近期有一个单片机小项目，需要用到少量数学知识，结果发现相关数学知识我已经生疏了。于是我复习和推导了一遍相关数学知识，最终完成了小项目，顺带整理这份数学笔记。

一、欧拉公式的证明

已知 small{theta} 为实数，试证明 small{e^{itheta}=costheta+isintheta} .

small{becausecostheta+isinthetaneq0/ therefore e^{itheta}=costheta+isintheta Leftrightarrow frac{e^{itheta}}{costheta+isintheta}=1/ therefore不妨设 f(theta)=frac{e^{itheta}}{costheta+isintheta}}

small{于是，}

small{begin{aligned}f'(theta) &=frac{(e^{itheta})'cdot(costheta+isintheta)-(costheta+isintheta)'cdot e^{itheta}}{(costheta+isintheta)^2}/ &=frac{ie^{itheta}cdot(costheta+isintheta)-(-sintheta+icostheta)cdot e^{itheta}}{(costheta+isintheta)^2}/ &=frac{ie^{itheta}costheta+i^2e^{itheta}sintheta+e^{itheta}sintheta-ie^{itheta}costheta}{(costheta+isintheta)^2}/ &=frac{ie^{itheta}costheta-e^{itheta}sintheta+e^{itheta}sintheta-ie^{itheta}costheta}{(costheta+isintheta)^2}/ &=0 end{aligned}}

small{begin{split} &即 f(theta)=c（c为常数）/ &therefore f(theta)=f(0)=frac{e^{icdot 0}}{cos 0+isin 0}=frac{e^0}{1+icdot 0}=frac{1}{1}=1/ &therefore frac{e^{itheta}}{costheta+isintheta}=1/ / &therefore e^{itheta}=costheta+isintheta end{split}}

二、虚数单位 small{i} 的几何含义

已知复数 small{z=a+icdot b} ，其中small{i} 为虚数单位， small{a,b}为任意实数，且small{a,b}不同时为0（即 small{a^2+b^2neq0}），试求 small{zcdot{i}} 的几何含义。

解： small{由题可知，|z|=sqrt{a^2+b^2}neq0}

small{therefore可设costheta=frac{a}{sqrt{a^2+b^2}}, sintheta=frac{b}{sqrt{a^2+b^2}}}

small{begin{aligned} 则z&=a+icdot b/ &=sqrt{a^2+b^2}cdot(frac{a}{sqrt{a^2+b^2}}+icdotfrac{b}{sqrt{a^2+b^2}})/ &=sqrt{a^2+b^2}cdot(costheta+icdotsintheta)cdotscdots(1)/ &=sqrt{a^2+b^2}cdot e^{icdottheta} end{aligned}}

small{又because i=0+icdot 1=cos{frac{pi}{2}}+icdotsinfrac{pi}{2}=e^{icdot(pi/2)}}

small{begin{aligned}therefore zcdot i &= sqrt{a^2+b^2}cdot e^{icdottheta}cdot e^{icdot(pi/2)}/&=sqrt{a^2+b^2}cdot e^{icdottheta+icdot(pi/2)}/&=sqrt{a^2+b^2}cdot e^{icdot{(theta+pi/2)}}/ &=sqrt{a^2+b^2}cdot big[cos(theta+frac{pi}{2})+isin(theta+frac{pi}{2})big]cdots (2)/ end{aligned}}

对比(1)(2)两式可知， small{zcdot i} 相当于将 small{z} 绕复平面原点逆时针旋转 small{frac{pi}{2}} 弧度。显然，当 small{z=0} 时，small{zcdot i} 同样可以理解为将 small{z} 绕复平面原点逆时针旋转 small{frac{pi}{2}} 弧度。

结论：虚数单位 small{i} 的几何意义体现在当它与任意复数相乘时，相当于将该复数绕复平面原点逆时针旋转 small{frac{pi}{2}} 弧度。

三、傅里叶级数

1、标准正弦函数的解析式为 small{f(t)=Asin(wt+varphi)+b}。

该函数表示振福为 small{A}，偏置为 small{b}，角频率为 small{w}，周期为 small{T=frac{2pi}{w}}，频率为 small{f=frac{1}{T}=frac{w}{2pi}}，初相为 small{varphi} 的简谐振动。

2、在物理上，复杂的周期运动都可以看成是许多不同角频率的简谐振动的线性叠加。

具体地，一切复杂的周期运动都可以看成是角频率为 small{w}（基频、一次谐频）、small{2w}（二次谐频）、small{3w}（三次谐频）…… small{nw}（ small{n} 次谐频）…… 的简谐振动的线性叠加。因此可以使用：

small{begin{aligned}f(t)&=sum_{n=1}^{infty}{Big[A_{n}sin(nwt+varphi_n)+b_nBig]}/ &=sum_{n=1}^{infty}{A_{n}sin(nwt+varphi_n)+sum_{n=1}^{infty}b_n}/ &=sum_{n=1}^{infty}b_n+sum_{n=1}^{infty}{A_{n}sin(nwt+varphi_n)}cdotscdots(3) end{aligned}}

