一、漸近線的定義

定義：曲線上一點M沿曲線無限遠離原點或無限接近間斷點時，如果M到一條直線的距離無限趨近於零，那麼這條直線稱為這條曲線的漸近線。

分類：根據漸近線的位置，可以將他們分為水平漸近線、鉛直漸近線和斜漸近線。其中：

• 如果 lim_{x rightarrow x_{0}}{f(x)}=infty ，且 x_0 為函數間斷點，則 x=x_0 為 f(x) 的鉛直漸近線。
• 如果 lim_{x rightarrow infty}{f(x)}=y_0 ，則 y=y_0 為 f(x) 的水平漸近線。
• 如果 lim_{x rightarrow infty}{[f(x)-(ax+b)]}=0 ，其中 a,b 為常數，則 y=ax+b 是 f(x) 的斜漸近線。

本文討論水平漸近線，斜漸近線和漸近曲線（漸進曲線將在後面給出解釋）。

二、引入例題

例一：求 f(x)=frac{x^2+3x-2}{x-5} 的斜漸近線。（設漸近線為 y=ax+b ）

• 標準解法：先求斜率，再求截距。

原式 =frac{38}{x-5}+x+8

容易看出 lim_{x rightarrow infty}{(frac{f(x)}{x})}=1=a ， lim_{x rightarrow infty}{(f(x)-ax)}=lim_{x rightarrow infty}{(f(x)-x)}=8=b

則斜漸近線為 y=x+8

• 同樣標準的解法：

lim_{x rightarrow infty}{(frac{f(x)}{x})} 為不定式，使用洛必達求導數的極限

原式 = lim_{x rightarrow infty}{(f'(x))}=lim_{x rightarrow infty}{-frac{1}{(x-5)^2}}+lim_{x rightarrow infty}{(x+8)’}=0+1=1

lim_{x rightarrow infty}{(f(x)-ax)}=lim_{x rightarrow infty}{(f(x)-x)}=8

則斜漸近線為 y=x+8

函數斜率的極限，便是其漸近線的斜率。

• 不標準的分析型解法：

如果 lim_{x rightarrow infty}{|f(x)-(ax+b)|}=0 ，那麼 y=ax+b 就是 f(x) 的漸近線

同時 lim_{x rightarrow infty}{|f(x)-(ax+b)|}=0 Leftrightarrow lim_{x rightarrow infty}{f(x)}=lim_{x rightarrow infty}{(ax+b)}

結論體現瞭 f(x) 與 ax+b 在接近無窮大時趨於重合。

事實上，如果假設 f(x)=g(x)+(ax+b)

其中我們確保 lim_{x rightarrow infty}{g(x)}=0

那麼lim_{x rightarrow infty}{f(x)}

=lim_{x rightarrow infty}{g(x)}+lim_{x rightarrow infty}{(ax+b)} （這一步並不是極限的加法分配律，而是無窮小的性質）

=0+lim_{x rightarrow infty}{(ax+b)}

=lim_{x rightarrow infty}{(ax+b)}

在討論有理函數時，若 Q(x)=frac{p(x)}{q(x)} ，其中 q(x),p(x) 為關於 x 的多項式。若 p(x) 的次數比 q(x) 高一次，則函數能寫成 Q(x)=(ax+b)+frac{p_2(x)}{q(x)} 的形式，其中 p_2(x) 的次數小於 q(x) 的次數。

令 g(x)=frac{p_2(x)}{q(x)}

那麼 g(x) 通常以 frac{p(x)}{q(x)} 求商後的餘項 frac{P_{n}(x)}{P_{n+k}(x)} 的形式出現。其中分子多項式的次數小於分母，所以其在無窮處極限為0。這個餘項是函數 f(x) 與其漸近線之間的偏差量，而其在遠離原點的地方逐漸減少至無窮小。

例一中，原式 =frac{38}{x-5}+x+8，其中 lim_{x rightarrow infty}{frac{38}{x-5}}=0

那麼在無窮遠處隻剩下瞭 x+8 ，所以直觀地，其漸近線為 y=x+8 。

• 練習：用分析法求 f(x)=frac{sin(5x)}{x}+frac{1}{2}x+2 的漸近線

解：註意到 lim_{x rightarrow infty}{frac{sin(5x)}{x}}=0 （有界乘以無窮小），

那麼 lim_{x rightarrow infty}{f(x)}

=lim_{x rightarrow infty}{frac{sin(5x)}{x}}+lim_{x rightarrow infty}{frac{1}{2}x+2}

=0+lim_{x rightarrow infty}{frac{1}{2}x+2}

=lim_{x rightarrow infty}{frac{1}{2}x+2} ，函數在無窮遠處與 y=frac{1}{2}x+2 重合。

那麼其漸近線為 y={frac{1}{2}x+2}

練習題函數圖像

三、漸近曲線

繼續研究下去，我們考慮更一般的情況，並設計一些好看的函數：

此時我們的漸近線將不隻是直線。

若lim_{x rightarrow infty}{|f(x)-A(x)|}=0 ，即 lim_{x rightarrow infty}{f(x)}=lim_{x rightarrow infty}{A(x)} ，這意味著在無窮遠處 f(x) 與 A(x) 重合，那麼 A(x) 圖像是 f(x) 的漸近曲線(Curved Asymptote)。下面設計 f(x) 時稱 A(x) 為目標函數。

為瞭使函數更加生動，再為 f(x)添加一個與 A(x) 的偏差量 g(x) ，令 lim_{x rightarrow infty}{g(x)}=0 。稱 g(x) 為趨近方式。

為瞭更好地理解 g(x) 的意義，我們可以考慮三個典型的趨近方式。

1. 反比式： f(x) 為有理函數時， g(x)=frac{P_n(x)}{P_{n+k}(x)} ，其逼近呈類似反比的形式，單調地從一側逼近目標函數。

2. 震蕩式： g(x)=frac{sin(kx)}{x} ， f(x) 以 幅度逐漸減少的上下震蕩 向目標函數 A(x) 逼近。

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3. 跳躍式： g(x)=frac{1+sin(kx)}{x} ， f(x) 以 幅度逐漸減少的震蕩 從單側 向目標函數 A(x) 逼近。

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這種逼近方式還有一個有趣的地方，因為 0leqfrac{1+sin(kx)}{x}leqfrac{2}{x} ，所以我們再令 g(x)=frac{2}{x} ，作出以反比式逼近的圖像並放在同一個坐標系中：

函數恰好在兩條曲線之間跳躍！而且無論目標函數 A(x) 是任意曲線，都會出現這樣的一幕。

之後我們就可以選擇不同的目標函數 A(x) ，和不同的逼近方式 g(x) ，來生成一些函數：

f(x)=x^2+frac{sin(kx)}{x} （震蕩式逼近拋物線）

f(x)=sinx+frac{1}{x} （反比逼近正弦波）

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f(x)=frac{1}{2}sinx+frac{1+sinkx}{x} 與 f(x)=frac{1}{2}sinx+frac{2}{x} （跳躍逼近正弦波1）

f(x)=frac{1}{10}sin(10x)+frac{1+sinkx}{x} 與 f(x)=frac{1}{10}sin(10x)+frac{2}{x}（跳躍逼近正弦波2）

f(x)=frac{1}{2}arctanx+frac{sin(kx)}{x} 與其上下界

f(x)=cosx+sin(frac{100}{x})

如果各位有更妙的函數可以分享一下。

四、隱函數的漸近線

「待續...」