圖一

在球面坐標系下，單位球面圓的公式為：

beta=arctan(k*sin(alpha+gamma)) +arcsin(cos rfrac{ sqrt{1+k^2} } {sqrt{1+(k*sin(alpha+gamma)^2} }); ^{[1] [2] [3]其中}

α為方位角

β為仰角

k為圓的斜率，其意義是圓的平面與赤道平面，沿反時針方向的夾角δ^{[4]的正切。這個角δ也被我稱為斜角或傾斜角。如圖一，紅色的圓的平面與黑色的圓（赤道）的平面的夾角（兩面角）就是斜角或傾斜角δ。}

cfa5530f90241ac5c19415548b72cb34圖二

γ被我稱為初角或初始角。如圖二，紅色的圓與藍色的圓的傾角或傾斜角δ是一樣的，所以它們的斜率k也是一樣的，但它們的γ卻是不同的，紅色的圓的γ=0，藍色的圓的γ=π/4。所以當k不變時，圓會因為γ的不同而向不同的方向傾斜，除非δ為零，或者說k=0。

r被我稱為圓的球面半徑。它是圓心到圓的球面距離（距離用大圓弧的長度計量）。r越大，圓的半徑越大；r越小，圓的半徑越小。如果我們用弧度表示圓的半徑的話，那麼r=pi/2時的圓就是大圓瞭。

608bff07b3a9341348bd0eb1a40a3d15圖三

如圖三，在同一半球，若球極不在圓之內，用公式畫出的圓就可能出現紅色小圓旁邊有一個不在球面上的月牙形曲線的現象，這是因為α超過自變量定義域的結果。

因為公式中要求出正弦函數的反函數，所以

-1≤cos(r)*(1+k^2)^(1/2)/(1+(k*sin(α+γ))^2)^(1/2)≤1

求出的結果是α為如下的兩個區間

[-pi+arcsin((cos^2r *(1+k^2)-1)^(1/2)/k)- γ,arcsin(-(cos^2r*(1+k^2)-1)^(1/2)/k)- γ]

[arcsin((cos^2r *(1+k^2)-1)^(1/2)/k)- γ,pi+arcsin(-(cos^2r*(1+k^2)-1)^(1/2)/k)- γ]

這就是α的定義域，它受k、r、γ的影響。調整α區間就能使圖三的現象不再出現。如圖四的紅色小圓。

3deadcc7be22d37bc62abd26619480a6圖四

自變量定義域的影響http://www.icpchaxun.com/video/1496143384628211712

另外，由於在球面上任何的圓都是球面直線^{[5]，所以本文中的球面上的圓的公式也是球面直線的公式。}

參考

1. ^球面圓的推導之一 http://zhuanlan.icpchaxun.com/p/113501566
2. ^球面圓的公式各項的分析 http://zhuanlan.icpchaxun.com/p/484833271
3. ^另一種球面圓的公式 http://zhuanlan.icpchaxun.com/p/34798118
4. ^http://zhuanlan.icpchaxun.com/p/150952044
5. ^http://zhuanlan.icpchaxun.com/p/150583392