来表示任意的复杂周期运动。

3、推导傅里叶级数的展开式

由于 small{sin(alpha+beta)=sinalphacosbeta+cosalphasinbeta} ，所以(3)式可化为：

small{begin{aligned} f(t) &=sum_{n=1}^{infty}{b_n}+sum_{n=1}^{infty}{A_n(sin{nwt}cos{varphi_n}+cos{nwt}sin{varphi_n})}/ &=sum_{n=1}^{infty}{b_n}+sum_{n=1}^{infty}{A_n(cos{varphi_n}sin{nwt}+sin{varphi_n}cos{nwt})}/ &=sum_{n=1}^{infty}{b_n}+sum_{n=1}^{infty}{(A_ncos{varphi_n}sin{nwt}+A_nsin{varphi_n}cos{nwt})}/ &=sum_{n=1}^{infty}{b_n}+sum_{n=1}^{infty}{(A_nsin{varphi_n}cos{nwt}+A_ncos{varphi_n}sin{nwt})}/ end{aligned}}

令 small{begin{aligned} sum_{n=1}^{infty}{b_n}=A_0 end{aligned}}， small{A_nsin{varphi_n}=a_n}， small{A_ncos{varphi_n}=b_n}（ small{A_0}、 small{a_n}、 small{b_n}显然都是常数），则上式可进一步化为：

small{begin{aligned} f(t)&=A_0+sum_{n=1}^{infty}{(a_ncos{nwt}+b_nsin{nwt})}cdotscdots(4)/ end{aligned}}

(4)式即为 small{f(t)} 的傅里叶级数展开式。

4、如何计算(4)式中的 small{A_0}、 small{a_n} 和 small{b_n} 等参数的值？

根据三角函数的图像性质可知： small{cos {nwt}} 和 small{sin{nwt}} 的周期都为 small{T_n=frac{2pi}{nw}} ，所以small{cos {nwt}} 和 small{sin{nwt}} 在区间 small{[-frac{pi}{w},frac{pi}{w}]} 上都恰好有 small{n} 个完整周期，所以small{cos {nwt}} 和 small{sin{nwt}} 在区间 small{[-frac{pi}{w},frac{pi}{w}]} 上的积分（或面积）都恰好为0，所以：

small{begin{aligned} &int_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}{a_ncos{nwt} dt}=a_nint_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}{cos{nwt} dt}=a_ncdot0=0/ &int_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}{b_nsin{nwt} dt}=b_nint_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}{sin{nwt} dt}=b_ncdot0=0/ end{aligned}}

因此，如果在区间 small{[-frac{pi}{w},frac{pi}{w}]} 上对(4)式积分（求面积），将可以求得 small{A_0} 的值：

small{begin{aligned} int_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}&{f(t)} dt = int_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}{A_0 dt} + int_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}{sum_{n=1}^{infty}{(a_ncos{nwt}+b_nsin{nwt})}} dt/ &=big[A_0big]_{-frac{pi}{w}}^{ frac{pi}{w}} + int_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}{sum_{n=1}^{infty}{a_ncos{nwt}} dt} + int_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}{sum_{n=1}^{infty}{b_nsin{nwt}} dt}/ &=big[A_0big]_{-frac{pi}{w}}^{ frac{pi}{w}} + {sum_{n=1}^{infty}int_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}{a_ncos{nwt}} dt} + {sum_{n=1}^{infty}int_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}{b_nsin{nwt}} dt}/ &=big[A_0big]_{-frac{pi}{w}}^{ frac{pi}{w}} + 0 + 0/ &=big[A_0big]_{-frac{pi}{w}}^{ frac{pi}{w}}/ &=bigg[frac{pi}{w}-(-frac{pi}{w})bigg]cdot A_0/ &=frac{2pi}{w}A_0 end{aligned}}

small{于是，begin{aligned} A_0=frac{w}{2pi}int_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}{f(t)} dt end{aligned}}.

根据三角函数系的性质，在 small{cos {nwt}} 和 small{sin{nwt}}所构成的三解函数系中，任何两个不同的三角函数都是正交的，即：任何两个不同的三角函数相乘后，再从small{-frac{pi}{w}}到small{frac{pi}{w}}积分，结果都为0；任何两个相同的三角函数相乘后，再从small{-frac{pi}{w}}到small{frac{pi}{w}}积分，结果都为 small{frac{pi}{w}} 。例如：

