目标：采用自适应陷波器（notch滤波器）+自适应门限幅度检测和宽度检测+瞬时频率方差检测器实现单频信号检测。

一.自适应陷波器简介

Notch滤波器：对已知频率，不知相位和幅度的噪声进行滤除。实质上是一个带通滤波器。

自适应：根据输入信号，自适应调整滤波器系数，保持对噪声的有效滤除。

Notch滤波器采用LMS算法（最小均法算法）作为自适应算法。

二.LMS算法：

图片来自 lms算法在自适应滤波器中解决了什么问题？ – zhen tan的回答 – 知乎https://www.zhihu.com/question/37548162/answer/125761580

LMS算法步骤：

1.滤波输出： y(n)=w^{T}(n)x(n)

2.残差计算： e(n)=d(n)-y(n)

3.更新滤波器系数： w(n+1)=w(n)+2mu e(n)x(n)

mu 为自适应步长。

循环计算以上三步，使得y(n)尽可能接近期望d(n)，而e(n)尽可能小。

三.notch滤波器（从信号+单频噪声中获取信号）

图片来自 https://blog.csdn.net/gemengxia/article/details/115943255

以上图为例，输入信号x(t)含有两个频率噪声信号 A_{1}cos(omega_{1}t+theta_{1})+A_{2}cos(omega_{2}t+theta_{2}) ，已知该噪声的频率为 omega_{1} 和 omega_{2} ，而不知道其幅度 A_{1} 、 A_{2} 和相位 theta_{1} 、 theta_{2} 。LMS作用即为估计两个未知的幅度和相位，其输出y(t)为估计的噪声信号。

• 为估计单频信号 Acos(omega t+theta) ，输入同频的两路正交的参考信号 cos(omega t) 和 sin(omega t) 。

由三角函数公式： cos(alpha+beta)=cosalpha cosbeta -sinalpha sinbeta

Acos(omega t+theta)=Acos(omega t)cos(theta) -Asin(omega t)sin(theta)

幅度： A=sqrt{(Acos(theta)^{2})+(Asin(theta)^{2})} 相位： theta=artan(frac{Asin(theta)}{Acos(theta)})

所以，只需要更新滤波器权值 W_{c} 和 W_{r} ，就可以由 cos(omega t) 和 sin(omega t) 估计单频信号 Acos(omega t+theta) ：

y(t)=W_{c}cos(omega t)+W_{r}sin(omega t)

• 总结：

1. 输入信号x(k)=s(k)+n(k)为期望信号，希望输出y(k)尽可能逼近x(k)，其中s(k)为有用信号，n(k)为噪声;
2. 输入一组正交的单频信号rc(k)和rs(k)，通过修改参数 W_c 和 W_r 可输出同频率任意幅度和相位的信号y(k);
3. y(k)的频率与参考信号r(k)相同，都是噪声的频率，所以y(k)只能在噪声频率下逼近x(k)，y(k)不含有有用信号s(k)频率下的信号；
4. 当迭代完成,y(k)近似于n(k)，e(k)=x(k)-y(k)=x(k)-n(k)=s(k)；
5. 所以LMS迭代的过程就是在估计噪声信号未知的幅度和相位。

x(k)=s(k)+n(k)

r_{s}(k)=sin(omega k)

r_{c}(k)=cos(omega k)

Notch滤波器迭代过程：

e(k)=x(k)-y(k)

W_s(k+1)=W_s(k)+2mu e(k)r_{s}(k)

W_c(k+1)=W_c(k)+2mu e(k)r_{c}(k)

y(k)=W_s(k)r_s(k)+W_c(k)r_c(k)

四.从单频信号+噪声中获取单频信号

将 x(k)=s(k)+n(k) 作为输入，将需要得到的单频信号 s(k) 的频率 omega 作为notch滤波器的参考信号的频率，此时相当于利用LMS算法估计需要的单频信号的幅度和相位，此时输出信号 y(k) 为需要的单频信号 s(k) 的估计值， e(k) 为被滤掉的噪声。