微分的变量代换解法千变万化，有时难以找出该如何进行代换。此处总结几类有规律代换

常见的典型类型如下一、二、三、，不再列举例子

一、欧拉方程

x^{n}y^{(n)}+p_{1}x^{n-1}y^{(n-1)}+…+p_{n}y=f(x)中令x=e ^{t}

则有x^{k}y^{(k)}=D(D-1)·…·(D-k+1)y,代入即可得一个以t为

自变量的常系数线性微分方程

二、齐次方程 frac{dy}{dx}=f(frac{y}{x}) 中令 frac{y}{x}=t

三、可降阶的高阶微分方程

(1)y''=f(x,y')中令y'=p

(2)y''=f(y,y')中令y'=p

其它不常见的代换

四、形如frac{dy}{dx}=f(ax+by+c)的方程,令t=ax+by+c

从而frac{dt}{dx}=a+bfrac{dy}{dx},于是原方程就化为frac{dt}{dx}=a+bf(t)

这是一个可分离变量的微分方程

例、求frac{dy}{dx}=sin^{2}(x-y+1)的通解

解:令t=x-y+1,frac{dt}{dx}=1-frac{dy}{dx},所以原方程可以化为frac{dt}{cos^{2}t}=dx

所以通解为tant=x+C，即tan(x-y+1)=x+C

练习:求微分方程frac{dy}{dx}=frac{x-y+5}{x-y-2}的通解

答案为(x-y)^{2}+10x+4y=C供检验

五、形如yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的方程,令t=xy,

dy=frac{xdt-tdx}{x^{2}},则原方程可化为frac{t}{x}(f(t)-g(t))dx+g(t)dt=0

这是一个可分离变量的微分方程

例、求微分方程(1-xy+x^{2}y^{2})dx+(x^{3}y-x^{2})dy=0的通解

解:在方程两边同时乘以xy,整理得

y(1-xy+x^{2}y^{2})dx+x(x^{2}y^{2}-xy)dy=0,令t=xy,dy=frac{xdt-tdx}{x^{2}}

代入得tdx+x(t^{2}-t)dt=0,即frac{1}{x}dx+(t-1)dt=0,两边积分得

ln|x|+frac{1}{2}(z-1)^{2}=C_{1},即ln|x|+frac{1}{2}x^{2}y^{2}-xy=C

练习:求微分方程(y+xy^{2})dx+(x-x^{2}y)dy=0的通解

答案为ln|frac{x}{y}|-frac{1}{xy}=C供检验

六、利用反函数导数代入求微分方程题

例、求微分方程y''+3(y')^{2}-2x(y')^{3}=0的通解

解:令y=f(x),其反函数为varphi(y),则f'(x)=frac{1}{varphi'(y)}Rightarrow

varphi'(y)=frac{1}{f'(x)},varphi''(y)=frac{dvarphi'(y)}{dy}=frac{d(frac{1}{f'(x)})}{dy}=frac{-f''(x)}{[f'(x)]^{3}}

所以原方程可化为-varphi''(y)f'^{3}(x)+3f'^{2}(x)-2varphi(y)f'^{3}(x)=0

即-varphi''(y)+3varphi’(y)-2varphi(y)=0，此为二阶线性常系数微分方程

不难解得x=varphi(y)=C_{1}e^{y}+C_{2}e^{2y}

七、三角函数类代换

此类代换常借助三角函数恒等式的灵活转化，形式多样，此处仅举两例做示范

例、求微分方程y''cosx-2y'sinx+3ycosx=e^{x}的通解

令t=ycosx，则t'=-ysinx+y'cosx,

t''=-y'sinx-ycosx+y''cosx-y'sinx

代入得t''+4t=e^{x},

此方程易解得z=ycosx=C_{1}cos2x+C_{2}sin2x+frac{e^{x}}{5}即为通解

例、求微分方程frac{dy}{dx}+x(sin2y-x^{2}cos^{2}y)=0的通解

解:两边同除以cos^{2}y后得frac{1}{cos^{2}y}frac{dy}{dx}+x(2tany-x^{2})=0

令t=tany,得frac{dt}{dx}+2xt=x^{3},

此方程易解得tany=frac{1}{2}(x^{2}-1)+Ce^{-x^{2}}

八、利用全微分拼凑后再变量代换

例、求微分方程y(y+1)dx+[x(y+1)+x^{2}y^{2}]dy=0的通解

解:利用d(xy)=xdy+ydx原方程可变为(y+1)d(xy)+(xy)^{2}dy=0

Rightarrow frac{d(xy)}{(xy)^{2}}+frac{dy}{y+1}=0,此为可分离变量的微分方程

易解得通解为-frac{1}{xy}+ln|y+1|=C

九、与原函数相结合的变量代换

例、F(x)是f(x)的一个原函数,满足F(x)f(x)=frac{xe^{x}}{2(1+x)^{2}},F(0)=1,求f(x)

解:换元令t=F^{2}(x),故得[F^{2}(x)]'=frac{xe^{x}}{(1+x)^{2}},

F^{2}(x)=intfrac{xe^{x}}{(1+x)^{2}}dx=frac{e^{x}}{1+x}+C,又F(0)=1Rightarrow C=0

所以F(x)=sqrt{frac{e^{x}}{1+x}},f(x)=F'(x)=frac{xe^{frac{x}{2}}}{2(1+x)^{frac{3}{2}}}