}{2}-sqrt{dfrac{q^2}{4}+dfrac{p^3}{27}}}· ω^2\ y_3=sqrt[3]{-dfrac{q}{2}+sqrt{dfrac{q^2}{4}+dfrac{p^3}{27}}}· ω^2+sqrt[3]{-dfrac{q}{2}-sqrt{dfrac{q^2}{4}+dfrac{p^3}{27}}} ·ω end{cases}tag{9}

再由 (2) 式，我們便得到瞭方程 (1) 的解。

為使求根公式稍加美觀，也為瞭方便四次方程求根公式的推導，我們重設 p=frac{b^2-3ac}{3a^2} ，於是公式 (9) 變為：

begin{cases} y_1=sqrt[3]{-dfrac{q}{2}+sqrt{dfrac{q^2}{4}-dfrac{p^3}{27}}}+sqrt[3]{-dfrac{q}{2}-sqrt{dfrac{q^2}{4}-dfrac{p^3}{27}}}\ y_2=sqrt[3]{-dfrac{q}{2}+sqrt{dfrac{q^2}{4}-dfrac{p^3}{27}}}· ω+sqrt[3]{-dfrac{q}{2}-sqrt{dfrac{q^2}{4}-dfrac{p^3}{27}}}· ω^2\ y_3=sqrt[3]{-dfrac{q}{2}+sqrt{dfrac{q^2}{4}-dfrac{p^3}{27}}}· ω^2+sqrt[3]{-dfrac{q}{2}-sqrt{dfrac{q^2}{4}-dfrac{p^3}{27}}} ·ω end{cases}tag{10}

此即為卡爾丹公式。

此時 (8) 式變為：

uv=frac{p}{3}tag{11}

令 Δ=frac{q^2}{4}-dfrac{p^3}{27} ，稱其為實系數三次方程的卡爾丹判別式，那麼有如下根的判別法則：

① 當 Δ>0 時，方程有一個實根和一對共軛虛根。

② 當 Δ=0 且 pq≠ 0 時，方程有一個兩重實根和一個單重實根。

③ 當 Δ<0時，方程有三個互異實根。

最後，作為一個特殊情況，有：

④ 當 p=q=0 時，方程有一個三重實根。

對於判別法則 ③ ，結論並不顯然，而且計算也略顯繁雜，所以在此另外推導當 Δ< 0 時之公式。

當 Δ<0 時， u^3 和 v^3 變為：

u^3=-frac{q}{2}+sqrt{-Δ}i，v^3=-frac{q}{2}-sqrt{-Δ}i\

利用復數開方法則，我們有：

u=begin{cases} sqrt{dfrac{p}{3}}left(cosdfrac{θ}{3}+isindfrac{θ}{3}right)\ sqrt{dfrac{p}{3}}left[cosleft(dfrac{θ}{3}+dfrac{2π}{3}right)+isinleft(dfrac{θ}{3}+dfrac{2π}{3}right)right]\ sqrt{dfrac{p}{3}}left[cosleft(dfrac{θ}{3}-dfrac{2π}{3}right)+isinleft(dfrac{θ}{3}-dfrac{2π}{3}right)right]\ end{cases}\ v=begin{cases} sqrt{dfrac{p}{3}}left(cosdfrac{θ}{3}-isindfrac{θ}{3}right)\ sqrt{dfrac{p}{3}}left[cosleft(dfrac{θ}{3}+dfrac{2π}{3}right)-isinleft(dfrac{θ}{3}+dfrac{2π}{3}right)right]\ sqrt{dfrac{p}{3}}left[cosleft(dfrac{θ}{3}-dfrac{2π}{3}right)-isinleft(dfrac{θ}{3}-dfrac{2π}{3}right)right]\ end{cases}\

其中： θ=arccosleft(frac{-q/2}{sqrt{p^3/27}}right) 。利用 (11) 式選取合適的 u 和 v ，再由 (4) 式即可得方程 (3) 當 Δ<0 時的求根公式：

begin{cases} y_1=2sqrt{dfrac{p}{3}}cosdfrac{θ}{3}\ y_{2,3}=2sqrt{dfrac{p}{3}}cosleft(dfrac{θ}{3}pm dfrac{2π}{3}right) end{cases}tag{12}

同樣由 (2) 式，便可得方程 (1) 的根。

為瞭方便推導實系數四次方程的求根公式和判別法則，我們有如下結論：

當 Δ=0 且 pq≠0 時，方程 (3) 的根不僅可由公式 (10) 求解，亦可由公式 (12) 求解。

至於此結論的證明，隻需利用等於零的判別式作一個簡單的參數代換，然後分 q>0 和 q<0 兩種情況討論，最後再與公式 (12) 計算出的結果相比較即可———這是容易的，在此省略。

至此，卡爾丹公式推導完畢。另外，隻要 u，v 滿足約束條件 (11) ，公式 (10) ——也就是 Δ>0 時的公式也可以用來求解復系數三次方程。