一般實系數三次方程的求根公式———卡爾丹公式的推導

對於一般實系數三次方程:

ax^3+bx^2+cx+d=0tag{1}

方程兩邊同除以 a ,再令:

x=y-frac{b}{3a}tag{2}

我們有:

y^3+py+q=0tag{3}

其中:

p=-frac{b^2-3ac}{3a^2},q=frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}\

接下來,令:

y=u+vtag{4}

代入 (3) ,並合並同類項,有:

u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0tag{5}

令:

3uv+p=0tag{6}

代入 (5) ,有:

u^3+v^3=-qtag{7}

再由 (6) 得:

uv=-frac{p}{3}tag{8}

所以 u^3v^3=-frac{p^3}{27} ,與 (7) 式聯立可知,u^3,v^3 是方程 z^2+qz-frac{p^3}{27}= 0 的根,解之,有:

z_{1,2}=-frac{q}{2}pmsqrt{frac{q^2}{4}+frac{p^3}{27}}\

考慮到 u,v 的順序,不妨令:

u^3=-frac{q}{2}+sqrt{frac{q^2}{4}+frac{p^3}{27}},v^3=-frac{q}{2}-sqrt{frac{q^2}{4}+frac{p^3}{27}}\

故有:

u=begin{cases} sqrt[3]{-dfrac{q}{2}+sqrt{dfrac{q^2}{4}+dfrac{p^3}{27}}}\ sqrt[3]{-dfrac{q}{2}+sqrt{dfrac{q^2}{4}+dfrac{p^3}{27}}}·ω\ sqrt[3]{-dfrac{q}{2}+sqrt{dfrac{q^2}{4}+dfrac{p^3}{27}}}·ω^2 end{cases},v=begin{cases} sqrt[3]{-dfrac{q}{2}-sqrt{dfrac{q^2}{4}-dfrac{p^3}{27}}}\ sqrt[3]{-dfrac{q}{2}-sqrt{dfrac{q^2}{4}-dfrac{p^3}{27}}}·ω\ sqrt[3]{-dfrac{q}{2}-sqrt{dfrac{q^2}{4}-dfrac{p^3}{27}}}·ω^2 end{cases}\

其中 ω=-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i ,是 1 的三次單位根。

u,v 的取值必須滿足 (8) 式,否則就有九種組合方式。據此選擇合適的 u,v 值,再由 (4) 式便可得方程 (3) 的解:

begin{cases} y_1=sqrt[3]{-dfrac{q}{2}+sqrt{dfrac{q^2}{4}+dfrac{p^3}{27}}}+sqrt[3]{-dfrac{q}{2}-sqrt{dfrac{q^2}{4}+dfrac{p^3}{27}}}\ y_2=sqrt[3]{-dfrac{q}{2}+sqrt{dfrac{q^2}{4}+dfrac{p^3}{27}}}· ω+sqrt[3]{-dfrac{q}{2}-sqrt{dfrac{q^2}{4}+dfrac{p^3}{27}}}· ω^2\ y_3=sqrt[3]{-dfrac{q}{2}+sqrt{dfrac{q^2}{4}+dfrac{p^3}{27}}}· ω^2+sqrt[3]{-dfrac{q}{2}-sqrt{dfrac{q^2}{4}+dfrac{p^3}{27}}} ·ω end{cases}tag{9}

