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研究旋转机械的振动噪声，离不开阶次。那什么是阶次，为什么要关心阶次，怎么计算阶次等等，您都清楚吗？另外，我们经常说结构有多少“阶”固有频率或模态，这个“阶”跟“阶次”又有什么区别呢？

本文主要内容包括：

1. 什么是阶次；

2. 为什么要关心阶次；

3. 怎么计算阶次；

4. 怎么显示阶次；

5. 与“阶”的区别；

6. 阶次实例。

1.什么是阶次

作为一个处于旋转状态的部件，它会产生一定幅值的响应（振动或/和噪声）。随着转速的变化，这个响应也会发生变化。阶次是结构旋转部件因旋转造成的振动或/和噪声的响应，这个阶次响应与转速和转频之间有对应关系。确切地说阶次是转速或转频的倍数，对转速保持不变。独立于轴的实际转速，是参考轴转速的倍数或者分数。而结构的振动噪声响应通常出现在转速的倍数或者分数处，也就是这些阶次处。

当结构的旋转部件处于运转状态时，旋转本身就是一种激励，结构对这类激励会产生响应（振动或/和噪声），这些响应与转速直接相关。我们也可以这样理解：当结构受到激励时，产生的强迫响应频率与外界激励频率是同频率或者是激励频率的倍频。因此，对于旋转部件，在受到旋转激励（我暂且这样称呼它）时，结构会产生与旋转频率（简称转频）同频率的响应或者旋转频率倍频的响应，而这些响应的大小是随频率变化的。将这些响应与频率和转速结合起来，就形成了所谓的阶次。如1阶次为1倍转速，K阶次为K倍转速。

因此，阶次是从激励（转速）角度来描述的，但又独立于参考轴的激励转速，对转速保持不变。阶次关系由结构特点所确定。参考轴不同，阶次关系也不会同。

2. 为什么要关心阶次

对于分析旋转机械的振动噪声，进行阶次分析非常有帮助。这是因为系统产生的响应大多数情况下都与特定的阶次（当然还有共振频率产生的响应）相关，在特定的阶次上会出现相应的响应。系统的每一个部件（齿轮、轴、活塞、泵、轮胎等）对系统的振动噪声总量级（Overall level）都有贡献。阶次分析帮助确定每一个独立部件对总量级有多大的贡献。

在《怎么计算信号中的RMS》一文中，曾经对计算Overall与阶次作过简单的介绍，二者的区别如下图所示。上图为Overall level计算需要考虑整个带宽内的RMS值，下图为阶次切片只需要计算阶次宽度内的RMS值。因此，所有的阶次之和就是所谓的Overall Level，也就是说，通过阶次分析可以帮助确定每一个独立部件对总量级的贡献有多大。而每个部件对系统的贡献是与特定阶次相对应的，通过阶次分析就可以确定这个部件对总响应的贡献。关于Overall Level与阶次的区别将在后续文章《什么是Overall Level？》一文中详细介绍。

另一方面，阶次分析帮助工程师确定问题来源。如在发动机振动噪声分析中，在测试之前，测试分析工程师需要确定发动机各旋转部件与曲轴转速之间的阶次关系，如下图所示。当实际测试时，如果发现某阶次的响应特别大，就可以通过阶次关系确定是发动机哪个部件产生的响应，从而针对这个部件进行减振降噪工作。

E2：动机二阶激励； Cam：凸轮轴正时齿轮； Cra：曲轴正时齿轮 WP：水泵叶片； WPB1：水泵轴承滚珠； WPB2：水泵轴承滚柱；A：发电机； AFF：发电机前风扇； ARF：发电机后风扇；AB：发电机轴承； AG：发电机线槽因此，对于旋转机械而言，阶次分析是一个非常有用的工具。

3. 怎么计算阶次

阶次本质上与每转的事件数有关，是转速或转频的倍数。首先，让我们来看旋转轴的阶次计算。一根旋转轴，它是一个旋转机械的一个部件。假设这根轴的转速为600RPM，那么它的转频是多少？

旋转频率是10Hz表示这根轴在一秒钟内旋转10圈。下面是频率和相应幅值（可以是声压、加速度等物理量）曲线图。这个幅值可以是机械上任何位置测量得到的，它会随着测量位置的变化而变化。如方向盘上的振动幅值远小于汽缸盖上的振动幅值。

现在这根轴转速为3300RPM，它的旋转频率又是多少？

再次，这根轴的转速是6000RPM，它的转频是100Hz。对于这个转速，幅值-频率曲线如下图所示。

如果我们考虑以上已经测量的三个转速，并且将它们放置在用频率、幅值和转速表示的三维图中，我们将得到如下所示的图形。

我们生成的阶次数据是这根轴三个转速点所对应的数据。现在，我们假设转速稳定增加，从600RPM增加到6000RPM，沿着转速上升区间按较小的转速增量计算频率和幅值。完整的频率-幅值-转速频谱图如下所示，这就是第1阶次。

如果沿着绿色曲线作切片，得到的曲线称为阶次切片。阶次跟随转速和相对应的幅值，如下图所示。现在假设系统是通过皮带联接的两根轴所组成，A轴的直径是B轴的3倍。A轴转速从600RPM增加到6000RPM，同时通过皮带带动B轴旋转。

