0. 寫在前面

第一次編輯: 第一次用 rm LaTeX 排版寫文章，格式爛得一批，輕噴。畢竟各位都是學習知識的，排版能看就行吧

第二次編輯: 鑒於第一次排版實在是太爛瞭，所以重新寫瞭一遍

封面圖片來源[侵刪]:

1. 定理內容

首先說明這裡的達佈和定理的內容

Darboux定理：對任意在 [a,b] 上有界的函數 f(x) ,恒有:

begin{align} & lim_{lambda rightarrow 0}{overline{s}(P)}=L & lim_{lambda rightarrow 0}{underline{s}(P)}=l end{align}\

1. p是[a,b]上的任意劃分，P:a=x_0<x_1<x_2< cdots <x_{n-1}<x_n;

2. lambda=maxlimits_{1{leq}i{leq}n}(Delta x_{i})

3. L=inf{{overline{s}(P)|{overline{s}(P)inoverline{S}}}}

4. overline{S} 是一切可能劃分的得到的Darboux大和的集合

2. 思路分析

我們這裡僅討論上和的極限，下和的討論也是完全類似的，所以在這裡不贅述.

2.1 證明極限

想要證明一個極限，比如 limlimits_{xrightarrow1}x=1 ,我們需要用 varepsilon-delta 語言來規范的描述.

begin{align*} forallvarepsilon>0 ,existsdelta>0, {rm s.t}left | x-1 right | <delta 時，有left | f(x)-1right | <varepsilon end{align*}\

2.2 類比證明

把上面的證明過程類比到這個情況下即為:

boxed{ begin{gather} 1.quad forallvarepsilon>0,existsdelta>0 \ downarrow \ {color{Red}{(此時必然對應這一個劃分P滿足這個區間屬性)} } end{gather}}\

boxed{ begin{gather} 2. quad s.t;|lambda-0|<varepsilon \ downarrow \ {color{red}{(這裡比較特殊，區間長度lambda是大於0的，所以就是lambda<varepsilon)}} end{gather} }\

boxed{ begin{gather} 3.quad |{overline{s}(P)}-L|<varepsilon \ downarrow \ {color{red}{(這裡也比較特殊，因為大和不增的性質[下邊證明過程中會有說明],所以{overline{s}(P)}-L>0>-varepsilon的， 所以隻需要證明{overline{s}(P)}-L<varepsilon即可)}} end{gather} }\

2.3 著手證明

現在著手分析怎麼證明 {overline{S}(P)}-L<varepsilon ：

我們要抓住確界原理。這裡的因為這裡的

begin{align*} {overline{S}(P)}>(b-a)cdotmin_{xin[a,b]}{f(x)} end{align*}\

所以 {overline{s}(P)} 有下確界,記為 L .接著我們做變換

begin{align*} overline{S}(P)-L=overline{S}(P)-overline{S}(P^{'})+overline{S}(P^{'})-L end{align*}\

此時後邊的 overline{S}(P^{'})-L 正是確界的性質

現在由確界原理可以知道

begin{align*} forallvarepsilon>0,0<overline{S}(P^{'})-L<frac{varepsilon}{2} end{align*}\

因而現在我們隻要能夠解決

begin{align*} overline{S}(P)-overline{S}(P^{'})<frac{varepsilon}{2} end{align*}\

這也是為什麼我要把 overline{S}(P)-L 拆開的原因，不然這麼好一個確界性質擺在那裡不用就太可惜瞭吧.其實下邊我們還要充分運用 overline{S}(P) 的相關性質，因為 lambda<varepsilon 就是一個我們證明能夠用到的條件, 這裡你可以認為 lambda 與 P 是對應的.

2.4 證明目標

現在我們就隻需要證明

begin{align*} overline{S}(P)-overline{S}(P^{'})<frac{varepsilon}{2} end{align*}\

你可以想一想我們還有一個滿足 lambda<delta 所對應的劃分 P 還沒有使用，現在就要開始使用劃分 P 的相關性質瞭.但是因為 overline{S}(P) 和 overline{S}(P^{'}) 中的兩個劃分並沒有很強的聯系，所以我們又可以又一個常規的操作:把劃分 P^{'} 插入到劃分 P 中，得到（構造）劃分 P^{*} , 此時即可以利用到大和不增的性質：

begin{align*} overline{S}(P^{*})<overline{S}(P), quadoverline{S}(P^{*})<overline{S}(P^{'}) end{align*}\

所以我們又可以把

begin{align*} overline{S}(P^{*})<overline{S}(P), quad overline{S}(P^{*})<overline{S}(P^{'}) end{align*}\