再由 (2) 式,我們便得到瞭方程 (1) 的解。

為使求根公式稍加美觀,也為瞭方便四次方程求根公式的推導,我們重設 p=frac{b^2-3ac}{3a^2} ,於是公式 (9) 變為:

begin{cases} y_1=sqrt[3]{-dfrac{q}{2}+sqrt{dfrac{q^2}{4}-dfrac{p^3}{27}}}+sqrt[3]{-dfrac{q}{2}-sqrt{dfrac{q^2}{4}-dfrac{p^3}{27}}}\ y_2=sqrt[3]{-dfrac{q}{2}+sqrt{dfrac{q^2}{4}-dfrac{p^3}{27}}}· ω+sqrt[3]{-dfrac{q}{2}-sqrt{dfrac{q^2}{4}-dfrac{p^3}{27}}}· ω^2\ y_3=sqrt[3]{-dfrac{q}{2}+sqrt{dfrac{q^2}{4}-dfrac{p^3}{27}}}· ω^2+sqrt[3]{-dfrac{q}{2}-sqrt{dfrac{q^2}{4}-dfrac{p^3}{27}}} ·ω end{cases}tag{10}

此即為卡爾丹公式。

此時 (8) 式變為:

uv=frac{p}{3}tag{11}

Δ=frac{q^2}{4}-dfrac{p^3}{27} ,稱其為實系數三次方程的卡爾丹判別式,那麼有如下根的判別法則:

① 當 Δ>0 時,方程有一個實根和一對共軛虛根。

② 當 Δ=0pq≠ 0 時,方程有一個兩重實根和一個單重實根。

③ 當 Δ<0時,方程有三個互異實根。

最後,作為一個特殊情況,有:

④ 當 p=q=0 時,方程有一個三重實根。

對於判別法則 ③ ,結論並不顯然,而且計算也略顯繁雜,所以在此另外推導當 Δ< 0 時之公式。

Δ<0 時, u^3v^3 變為:

u^3=-frac{q}{2}+sqrt{-Δ}i,v^3=-frac{q}{2}-sqrt{-Δ}i\

利用復數開方法則,我們有:

u=begin{cases} sqrt{dfrac{p}{3}}left(cosdfrac{θ}{3}+isindfrac{θ}{3}right)\ sqrt{dfrac{p}{3}}left[cosleft(dfrac{θ}{3}+dfrac{2π}{3}right)+isinleft(dfrac{θ}{3}+dfrac{2π}{3}right)right]\ sqrt{dfrac{p}{3}}left[cosleft(dfrac{θ}{3}-dfrac{2π}{3}right)+isinleft(dfrac{θ}{3}-dfrac{2π}{3}right)right]\ end{cases}\ v=begin{cases} sqrt{dfrac{p}{3}}left(cosdfrac{θ}{3}-isindfrac{θ}{3}right)\ sqrt{dfrac{p}{3}}left[cosleft(dfrac{θ}{3}+dfrac{2π}{3}right)-isinleft(dfrac{θ}{3}+dfrac{2π}{3}right)right]\ sqrt{dfrac{p}{3}}left[cosleft(dfrac{θ}{3}-dfrac{2π}{3}right)-isinleft(dfrac{θ}{3}-dfrac{2π}{3}right)right]\ end{cases}\

其中: θ=arccosleft(frac{-q/2}{sqrt{p^3/27}}right) 。利用 (11) 式選取合適的 uv ,再由 (4) 式即可得方程 (3)Δ<0 時的求根公式:

begin{cases} y_1=2sqrt{dfrac{p}{3}}cosdfrac{θ}{3}\ y_{2,3}=2sqrt{dfrac{p}{3}}cosleft(dfrac{θ}{3}pm dfrac{2π}{3}right) end{cases}tag{12}

同樣由 (2) 式,便可得方程 (1) 的根。

為瞭方便推導實系數四次方程的求根公式和判別法則,我們有如下結論:

Δ=0pq≠0 時,方程 (3) 的根不僅可由公式 (10) 求解,亦可由公式 (12) 求解。

至於此結論的證明,隻需利用等於零的判別式作一個簡單的參數代換,然後分 q>0q<0 兩種情況討論,最後再與公式 (12) 計算出的結果相比較即可———這是容易的,在此省略。

至此,卡爾丹公式推導完畢。另外,隻要 u,v 滿足約束條件 (11) ,公式 (10) ——也就是 Δ>0 時的公式也可以用來求解復系數三次方程。

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