• 三种重要的矢量场（有势场、管形场、调和场）

1. 有势场：设有矢量场A(M)，若存在单值函数u(M)，满足 bar A=grad u ，则称这个矢量场为有势场，令v=-u，则v为这个场的势函数。

1）有势场是一个梯度场；有势场的势函数有无穷个，它们之间只差一个常数

2）在线单连域内矢量场A为有势场的充要条件时A为无旋场

3）“场有势”“场无旋（rot A=0）”“场保守（场内曲线积分与路径无关）”彼此等价

2.管形场：设有矢量场A(M)，若其散度div A=0，则称这个矢量场为管形场（即为无源场）。

1） 在面单连域内矢量场A为管形场的充要条件：A为另一个矢量场B的旋度场，即 bar A=rotbar B ，满足条件的矢量场B，称为矢量场A的矢势量。

2） 设管形场A所在的空间区域为一面单连域，在场中任取一个矢量管。假定 S_{1} 和 S_{2} 时它的任意两个横断面，其法向量 n_{1} 和 n_{2} 都朝向矢量A所指的一侧，则有 int_{}^{}int_{}^{}bar A_{S_{1}}cdot dbar S_{1}=int_{}^{}int_{}^{}bar A_{S_{2}}cdot dbar S_{2}

穿过同一个矢量管的所有横断面的通量都相等（常数，称之为矢量管的强度）

3. 调和场：如果在矢量场A中恒有 div bar A=0 和 rotbar A ，称此矢量场为调和场

1）势函数u为调和函数，满足拉普拉斯方程 frac{partial^{2}u}{partial x^{2}}+frac{partial^{2}u}{partial y^{2}}+frac{partial^{2}u}{partial z^{2}}=0

为方便表述，我们引入微分算子 Delta=frac{partial^{2}}{partial x^{2}}+frac{partial^{2}}{partial y^{2}}+frac{partial^{2}}{partial z^{2}}

2）平面调和场：定义u为平面调和场A的力函数，则u与v构成共轭调和函数

• 哈密顿算子

1.引入哈密顿算子 ▽equivfrac{partial}{partial x}bar i+frac{partial}{partial y}bar j+frac{partial}{partial z}bar k

引入数性微分算子 bar Acdot ▽=A_{x}frac{partial}{partial x}+A_{y}frac{partial}{partial y}+A_{z}frac{partial}{partial z}

2. 运算规则

▽u=frac{partial u}{partial x}bar i+frac{partial u}{partial y}bar j+frac{partial u}{partial z}bar k

▽cdot bar A=frac{partial A_{x}}{partial x}+frac{partial A_{y}}{partial y}+frac{partial A_{z}}{partial z}

▽times u=(frac{partial A_{z}}{partial y}-frac{partial A_{y}}{partial z} ) bar i+(frac{partial A_{x}}{partial z}-frac{partial A_{z}}{partial x} ) bar j+(frac{partial A_{y}}{partial x}-frac{partial A_{x}}{partial y} ) bar k

即

grad u=▽u

div bar A=▽cdot bar A

rot bar A=▽times bar A

3. 奥斯特罗格拉茨基公式 int_{}^{}int_{}^{}bar{A}cdot dbar{s}=int_{}^{}int_{}^{}int_{}^{}(▽cdot bar A) dV

4.格林公式

（格林公式推广至三维即为斯托克斯公式）

5. 斯托克斯公式 oint_{l}^{}bar Acdot dbar l=intint (▽timesbar A)cdot dbar S

4. 一些常见的公式（c为常数， bar c 为常矢，u、v为数性函数， bar A 、 bar B 为矢性函数）

▽(cu)=c▽u

▽cdot(cbar A)=c▽cdotbar A

▽times(cbar A)=c▽timesbar A

▽(upm v)=▽upm▽v

▽cdot(bar Apm bar B)=▽cdot bar Apm▽cdot bar B

▽times(bar Apm bar B)=▽times bar Apm▽times bar B

▽cdot (u bar c)=▽ucdot bar c

▽times (u bar c)=▽utimes bar c

▽(uv)=u▽v+v▽u

▽cdot (ubar A)=u▽cdot bar A+▽ucdot bar A

▽times (ubar A)=u▽times bar A+▽utimes bar A

▽cdot (▽u)=Delta u

▽cdot (▽u)=Delta u

▽cdot (▽timesbar A)=0

▽times (▽times bar A)=▽(▽cdot bar A)-Delta bar A

5. 若 bar r=x bar i+ybar j +zbar k ，则

▽bar r=bar r^{o} （原方向上的单位矢量）

▽cdot bar r=3

▽times bar r=bar 0

2019.12.21 BUAA Dorm

/Mozart L'opera Rock Complete Recording/