1.搞清楚形心，重心与质心及其三者的关系。

1.质心：质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。

2.重心：是在重力场中，物体各部分所受重力之合力的作用点。（在其它场中或叠加场，磁场，静电场，重力场等两者以上的叠加场中，我们不叫重心，而叫受力中心）。受力中心的定义：物体各部分所受之力的合力的作用点。

3.形心：图形的几何中心。

说明：

1. 质心，重心与形心是三个不同的东西。
2. 形心与质心的关系：当密度 rho 分布均匀的物体，形心与质心重合。
3. 重心与质心的关系：当重力场分布均匀时，物体的重心与质心重合。
4. 由第2与第3条说明可知：当实物体密度 rho 分布均匀，且重力场分布均匀时，形心，重心与质心，三心合一。

2.在力学中，我们更关心三心中的重心（受力中心）。

1.在力学中，我们更关心受力中心，因为大多数是在重力场下，所以叫重心，如果在其它场下或叠加场下就只能叫受力中心。

2.在物理力学中，有一个定义叫做“质点”，“质点”的定义是只有质量没有大小的理想化模型；能否抽象成质点，要因具体研究的问题而论。

3.如果能将实物抽象成质点，那么我们就需要找出这个质点在什么位置，也就是定出质点的坐标，即质心坐标。

3.如何找出质心坐标？

由前面所述知道：当重力场分布均匀时，物体的重心与质心重合。因此我们可以用力学知识找出质心。

抽象到质心的作用效果不能改变。研究对象的各部分到某一坐标轴的重力距之和 = 总重力 times 质心到某一坐标轴的距离。

列式如下：

对 color{red}{Y} 轴取力矩有： sum ^{n}_{i=1}m_{i}gcdot x_{i}=overline{x}cdot sum ^{n}_{i=1}m_{i}g Rightarrow color{blue}{overline{x}=dfrac{ sum ^{n}_{i=1}m_{i}cdot x_{i}}{ sum ^{n}_{i=1}m_{i}}} (消去重力加速度 g ).

对 color{red}{X} 轴取力矩有： sum ^{n}_{i=1}m_{i}gcdot y_{i}=overline{y} cdot sum ^{n}_{i=1}m_{i}g Rightarrow color{blue}{overline{y}=dfrac{ sum ^{n}_{i=1}m_{i}cdot y_{i}}{ sum ^{n}_{i=1}m_{i}}} (消去重力加速度 g ).

故质心与重心坐标为： O'(overline x,overline y) .

质心坐标的另一种理解方式：加权下的平均距离，而权重为某点的质量占比。

推导如下（只推导了x方向）：

color{blue}{overline{x}=dfrac{ sum ^{n}_{i=1}m_{i}cdot x_{i}}{ sum ^{n}_{i=1}m_{i}}} =dfrac{ sum ^{n}_{i=1}m_{i}cdot x_{i}}{ m}xlongequal[求和符号里]{将总质量写入} sum ^{n}_{i=1}dfrac{m_i}{m}cdot x_{i}=color{red}{sum ^{n}_{i=1}P_ix_i}

质点系中每个质点的质量占比 P_i=dfrac{m_i}{m} 。因此上式的质心坐标，也可理解为质系中，各质点以质量为权重的加权平均距离。

故质心坐标为： O'(overline x,overline y)=(sum ^{n}_{i=1}P_ix_i quad ,quad sum ^{n}_{i=1}P_iy_i) .

设有一平面薄片（即不考虑物体的厚度），设面密度为 sigma(x,y) ,则质系的质心求法。

对 color{red}{Y} 轴取力矩有： color{blue}{overline{x}}=dfrac{int _{A}sigma left( x,yright) cdot xdA}{int _{A}sigma left( x,yright) dA} xlongequal[带入有]{将①②式}color{blue}{dfrac{M_{y}}{m}}

令对 color{red}{Y} 轴的质量矩 M_{y}=int _{A}sigma left( x,yright) cdot xdA ……①

总质量 m=int _{A}sigma left( x,yright) dA ……②

对 color{red}{X} 轴取力矩有： color{blue}{overline{y}}=dfrac{int _{A}sigma left( x,yright) cdot ydA}{int _{A}sigma left( x,yright) dA} xlongequal[带入有]{将③②式}color{blue}{dfrac{M_{x}}{m}}

令对 color{red}{X} 轴的质量矩 M_{x}=int _{A}sigma left( x,yright) cdot ydA ……③

故质心坐标为： O'(overline x,overline y)=(color{blue}{dfrac{M_{y}}{m}},color{blue}{dfrac{M_{x}}{m}}) .

4.三心合一：

在计算平面薄片（即不考虑物体的厚度，或者厚度相同）时，质心用质量矩，重心用重力距，受力中心用力距，形心用面积距(静矩）。

质心： overline{x}=dfrac{sum m_{i}x_{i}}{sum m_{i}};quad overline{y}=dfrac{sum m_{i}y_{i}}{sum m_{i}}

重心： overline{x}=dfrac{sum m_{i}g_{i}cdot x_{i}}{sum m_{i}g_{i}};quad overline{y}=dfrac{sum m_{i}g_{i}cdot y_{i}}{sum m_{i}g_{i}}

受力中心： overline{x}=dfrac{sum F_{i}x_{i}}{sum F_{i}};quad overline{y}=dfrac{sum F_{i}y_{i}}{sum F_{i}} （F表示力）

形心： overline{x}=dfrac{sum A_{i}x_{i}}{sum A_{i}};overline{y}=dfrac{sum A_{i}y_{i}}{sum A_{i}} （A表示面积）

当实物体密度 rho 分布均匀，且重力场分布均匀时，三心合一。

形心的坐标公式，分子分母同乘以面密度 sigma 与重力加速度 g 有：

begin{align} color{red}{overline{x}=dfrac{sum A_{i}x_{i}}{sum A_{i}}(形心)}&xlongequal[]{同乘面密度sigma为常量}dfrac{sum sigma A_{i}x_{i}}{sum sigma A_{i}}=color{blue}{dfrac{sum m_{i}x_{i}}{sum m_{i}}(质心)}/ &xlongequal[同乘重力加速度g为常量]{同乘面密度sigma为常量}dfrac{sum sigma A_{i}cdot g cdot x_{i}}{sum sigma A_{i}cdot g}=color{green}{dfrac{sum m_{i}g_{i}cdot x_{i}}{sum m_{i}g_{i}}(重心）} end{align}

说明： sigma A_i=m_i ；

上式即可看出，三心合一的条件，或者任意两心之间的关系。