魔方小课堂

很多小朋友都很喜欢玩魔方 也通过各种方式都学会了魔方，都是根据现有的公式和方法来学习，王老师一直建议小朋友不仅仅学会魔方，还要知道背后的原理和思路，正所谓 知其然，也要知其所以然，今天我们来看看魔方六面还原中蕴含的那些数学原理

一 魔方结构

魔方的构成 三阶魔方是由 3×3×3-1=26 个小方块组成的立方体，有 6 个面（还原之后每个面颜色相同，共 6 种颜色），每个面有 9 个 小面，共 54 个小面。26 个小方块包括 6 个中心块（仅一个可见 面）、12 个棱块（两个可见面）、 8 个角块（三个可见面）

.魔方的还原 魔方每个面都可以绕轴任意转动，随便转动几个面，魔方 就会成为颜色斑驳的状态。将这样的状态改变成为每个面上的 所有小面颜色都相同称为魔方的还原。还原过程实际就是根据 每一面中心块的颜色，对棱块和角块进行“对色”与“对位”。

二 魔方中的数学

一 魔方中的排列组合

由排列组合中的乘法和加法原理可知，三阶魔方共有 8！×38×12！×212 3×2×2 种状态。除去被轴固定的 6 个中心块外，剩 余 20 个小块， 8 个角块放在 8 个角位置，全排列为 8！，每个 角块的三种颜色因为方向的不同又有 3 种方法，因此共有 8！× 38 种排列；同理，12 个棱块共有 12！×212 种排列。

但是魔方还原 过程中，保持其他小块不动时，不可以单独改变一个角块的朝 向，不可以单独改变一个棱块的朝向，也不可以单独交换一对 棱块或一对角块的位置，因此需要除去 3×2×2。由此可见，要凭 运气把一个颜色斑驳的魔方还原成同面同色几乎是不可能的。

二 魔方的对称性

对称是一个几何图形 Φ 的如下性质：在某个变换群 G 的 作用下， Φ 被映射到自身上，这个群称为对称群。如果变换群 G 是一条直线，那么几何图形 Φ 就是关于直线 G 的对称图形；如 果变换群 G 是一个点，那么几何图形 Φ 就是以点 G 为中心的 对称图形。

若以点 G 为中心的对称图形 Φ 在平面内绕着 G 旋 转 360°/n（n 是一个整数）后与自身重合，那么 Φ 有一个 n 阶对 称，且 G 称为其对称中心。如图 a， b， c 分别是以 O 为中心的 2 阶、 4 阶、 3 阶对称。这样的对称性在正方体中完全展现，只是此 时绕平面内某点的旋转换成了空间中绕某直线的旋转。

三阶正方体魔方具有 2 阶、 3 阶、 4 阶对称轴，这样的对称 性是除了球体以外的其他物体所不能比拟的［1］。魔方的还原过 程就在于旋转中魔方色块位置的交换，对于魔方每层每次的旋 转都是绕着该层中心块的变换，这样的保持点间距离不变的空

三 魔方群

魔方的转动是指将魔方某个面上的所有块顺时针（面对该面）旋转 90°。相应的，若是逆时针旋转则称为逆转动。为了记录下转乱、复原的过程，习惯上采用由 David Singmaster 发明的符号来书写。以英文 Up（上）、Down（下）、Front （前）、Back（后）、Left（左）、Right（右）的第一个字母分别表示魔 方的上、下、前、后、左、右六个面的转动；用小写字母 u、 d、 f、 b、 l、 r 表示各面及相应的中心块；用 xy 来表示位于 x 面 y 位置的 棱块小面，如 uf 表示 u（上）面 f（前）位置的小面；用 xyz 表示位 于 x 面 yz 位置的角块小面，如 ufr 表示位于示 u（上）面 fr（前 右）位置的小面。

在对魔方任意一个面进行转动的时候，该面所在层的中心 块不会改变，其余 20 个小面的位置随之发生改变，这样的转动 可以用一系列小面的置换来表示：U=（ulb ubr urf ufl ）（ub ur uf ul）（bul rub fur luf）（bu ru fu lu）（bru rfu flu lbu） D=（dbl dlf dfr drb）（db dl df dr）（bld lfd frd rbd）（bd ld fd rd）（bdr ldb fdl rdf） F=（flu fur frd fdl）（fu fr fd fl）（ufl rfu dfr lfd）（uf rf df lf ）（urf rdf dlf luf） B=（bul bld bdr bru）（bu bl bd br）（ulb ldb drb rub）（ub lb db rb）（ubr lbu dbl rbd） L=（luf lfd ldb lbu）（lu lf ld lb）（ufl fdl dbl bul）（ul fl dl bl）（ulb flu dlf bld） R=（rfu rub rbd rdf）（ru rb rd rf）（urf bru drb frd）（ur br dr fr）（ubr bdr dfr fur）

设 G= U， D， F， B， L， R 是魔方所有转动生成的集合，可以 证明该集合以合成作为运算构成一个群，称为魔方群。它是上 述一系列小面的置换作为生成元的一个循环群。G 中的元素代表了所有置换的情形，魔方变换的所有状态 都能够找到与之相应的元素，魔方从还原状态经过一系列变化 再次还原，实现了一次循环，实际也是 G 中的元素经过周期性 的操作能够实现的，从中可以看到魔方还原与循环群的共性。

当初厄尔诺·鲁比克教授发明魔方，就是将其作为帮助学生增强空间思维能力的教学工具。

经过观察、分析，我们不仅可 以找到魔方中蕴涵的数学知识，也看到了魔方中的教学因素：

通过魔方的外观展示和结构剖析帮助学生建立立体模型的概 念，增强空间观念

通过魔方还原有助于学生深刻感受置换、循环，理解群论的相关概念

从外观一个简单的立体图形，到还原 过程中的各类变换 有助于学生逻辑思维能力的学习和提升