写在前面：

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如果能够耐得住寂寞看完，必定有所收获。千万不要只看，更要动手算。拿出自己的演草纸吧，自己动手，丰衣足食。

学习方法的链接，真是吐了老血了：

二元形式的平均数不等式链

frac { 2 a b } { a + b } leq sqrt { a b } leq frac { a + b } { 2 } leq sqrt { frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } }

1 直角模型

A C = B D = frac { a – b } { 2 } , A B = frac { a + b } { 2 } , B C = sqrt { frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } } A D = sqrt { a b }

Delta A D E sim Delta B A D Rightarrow D E = frac { 2 } { frac { 1 } { a } + frac { 1 } { b } }

E D < D A < A B < B C Leftrightarrow frac { 2 } { frac { 1 } { a } + frac { 1 } { b } } < sqrt { a b } < frac { a + b } { 2 } < sqrt { frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } }

2 切割线模型

P M = a , quad Q M = b , quad a > b > 0 , quad A R = frac { a – b } { 2 }，A M = frac { a + b } { 2 } A M = frac { a + b } { 2 }

M G ^ { 2 } = M Q cdot M P Rightarrow M G = sqrt { a b }

H M = frac { G M ^ { 2 } } { M A } = frac { 2 a b } { a + b } , R M = sqrt { A M ^ { 2 } + A R ^ { 2 } } = sqrt { frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } }

H M < M G < A M < R M Leftrightarrow frac { 2 } { frac { 1 } { a } + frac { 1 } { b } } < sqrt { a b } < frac { a + b } { 2 } < sqrt { frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } }

3 半圆模型

A C = a , quad C B = b , quad O F = frac { a + b } { 2 } , quad C D = sqrt { a b } , quad O C = frac { a – b } { 2 }

F C = sqrt { left( frac { a + b } { 2 } right) ^ { 2 } + left( frac { a – b } { 2 } right) ^ { 2 } } = sqrt { frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } }

D E = frac { D C ^ { 2 } } { O D } = frac { a b } { frac { a + b } { 2 } } = frac { 2 } { frac { 1 } { a } + frac { 1 } { b } }

E D < D C < D O = O F < F C Leftrightarrow frac { 2 } { frac { 1 } { a } + frac { 1 } { b } } < sqrt { a b } < frac { a + b } { 2 } < sqrt { frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } }

4 三角模型

设 a+b=r, 可令 a = r cos ^ { 2 } theta , quad b = r sin ^ { 2 } theta , quad theta in left( 0 , frac { pi } { 2 } right)

于是 sqrt { a b } = r sin theta cos theta = frac { r } { 2 } sin 2 theta , sqrt { frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } } = frac { r } { 2 } sqrt { 1 + cos ^ { 2 } 2 theta }

frac { 2 a b } { a + b } = frac { r } { 2 } sin ^ { 2 } 2 theta

because sin ^ { 2 } 2 theta leq sin 2 theta leq 1 leq sqrt { 1 + cos ^ { 2 } 2 theta }

therefore frac { r } { 2 } sin ^ { 2 } 2 theta leq frac { r } { 2 } sin 2 theta leq frac { r } { 2 } leq frac { r } { 2 } sqrt { 1 + cos ^ { 2 } 2 theta }

即 frac { 2 a b } { a + b } leq sqrt { a b } leq frac { a + b } { 2 } leq sqrt { frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } }

5 函数模型

构造函数 f ( x ) = frac { a ^ { x + 1 } + b ^ { x + 1 } } { a ^ { x } + b ^ { x } } （不防设 a > b > 0 ）则

f ( x ) = frac { b + a left( frac { a } { b } right) } { 1 + left( frac { a } { b } right) ^ { x } } = a + frac { b – a } { 1 + left( frac { a } { b } right) ^ { x } }

because frac { a } { b } > 1 therefore left( frac { a } { b } right) ^ { x } + 1 为增函数

frac { b – a } { 1 + left( frac { a } { b } right) ^ { x } } 也为增函数。故 f ( x ) 在 R 上为增函数

therefore f ( 1 ) > f ( 0 ) > f left( – frac { 1 } { 2 } right) > f ( – 1 )

