2.2.0 前言

上一節：2.1 圖形與方程

下一節：2.3 涉及平面和直線的度量關系

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本節闡述平面和直線的方程。

2.2.1 正文

2.2.1.1 平面方程

平面的參數方程

一般式方程

這裡用一下行列式的拆分性質，就易得到公式2.3。

1處：考慮向量外積時的坐標式，不難理解這裡的A，B，C不全為0。

綜上得到瞭這麼一個結論：平面可由一般方程(系數不全為0的關於x，y，z的一次方程)表示，反過來一般方程隻表示平面。

e.g1

1處：直接套用系數的公式，求得A,B,C,D。或者直接求行列式(可以先用拆分，再用拉普拉斯展開)。

向量平行於平面的充要條件

這個證明我真的服。

系數A，B，C，D 的幾何意義

8663746c6573588acf8b41bfd23ad84a

用定理2.1不難推出上面的結論。

命題2.1

註意0:0在這裡是有意義的，將其視作1:1。

補充

命題2.2

附錄例1.19

1處：(xa+yb+zr,b,r)=(xa+yb+zr )times b.r=xatimes b.r+zr times b.r=xatimes b.r =x(a,b,c)。

其實這個例子跟高等代數已經緊密聯系起來瞭。高等代數在解n個n元線性方程組有唯一解的充要條件就是行列式不為0。

2.2.1.2 直線方程

直線的點向式方程

直線的一般方程

e.g(好題)

這道題需要首先判斷出M_0不在直線l且不在平面pi上(直接帶點驗證)，然後判斷出l與pi是相交的(l的方向向量並不與pi平行)。畫出大概的草圖

c8a14fb1889a00f29d572e982c17308d

求l_1不能用點向式，因為不明確它的方向向量，故而隻能用一般式。

pi_1是不難求的，如書上所述，通過pi_1與pi平行，然後代點求得。

pi_2則是通過已知兩個方向向量及pi_2上一點求得。

一般方程轉點向方程

如果學過高等代數的話，其實這個問題並不難，沒學過也行，就是基本的消元代值。

解1可以得到一個u(x,y,z)，解2可以得到直線的一個點。

已知直線點向式方程和平面一般方程，判斷二者關系

已知直線一般式方程和平面一般方程，判斷二者關系

先算行列式，如果行列式不為零，那麼有唯一交點；如果行列式為零，那麼隻有無窮解和無解的情況，此時進行矩陣消元，看系數矩陣的秩是不是小於增廣矩陣的秩，小於便是無解，等於便是無窮解。

已知直線一般式方程和平面一般方程，判斷直線是否在平面上

共軸平面系

b39ff70df7bf762b1dfd9630ab5ea3e5

lambda,mu全為0，那麼x,y,z可以任意取值，這就不可能是一個平面瞭。

e.g1(好題)

e.g2

方法2就有點難想瞭。

已知兩個直線的點向式方程，判斷二者關系

1處：當且僅當u_1,u_2的坐標成比例。

2處：證明implies是顯然的，證明impliedby:當u_1和u_2平行時，結論也是顯然的，當u_1和u_2不平行時，可得M_1M_2由u_1u_2線性表出的，此時l_1,l_2必然是相交的，如果不是相交，那麼就是異面，但此時M_1M_2是不能由u_1u_2線性表出的，導出矛盾。

此時當且僅當三者坐標的行列式為0。

3處：當u_1,u_2的坐標成比例，且將其中任何一個點代入到另外一個直線方程是合法的。

至於直線不都是由點向式方程表示的，推薦轉為點向式後再來判斷二者之間的關系，觀察有時候是不容易的。

e.g

我覺得直接用觀察的話，還不如直接轉點向式。

2.2.2 總結

平面方程

1. 平面的參數式方程(向量推導，少用)和一般式方程(常用)。
2. 平面可由一般方程(系數不全為0的關於x，y，z的一次方程)表示，反過來一般方程隻表示平面。
3. 向量r=(a,b,c)平行於平面pi :Ax+By+Cz+D=0的充要條件是Aa+Bb+Cc=0。
4. 平面一般式方程pi :Ax+By+Cz+D=0的幾何意義：A=0 iff pi平行於x軸，B=0 iff pi平行於y軸，C=0 iff pi平行於z軸，D=0 iff pi過原點。註意，這裡的x軸，y軸，z軸不一定是直角坐標系的軸，它是仿射坐標系上的軸。
5. 假定平面一般式方程pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0;pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0。則pi_1 // pi_2 iff A_1:A_2=B_1:B_2=C_1:C_2，pi_1 = pi_2 iff A_1:A_2=B_1:B_2=C_1:C_2=D_1:D_2。
6. 假定平面一般式方程pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0;pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0。則pi_1與pi_2不平行當且僅當A_1,B_1,C_1和A_2,B_2,C_2不成比例。
7. 假定平面一般式方程pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0;pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0;pi_3:A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0。則pi_1,pi_2,pi_3相交於一點的充要條件為

直線方程

1. 直線的點向式方程(標準方程和參數式方程)。
2. 直線的一般方程。
3. 一般方程轉點向方程：求方向向量和直線上一點。
4. 已知直線點向式方程和平面一般方程，判斷二者關系。
5. 已知直線一般式方程和平面一般方程，判斷二者關系行列式，秩等來判斷）。
6. 已知直線一般式方程和平面一般方程，判斷直線是否在平面上的一個方法：假定直線l的涉及的兩個平面為pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0;pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,則直線l在平面pi上的一個充要條件為存在不全為0的實數s,t使得s(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+t(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0就是平面pi的方程。
7. 共軸平面系。
8. 已知兩個直線的點向式方程，判斷二者關系。
9. 至於直線不都是由點向式方程表示的，推薦轉為點向式後再來判斷二者之間的關系，觀察有時候是不容易的。

2.2.3 參考

1. 解析幾何_視頻課程
2. 《解析幾何》，尤承業編著