1.思路

在工程和科技领域，对于许多的数理问题，人们可以给出他们的数学模型，即应遵守的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件

但有时候微分方程的精确解很难被找出或解基于很强的假设，应用性不强，于是转而寻求一种近似解法。参考清华大学的《有限单元法》的第一章，给出一种思路：

2.问题的描述

描述一：泛定方程+边界条件；

描述二：Cauchy problem的提出：

A(u)=0, at ;xinOmega/;B(u)=0, at;xinpartial_Omega

目的：我们期望通过一些简单函数的线性组合来逼近精确解，就像泰勒级数和洛朗级数所呈现的那样。

uapprox widetilde{u}=left[begin{matrix} phi_1 & phi_2 & phi_3 & ldots & phi_n / end{matrix} right] left[begin{matrix} a_1/a_2/a_3/vdots/a_n/ end{matrix}right]/ lim_{nto infty}{tilde{u}}=u

3.问题的转化

那么如何表征 tilde{u} 与精确解 u 的接近程度呢？很自然想到用做差法来衡量：

lim_{n to infty}{tilde{u}=u}Leftrightarrowlim_{n to infty}{tilde{u}-u=0}/

新的问题又产生了，我们并不知晓精确解的具体形式，也就是说我们并不知道这个差函数的额具体形式（这里以一元函数为例）：

F(a_1,a_2,cdots,a_n;x)=tilde{u}(a_1,a_2,cdots,a_n;x)-u(x)/

以一个具体的例子代入：

4.问题的求解

我们得到期望： forall{x}inOmega:R(x)equiv0,partial_Omega:bar{R}(x)=0 ，即在定义域上， 使得拟合的函数也满足微分方程组：A(bar{u})=0,B(bar{u})=0 。而我们采用的拟合函数 :

{R}(x)={R}(a_1,a_2,…,a_n;x),bar{R}(x)=bar{R}(a_1,a_2,…,a_n;x)/

含有n个未知参数，也就意味着即便不考虑残差函数在定义域上处处为0,哪怕在n+1个点上为0都有可能出现系数方程之间的矛盾。一种常见的方法是，可以通过将近似函数代入边界条件强制为0来缩减待定系数的个数。即把 bar{R}(a_1,a_2,…,a_n;x)=0 作为一个对 a_1,a_2,… 的约束方程，获得独立的系数 a_1,a_2,…,a_k ，将不独立的系数 a_{k+1},a_{k+2} 用前者表达出来。问题进一步推进为：

forall{x}inOmega:R(a_1,a_2,ldots,a_k,a_{k+1}(a_1,a_2,ldots,a_k),ldots,a_n(a_1,a_2,ldots,a_k);x)equiv0，/

几何上表现为， R(x) 要尽可能”接近“坐标轴，而依据不同的接近原则，我们提出了不同的解决方法，在此给出常见的几种：

思路：解出这一个含有k个未知系数的方程，我们代入k个点为0似乎就可以解出来。

R(x_i)=0(i=1,2,ldots,k)/

利用狄利克雷函数，上式等价的积分表达式为：

int_Omegadelta(x-x_i)R(x)dx=0/

可以看出，这里选取点具有一定的主观性，而这种方法所得出来的近似函数 tilde{u} 的精确度对选取点 x_i 的要求较高，也就是主观性所造成的误差会很大。

思路：某一点 (x_i,R(x_i)) 到坐标轴的欧式距离为： R^2(x_i) ,所有点的欧式距离的平均 值为： I=int_Omega R^2(x)dx ,达到最小值为：delta I=0Leftrightarrowfrac{partial{I} }{partial{a_i}}=0/

展开获得具体的积分形式方程：

int_Omega frac{partial{R(x)}}{a_i}R(x)dx=0/

int_{Omega_i} R(x)dx=0/

int_{Omega_i} x^iR(x)dx=0,(i=1,2,ldots,k)/

int_Omega phi_icdot R(x)dx-int_{partial{D} } phi_icdot bar{R}(x)dx=0/

其他的表示方法：

int_Omega frac{partial{tilde{u}}}{partial{a_i}}cdot A(tilde{u}) dx- int_{partial{D} } frac{partial{tilde{u}}}{partial{a_i}}cdot B(tilde{u}) dx=0/

int_Omega delta{tilde{u}}cdot A(tilde{u}) dx- int_{partial{D} } delta{tilde{u}}cdot B(tilde{u}) dx=0 (delta{tilde{u}}=Sigma phi_icdot delta a_i)/

5.一个例子

求解二阶ODE：

frac{d^2u}{dx^2}+u+x=0,(0leq xleq1)/ u(0)=0;/ u(1)=0;

取满足边界条件 u(0)=0， u(1)=0 的近似解: u(x)=x(1-x)(a_1+a_2x+ldots)= left[begin{matrix} x(1-x) & x^2(1-x) & x^3(1-x) & ldots & x^n(1-x) / end{matrix} right] left[begin{matrix} a_1/a_2/a_3/vdots/a_n/ end{matrix}right]

查看一下各种解法：