可证 sqrt { f ( 1 ) cdot f ( 0 ) } > f ( 0 ) > f left( – frac { 1 } { 2 } right) > f ( – 1 )

即证 frac { 2 a b } { a + b } leq sqrt { a b } leq frac { a + b } { 2 } leq sqrt { frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } }

6 梯形模型

以 a 为下底， b 为上底，作一个梯形 ABCD ，再作4条均平行于两底的直线，分别交两腰于 A _ { i } , B _ { i } quad ( i = 1,2,3,4 ) .其中

A _ { 1 } B _ { 1 } 平分梯形面积，有 A _ { 1 } B _ { 1 } = sqrt { frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } } ;

A _ { 2 } B _ { 2 } 为中位线，有 A _ { 2 } B _ { 2 } = frac { a + b } { 2 } ;

A _ { 3 } B _ { 3 } 分梯形为两个相似的梯形，有 A _ { 3 } B _ { 3 } = sqrt { a b } ;

A _ { 4 } B _ { 4 } 过两对角线的交点，有 A _ { 4 } B _ { 4 } = frac { 2 a b } { a + b }

由 A B < A _ { 4 } B _ { 4 } < A _ { 3 } B _ { 3 } < A _ { 2 } B _ { 2 } < A _ { 1 } B _ { 1 } < C D

得 frac { 2 a b } { a + b } leq sqrt { a b } leq frac { a + b } { 2 } leq sqrt { frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } }

四类平均数性质的拓展

设 a,b 都为正数，且 a geq b ，记

M _ { 2 } = sqrt { frac { 2 } { a ^ { – 2 } + b ^ { – 2 } } } mathrm { H } _ { 2 } = frac { 2 } { frac { 1 } { a } + frac { 1 } { b } } mathrm { G } _ { 2 } = sqrt { a b }

mathrm { A } _ { 2 } = frac { a + b } { 2 } , mathrm { Q } _ { 2 } = sqrt { frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } } , C _ { 2 } = frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { a + b }

它们分别称为两个正数的负二次幂平均值，调和平均值，几何平均值,算术平均值，方幂平均值和反调和平均值。由上两节内容我们得知，这六个平均值的大小关系具有如下性质：

begin{array} { l } { text { (1) } b leq M _ { 2 } leq mathrm { H } _ { 2 } leq mathrm { G } _ { 2 } leq mathrm { A } _ { 2 } leq mathrm { Q } _ { 2 } leq C _ { 2 } leq a } / { text { (2) } G _ { 2 } – H _ { 2 } leq A _ { 2 } – G _ { 2 } } / { text { (3) } Q _ { 2 } – A _ { 2 } leq A _ { 2 } – G _ { 2 } } / { text { (4) } A _ { 2 } – H _ { 2 } leq Q _ { 2 } – G _ { 2 } } end{array}

调和平均数: H _ { n } = frac { n } { sum _ { i = 1 } ^ { n } frac { 1 } { x } } = frac { n } { frac { 1 } { x _ { 1 } } + frac { 1 } { x _ { 2 } } + cdots + frac { 1 } { x _ { n } } }

几何平均数: G _ { n } = sqrt { prod _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } } = sqrt [ n ] { x _ { 1 } x _ { 2 } cdots x _ { n } }

算术平均数: A _ { n } = frac { sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } } { n } = frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } + cdots + x _ { n } } { n }

平方平均数: Q _ { n } = sqrt { frac { sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ^ { 2 } } { n } } = sqrt { frac { x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + cdots + x _ { n } ^ { 2 } } { n } }

完美结束。

如果大家看完这篇文章，能有很大的收获，我就开心啦。希望大家喜欢，更多文章敬请期待。

END

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