這兩個東西塞到

begin{align*} overline{S}(P)-overline{S}(P^{'})<frac{varepsilon}{2} end{align*}\

裡邊瞭,於是即證明

begin{align*} overline{S}(P)-overline{S}(P^{'}) & =overline{S}(P)-overline{S}(P^{*}) +overline{S}(P^{*})-overline{S}(P^{'}) \[5pt] & <frac{varepsilon}{2} end{align*}\

這裡能夠塞進去是因為前面有大和不增的性質，即:

begin{align*} overline{S}(P^{*})-overline{S}(P^{'})leq0 end{align*}\

現在就隻需要找到這樣的 delta 滿足當 lambda<delta 時, 滿足如下的性質：

begin{align*} overline{S}(P)-overline{S}(P^{*})<frac{varepsilon}{2} end{align*}\

由於我們不知道劃分 P^{'}是怎麼插入劃分 P 中的，所以我們邊取以一種比較特殊的插入方式，將 x_1,x_2,…，x_{scriptscriptstyle P-1} 這 (P-1) 個點插入每個區間 (x_{i-1},x_{i}) 中.

他們二者的差可以看作是 (P-1) 個區間上差的求和，現在我們考慮 [x_{i-1},x_i] 這個區間。這個區間插入瞭點 x_j ,令 {M_i}^{'},{M_i}^{''} 分別為區間 [x_{i-1},x_j],[x_j,x_i] 上的函數 f(x) 的上確界。

M_{i} 為未插入 x_j 時的 f(x) 的上確界。於是 overline{S}(P)-overline{S}(P^{*}) 可以表示為:begin{align} Delta_{i} &= M_i(x_{i}-x_{i-1})-[{M_i}^{'}(x_{j^{'}}-x_{i-1})+{M_i}^{''}(x_{i}-x_{j^{'}})] \[5pt] &= M_i(x_{i}-x_{j^{'}}+x_{j^{'}}-x_{i-1})-[{M_i}^{'}(x_{j^{'}}-x_{i-1})+{M_i}^{''}(x_{i}-x_{j^{'}})]\[5pt] &= (M_i-{M_i}^{'})(x_{i}-x_{j^{'}})+(M_i-{M_i}^{''})(x_{j^{'}}-x_{i-1})\[5pt] &le (M_i-m_i)(x_{i}-x_{j^{'}})+(M_i-m_i)(x_{j^{'}}-x_{i-})\[5pt] &le (M-m)(x_{i}-x_{j^{'}})+(M-m)(x_{j^{'}}-x_{i-})\[5pt] &le (M-m)(x_{i}-x_{i-1}) end{align}\

於是就有

begin{align*} (P-1)(M-m)(x_i-x_{i-1})<varepsilon end{align*}\

註意：我們前邊假設的劃分 P 滿足

begin{align*} lambda=maxlimits_{1{leq}i{leq}n}(Delta x_{i})<delta. end{align*}\

所以我們有 begin{align*} (P-1)(M-m)(x_i-x_{i-1})<(P-1)(M-m)delta end{align*}\現在我們要令

begin{align*} overline{S}(P)-overline{S}(P^{*})<frac{varepsilon}{2} end{align*}\

即 (P-1)(M-m)delta<frac{varepsilon}{2} , 解得

begin{align*} delta=frac{varepsilon}{2(P-1)(M-m)} end{align*}\

這就是你們心心念念的 delta

2.5 思路完善

由於由於我們采取瞭一種比較特殊的插入方式，將 x_1,x_2,…，x_{P-1} 這 (P-1) 個點插入每個區間 (x_{i-1},x_{i}) 中.

接下來我們用 delta 的范圍的限制來實現我們的這種插值方法。隻需要 Delta x_i<Delta x_{j^{'}} 即可。

因為如果同一個小區間 (x_{i-1},x_{i}) 內插入瞭兩個點 x_{j^{'}},x_{{j-1}^{'}} ,那麼 Delta x_{j^{'}}<Delta x_{i} 瞭，於是就產生瞭矛盾。

這時我們隻需要取

begin{align*} delta=min{{Delta x_{1^{'}}},Delta x_{2^{'}},Delta x_{j3^{'}},…，Delta x_{p^{'}},frac{varepsilon}{2(P-1)(M-m)}} end{align*}\即可實現我們的目的

3. 證明整理

接下來就是復制粘貼答案瞭, 圖片如下:

4. 參考

文章靈感來源 @村雨無月 ，十分感謝，下邊就是他的文章鏈接，本文的證法也有參見此文章。

但是寫本文更主要目的還是為瞭記錄自己花瞭4個小時弄懂的這個達佈定理。並且試圖從思路上一步一步的來解決這個問題，不至於思路混亂，都不知道自己在做哪一步，或者是這一步有什麼作用。