摘要

本文討論大學高等數學中極限的求解，從基本極限出發並結合泰勒公式探討等價無窮小代換的原理。

一、怪異的等價無窮小代換

在做求極限相關的題目時，等價無窮小代換是一個常用又好用的方法。它可以將 sinx,cosx,ln x 這樣的超越式轉化為多項式相加的形式，從而方便我們求解極限。

比如說：

lim_{xto0} frac{ln(x+1)} {x} = lim_{xto0} frac{x}{x} = 1 \ 其中 ln(x+1) sim x

但是有時也會遇到問題，比如這道題如果用等價無窮小代換來做：

lim_{x to 0} frac{tan x - sin x} {sin ^3 x} \ = lim_{xto 0} frac{x - x}{sin^3x} = frac{0}{sin^3x} = 0 \ 其中 tanx sim x, sinx sim x

但是如果用洛必達法則來做，又是不同的答案：

原式= lim_{xto 0} frac{ frac{1}{cosx} -1 } {sin^2x} \ = lim_{xto 0} frac{ frac{1}{cos^2x}sinx } {2sinxcosx} （洛必達法則）\ =lim_{xto 0} frac{1} { 2cos^2x } = frac{1} {2}

洛必達法則的解法顯然是正確的，但問題在於為什麼在這道題中等價無窮小代換就錯瞭呢？

很多人肯定都聽說過等價無窮小的代換規則，簡單來說就是：乘除關系可以換，加減關系在一定條件下可以換。但每次看著這個規則總感覺怪怪的，從而導致等價無窮小代換這個方法就像一個黑箱一樣：我按照規則來做，它回饋給我一個正確的結果。但是這個方法到底是是怎麼運作的，我始終不知道，這非常令人困惑與恐懼，必須完全弄明白才能睡個好覺。

二、解析等價無窮小代換

1、從基本極限開始

我們都學過基本極限，其中有一個長得很奇特又怪又長的公式：

lim_{x to infty} frac{ a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + cdots + a_1x + a_0 } { b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + cdots + b_1x + b_0 } = begin{cases} frac{ a_n }{ b_m }, n=m \ 0, n<m \ infty, n>m end{cases} \

這個基本極限告訴我們：在 x to infty 時應對分式上下都是多項式和的情況下，隻需要看分子和分母的最高次項即可。

那麼對於 x to 0 的情況有沒有類似的結論呢？

對於上式，如果我們假設 m = n ，並且對分式上下同除以 x^n ，於是有：

lim_{x to infty} frac { a_n + a_{n-1}x^{-1} + cdots + a_1x^{1-n} + a_0x^{-n} } { b_m + b_{m-1}x^{-1} + cdots + b_1x^{1-n} + b_0^{-n} } \ 留意到lim_{x to infty} 可以換成 lim_{frac{1}{x} to 0}，再用y換掉frac{1}{x} \ 原式 = lim_{y to 0} frac { a_n + a_{n-1}y + cdots + a_1y^{n-1} + a_0y^{n} } { b_m + b_{m-1}y + cdots + b_1y^{n-1} + b_0y^{n} } \

此時的結果依舊是 frac{a_n}{b_m} ，但是形式已經大為不同。之前是隻需要看分子分母的最高次項即可，現在轉變為隻需要看分子分母的最低次項即可。對於 n neq m 的情況有類似的證明，不再展開。

於是這個基本極限還告訴我們：在 x to 0 時應對分式上下都是多項式和的情況下，隻需要看分子和分母的最低次項即可。

不要小看這個又怪又長的公式，這是我們在求極限時一件極好的工具。我們的常用基本極限很多都是 xto0 時的極限，再加上等價無窮小代換也是將函數轉化為多項式和的形式，擁有瞭這個公式我們就可以很方便的求解極限。

2、等價無窮小代換與泰勒公式

對函數 f(x) 使用含佩亞諾餘項的泰勒公式，在 f(x) 在 x_0 處存在 n 階導數的情況下有：

f(x)=f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+frac{f^{''(x_0)}}{2!}(x-x_0)^2+cdots+frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n) \

其中 o(x) 代表 x 的高階無窮小。高階無窮小的定義：

對於同一變化過程中的無窮小量A，B \ 若 lim frac{ A }{ B } = 0，那麼A為B的高階無窮小，記為o(B)

其實我們很容易發現，所謂的等價無窮小代換不過是泰勒公式的前幾項省略瞭高階無窮小項而已。

sinx sim x, sinx = x + o(x) \ sinx sim x - frac{1}{6}x^3, sinx = x - frac{1}{6}x^3 + o(x^3)

如果我們將之前那個出錯的極限題目等價無窮小代換解法中的高階無窮小量補上可以看到：

lim_{x to 0} frac{tan x - sin x} {sin ^3 x} \ = lim_{x to 0} frac{ x + o(x) - x - o(x) } { (x + o(x))^3 } \ = lim_{x to 0} frac{ o(x) }{ x^3 + o(x^3) }

其中 o(x) 是 x 的高階無窮小，但到底比 x 高幾階我們不知道，可能是 x^2,x^3,cdots 。既然如此，肯定沒有確定的結果，這是我們不想看到的。

我們在上一小節中總結出瞭 x to 0 時基本極限的變形，並從中得出結論隻需要關註最低階項，並且隻有上下最低階項同階時極限為非零常數。由於我們面臨的 sinx,cosx,tanx,cdots 這樣的函數可以一直導個不停，所以泰勒公式的階數也是想有幾階就有幾階。所以我們如果想要一個比較好的結果，就要保證展開後上下最低階項同階。

我們將之前那個出錯的極限題目中的等價無窮小代換改變一下，將分母上的代換規則改為 tanx sim x + frac{1}{3}x^3,sinx sim x -frac{1}{6}x^3 ：

lim_{x to 0} frac{tan x - sin x} {sin ^3 x} \ = lim_{x to 0} frac{ x + frac{1}{3}x^3 + o(x^3) -(x -frac{1}{6}x^3 + o(x^3)) } { ( x + o(x) )^3 } \ = lim_{x to 0} frac{ frac{1}{2}x^3 + o(x^3) } { x^3 + o(x^3) } = frac{1}{2}

此時答案就正確瞭。

三、總結

其實我們大可以將等價無窮小代換視為泰勒公式展開前幾項在特定情況下的結論（乘除情況一定可以換，加減情況在一定條件下可以換），不用去考慮高階無窮小從而提升做題速度。同時如果我們拋開等價無窮小代換特定情況的約束，主動去考慮高階無窮小的階次（泰勒公式解法），也能使我們的解題更嚴謹自由。

參考