如果A轴的转速为600RPM，它的转频为10Hz，B轴通过乘以3倍的速比得到它的转频10Hz×3=30HzB轴的响应幅值在30Hz和600RPM处，如下图所示。

A轴现在的转速是6000RPM，这时B轴的转速将是18000RPM。18000RPM对应300Hz，在图上绘出这一点，如下图所示。补上升速过程中其余的数据点：RPM/频率数据和相应的幅值。补充后的曲线将是第3阶次。阶次数是相对于第1阶次的每转事件的比率。在上面这个例子中，A轴每转一圈，B轴将转3圈，这使得B轴的响应为3阶次。

将第1阶次所在的旋转轴设置成参考轴，随后确定的所有阶次都将是相对于第1阶次的每转事件的比率。商业软件会自动设置第1阶次作为旋转部件的转速，用于跟踪。如果这个转速是从曲轴上读得的，那么曲轴将被设置成第1阶次。如果这个转速是从电机上读得的，那么电机的转速将被设置成第1阶次，此时，所有的阶次都将相对于电机的每转事件而言的。

因此，如果B轴用第1阶次代替，那么A轴的阶次将是多少？对于B轴每转一圈而言，A轴将完成1/3圈。因此，如果B轴是第1阶次，那么A轴将是1/3阶次。

因此，在计算阶次时，将实际测量的转速设置成第1阶次，其他旋转部件的阶次通过结构之间的转速传递关系（传动比）确定阶次数。

另一方面，频率表示的是每一秒钟发生的事件数，而阶次则是每转发生的事件数。假设参考轴的转速为R rpm，那么阶次与转速的关系如下：

4. 怎么显示阶次

瀑布图、colormap（彩图）和阶次切片图通常用于绘制阶次数据。瀑布图和colormap图通常是沿着RPM轴按照较小的转速增量产生自谱（也可以是其他类型函数）生成的。

沿着频率轴的每一条曲线都是在特定转速步长下的单张瞬时自谱。将这些自谱按著转速先后顺序堆放在一起则形成了瀑布图，关于瀑布图分析详情请见《瀑布图分析注意事项》一文。

这个图更直观的版本是colormap图。Colormap是瀑布图的平面形式，因此，没有幅值轴，用颜色深浅表示幅值。更暗/冷的颜色表示更低的幅值，而更亮/暖的颜色表示更高的幅值。Colormap/瀑布图中确定的关键因素是共振频率和阶次线。阶次线是从原点出发的斜线。共振频率是垂直频率轴的直线，且幅值更高。

通常，用户以dB的形式显示数据。这将使得颜色更为鲜明，使得用户更易于区别共振频率和阶次线，如上图所示。

还有一种显示方式是阶次切片图，在以上两种图形显示方式中，如果要比较两个或多个阶次之间的相对大小，这是很不方便的，因而，此时需要把这些阶次作切片，将切出来的阶次放在同一个二维图中进行比较，则方便得多，这就是所谓的阶次切片图，如下图所示。

在阶次切片图中，由于横轴多为转速，则怎么求某个转速下的频率呢，如下图所示的峰值处的频率是多少？图中峰值处对应的转速为3090RPM，该转速对应的转频为3090/60=51.5Hz，而对应的阶次为8阶次，因此，对应的频率为51.5*8=412Hz。

5. 与“阶”的区别

我们曾经在《什么是固有频率？》中讲到结构会存在多阶固有频率或模态，那么这个“阶”与我们在这里所说的“阶次”有什么区别？

首先，我们应明白“阶”是结构固有属性的一种描述方式，跟外界的激励是没有关系的，描述的是结构的固有频率或模态有多少“阶”或第几“阶”。并且，一般是针对结构而言的，该结构可以是旋转结构，也可以不是旋转结构。而阶次一定是针对旋转结构而言的，只有当结构处于旋转激励时，我们才谈阶次，此时，也经常将阶次简称阶，但不是我们之前所说的那个阶。

如上面瀑布图或colormap中斜线是我们所谈的某阶次，垂直频率轴的亮线或峰值是共振频率，对应某阶固有频率。阶用来描述固有频率或模态，阶次用来描述响应与转速或转频的倍数关系。

6. 阶次实例

风扇：

带有6块叶片的风扇的转速为6000RPM，它的主轴频率是多少？叶片的通过阶次是多少？

主轴频率是100Hz。叶片的通过频率是600Hz，叶片的通过阶次是600Hz/100Hz=6阶次。注意，频率计算并不是必须的。简单地说，主轴每转一圈，将有6个叶片通过，使得我们可以明白叶片的通过阶次是第6阶次。

齿轮：

齿轮有86个齿，轴的转速为600RPM。主轴频率是多少？啮合频率是多少？啮合阶次是多少？

啮合阶次是第86阶次。两个齿轮：

蓝色轴的转速为60RPM，则绿色轴的旋转阶次是多少？

绿色齿轮的响应阶次为1.625，阶次不再是整数，因为传动比不是整数。4冲程发动机：

4冲程6缸发动机，它的点火阶次是多少？4冲程发动机，曲轴每转两圈点火1次（见下图）。

4个冲程由进气、压缩、做功（燃烧）和排气组成。活塞每上下一次，曲轴完成旋转一圈。因此，完成4个冲程，曲轴需要旋转两圈。 如果我们有一个单缸发动机，曲轴每转2圈，完成一次烧烧，因此，点火阶次将是0.5阶次。然而，因为我们有6个缸，因此，点火阶次是6*0.5=3。因此，点火阶次是3阶次。

扩展阅读：

1.阶次提取需要考虑什么？

2.真正搞懂了频率，Hz&阶次之间的关系了吗？

3.怎样分析旋转机械的振动噪声（系列文章）

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