(1)当 small{nneq k} 时， small{cos{kwt}} 和 small{cos{nwt}} 显然是两个不同的三角函数，因此，

small{begin{aligned} int_{frac{-pi}{w}}^{frac{pi}{w}}&cos{kwt}cos{nwt} dt=int_{frac{-pi}{w}}^{frac{pi}{w}}bigg[frac{cos(k+n)wt+cos(k-n)wt}{2}bigg]dt/ &=frac{1}{2}int_{frac{-pi}{w}}^{frac{pi}{w}}bigg[cos(k+n)wt+cos(k-n)wtbigg]dt/ &{=frac{1}{2}bigg[int_{frac{-pi}{w}}^{frac{pi}{w}}cos(k+n)wt dt+int_{frac{-pi}{w}}^{frac{pi}{w}}cos(k-n)wt dtbigg]}/ &=frac{1}{2}bigg[frac{sin(k+n)wt}{k+n}+frac{sin(k-n)wt}{k-n}bigg]_{frac{-pi}{w}}^{frac{pi}{w}}/ &=frac{1}{2}cdot0/ &=0 end{aligned}}

(2)当 small{n=k} 时， small{cos{kwt}} 和 small{cos{nwt}} 显然是两个相同的三角函数，因此，

small{begin{aligned} int_{frac{-pi}{w}}^{frac{pi}{w}}&cos{kwt}cos{nwt} dt= int_{frac{-pi}{w}}^{frac{pi}{w}}cos^2{kwt} dt/ &=int_{frac{-pi}{w}}^{frac{pi}{w}}bigg(frac{1}{2}-frac{1}{2}cos 2kwtbigg)dt/ &=int_{frac{-pi}{w}}^{frac{pi}{w}}frac{1}{2} dt-int_{frac{-pi}{w}}^{frac{pi}{w}}frac{1}{2}cos 2kwt dt/ &=frac{1}{2}int_{frac{-pi}{w}}^{frac{pi}{w}} dt-frac{1}{2}int_{frac{-pi}{w}}^{frac{pi}{w}}cos 2kwt dt/ &=frac{1}{2}bigg[tbigg]_{frac{-pi}{w}}^{frac{pi}{w}} dt-frac{1}{2}bigg[frac{1}{2kw}sin{2kwt}bigg]_{frac{-pi}{w}}^{frac{pi}{w}}/ &=frac{1}{2}cdotfrac{2pi}{w}-frac{1}{2}cdot0/ &=frac{pi}{w} end{aligned}}

观察(4)式并结合三角函数系的正交性，我们很容易联想到，用 small{cos kwt} 乘（4）式，再从small{-frac{pi}{w}}到small{frac{pi}{w}}积分，就可以得到 small{a_k}；用 small{sin kwt} 乘（4）式，再从small{-frac{pi}{w}}到small{frac{pi}{w}}积分，就可以得到 b_k：

small{begin{aligned} int_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}&f(t) cos kwt dt=int_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}Big[A_0+sum_{n=1}^{infty}{(a_ncos{nwt}+b_nsin{nwt})}Big]cos kwt dt/ &=A_0int_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}cos kwt dt+sum_{n=1}^{infty}{bigg(a_nint_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}cos{nwt} cos kwt dtbigg)+sum_{n=1}^{infty}bigg(b_nint_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}sin{nwt}cos kwt dtbigg)}/ &=0 + a_kint_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}{cos^2{kwt} dt}/ &=a_kcdotfrac{pi}{w} end{aligned}}

small{begin{aligned} int_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}&f(t) sin kwt dt=int_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}Big[A_0+sum_{n=1}^{infty}{(a_ncos{nwt}+b_nsin{nwt})}Big]sin kwt dt/ &=A_0int_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}sin kwt dt+sum_{n=1}^{infty}{bigg(a_nint_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}cos{nwt} sin kwt dtbigg)+sum_{n=1}^{infty}bigg(b_nint_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}sin{nwt}sin kwt dtbigg)}/ &=0 + b_kint_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}{sin^2{kwt} dt}/ &=b_kcdotfrac{pi}{w} end{aligned}}

small{所以，}

small{begin{aligned} a_k=frac{w}{pi}int_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}&f(t) cos kwt dt end{aligned}}

small{begin{aligned} b_k=frac{w}{pi}int_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}&f(t) sin kwt dt end{aligned}}

对比 small{A_0}、 small{a_k} 和 small{b_k} 的系数部分，发现 small{A_0} 的系数为 small{frac{w}{2pi}}，而small{a_k} 和 small{b_k} 的系数为 small{frac{w}{pi}}。为了让 small{a_0}、 small{a_k} 和 small{b_k} 的三者系数保持一致，可令 small{a_0=2A_0}， 即令 small{frac{a_0}{2}=A_0} ，从而将(4)式改写为

small{begin{aligned} f(t)&=frac{a_0}{2}+sum_{k=1}^{infty}{(a_kcos{kwt}+b_ksin{kwt})}cdotscdots(5)/ end{aligned}}

此时small{a_0}、 small{a_k} 和 small{b_k} 三者的系数皆为 small{frac{w}{pi}}：

small{begin{aligned} &a_0=frac{w}{pi}int_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}{f(t)} dt/ &a_k=frac{w}{pi}int_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}f(t) cos kwt dt/ &b_k=frac{w}{pi}int_{-frac{pi}{w}}^{frac{pi}{w}}f(t) sin kwt dt end{aligned}}