好久没有更新了，今天介绍一个非常有趣的概率论模型—-ASEP。

先来看一下维基的介绍：

为了更好理解，先来看一个实际生活（？）中可能遇到的例子。

假设你和女/男朋友在高速公路上大吵了一架，他很生气的开车离开了。

左边的小车是你的车，右边的是你朋友的车，ta非常生气的开走了！

现在你便开车去追她，但是你自己也很生气，觉得根本不全是你的错，所以你每开一公里，就停下来想一下，到底是继续去追ta，还是往回开。这个决定实在是太难了，你一时拿不准主意。还好，你手边有一个硬币，所以你抛硬币，如果花朝上就追，数字朝上就不追。但是呢，这个硬币又不是很规则，花超上的概率是p，字朝上的概率是1-p。你花在决定的时间上是一个参数为1的指数分布。

你在开车的时候呢，ta也是又后悔又生气，所以他也和你一样，每开一公里，就停下来做相同的事情，思考加扔硬币，你们俩的硬币还都是一样的不规则，ta花在这个上面的时间也是参数为1的指数分布。

今天实在是太巧了，刚好是消防演习，所以路上有超级多的消防车，演习中心为了锻炼消防车的反应能力，会随机的让他们朝前一公里或者朝后一公里，刚好领导是学过点概率论并且觉得泊松分布很靠谱，所以就用泊松分布来锻炼他们，也就是向前是参数为p的泊松，向后是参数为1-p的泊松分布。

那我们知道，消防车铃声一响，所有私家车都得让道，但是很明显私家车不能这样要求消防车。

那现在我们想算一下，你和ta相遇并且停下来讨论一下你们的问题的概率是多大？

那我们现在来搞个数学模型，首先我们定义三个不同类型的particle, bulletcircledastbigcirc ，我们把 bullet 成为第一类粒子（first-class particle）， circledast 第二类粒子（second-class particle）， bigcirc 洞（hole）。他们分别代表消防车，小汽车，和空白的一公里。他们的优先级顺序是 bulletpreccircledastprecbigcirc ，也就是消防车高于小汽车高于空白的一公里。

那我们考虑下面的情形 cdotsbulletbulletbulletcircledastcircledastbigcircbigcircbigcirccdots

也就是如果i,j是三个类型中的一个，i在j左边第一个位置，那么i能以rate p跳到j的位置当且仅当i的优先级高于j。同样也适用于i在j右边的第一个位置。

那我们现在定义一下collision

那我们现在要算的就是collision能否在有限的时间里发生，发生的概率是多大。

如果我们考虑初始状态是 cdotsbulletbulletbulletcircledastcircledastbigcircbigcircbigcirccdots ,那我们能得到两个second-class particle在有限的时间里collide的概率是 frac{1+p}{3p} 。如果初始状态是 cdotsbulletbulletbulletcircledastbigcirccircledastbigcircbigcircbigcirccdots ，那概率就是 frac{1+2p^2}{6p^2} 。

如果我们这里让p=1，也就是你一心向前追，ta也一心向前跑，那么你们能谈谈的概率分别是2/3和1/2。这种被叫做TASEP。

如果我们看上面两个概率的图像的话

就会发现如果p<=1/2的话，你们一定会在有限的时间内停下来谈谈的！所以可见遇到事情扔硬币决定还是很科学的！（但其实我们一般不考虑p<=1/2，因为这种情形略微有点平凡…）

Interacting particle system 真的非常有趣！并且和random matrix 也有很大的联系！等之后有时间在更新一些其他的模型（或者证明）！。

以上定理来自于：

P.A. Ferrari, P. Goncalves, J. Martin, Collision probabilities in the rarefaction fan of asymmetric exclusion processes, https://arxiv.org/abs/0804.1770