前言（1）：數學中的每一個概念，都存在實際的作用價值，學習的過程中，需要不斷總結和歸納每個知識點的價值（作用），新的知識點對應能解決哪些具體的問題。試想下：如果無法解決具體的問題，那這個數學知識為什麼要存在於課本之中呢？

前言（2）：如果用兩個詞來介紹微積分，分別是：拆分和極限，需要深刻去體會。

前言（3）：導數是微積分中的一個概念，微積分中的微分，和導數都是一種線性描述函數在一點附近變化的方式。微分和導數雖然是兩個不同的概念。但是，對一元函數來說，可微分與可導是完全等價的。

一、導數與導函數

1.1 平均速度與瞬時速度

汽車行駛瞭120km，用時1小時，則平均速度：120km/時

於是就可得到一個函數：行駛距離(S)=平均速度(v)×用時單位(t)

寫做：S=vt，所以v=S/t，展開如下：

平均速度(V)=frac{行駛距離}{用時}=frac{終點值-起點值}{終點時刻-起點時刻}=frac{S-S_{0}}{t-t_{0}}

如果想知道，汽車行駛中，具體某一時刻的瞬間的速度（瞬時速度）呢？

來個具體的例子：假設一輛汽車，行駛一天（24h）能開1200km

現在想知道一天中：處於12:00時汽車的瞬時速度

通過拆分，我們可以將每小時拆分成60分鐘

60分鐘再拆分成3600秒

當然還能繼續拆分成毫秒，和無限小的計時單位

那麼要計算12點的瞬時速度

我們可以取11:59:59至12:00:00的行駛距離/用時(1秒）

同樣還可取12:00:00至12:00:01的行駛距離/用時(1秒）

通過上面的方法，就是取無限逼近於12點，但不等於12點的行駛距離/用時

計算得出的值，就可以代表12點時的瞬時速度

於是，可以得到這樣一個式子

瞬時速度(V)=frac{瞬時距離}{瞬時用時}=lim_{Delta trightarrow 0}{frac{Delta S}{Delta t}}=frac{S-S_{0}}{t-t_{0}}

Delta 讀：德爾塔，在微積分中用來形容前後的差值是極小的

Delta S = S-S_{0} ：表示前後行駛瞭非常小的距離

Delta t=t-t_{o} ：表示前後行駛瞭非常少的時間

lim_{Delta xrightarrow 0} 指在該點處，瞬間用時無限逼近於0，但不等於0的狀態，就是<極限>

lim_{Delta trightarrow 0}{frac{Delta S}{Delta t}} ：表示在極限狀態下，某一個時刻的瞬時速度

1.2 平均變化率與瞬時變化率

上面的例子中：S=vt，這是一個等式，當存在未知數的時候即是一個方程

當然，它也是一個函數， (S=vt) Leftrightarrow (y=ax) Leftrightarrow(f(x)=ax)

所以平移到函數的情景下，平均速度就搖身一變成為瞭：平均變化率

而瞬時速度，就等同於瞬時變化率

雖然叫法不同瞭，本質上都是在形容或代表：某種變化程度的快與慢

於是，我們可以將上面的式子，寫成這樣的一個函數

f^{'}(x)=lim_{Delta x rightarrow 0}{frac{Delta y}{Delta x}}=frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=frac{f(x_{0}+Delta x)-f(x_{0})}{Delta x}

這就是求出導函數的公式，用來求某一個值的導數值

比如：要求x=1時的導數值，將1代入導函數中

就可以求出x=1時的導數值，也就是x=1時的瞬時變化率

所以導數值，就是瞬時變化率

二、導數的幾何意義

2.1 什麼是切線

① 與函數圖像上的某個點相交的一條直線

② 將一條割線的AB兩點，通過向某個點無限逼近的方式，得到的一條直線

③ 一條切線是相對於某個點來說的，該切線可能會經過函數圖像上的多個點

2.2 切線方程與導數的關系

切線是一條直線，在圖像上就是一個一次函數：y=kx+b

一次函數等同於該切線的方程，而一次函數中的k，代表是斜率

k=0時，該直線與X軸平行或就在X軸上

k>0時，該直線向上，單調遞增

k<0時，該直線向下，單調遞減

一個函數的導函數就等於k，所以導函數就切線方程的斜率

2.3 點斜式求出切線方程

因為切線是一條AB兩點的割線，某一點無限逼近於另一點的直線

在這裡，我們設求A點的切線，即A與B點的割線，由B處無限逼近於A點

那麼我們設A點的切線方程： y_{0}=kx_{0}+b

無限逼近於A的C點的切線方程： y=kx+b

因為AC在一條直線上，然後相減得到：

y-y_{0}=kx+b-kx_{0}-b

化簡後得到切線的方程：

y=k(x-x_{0})+y_{0}

而K，就是原函數的導函數：

f'(x)=lim_{Delta x rightarrow 0}{frac{Delta y}{Delta x}}=frac{f(x_{0}+Delta x)-f(x_{0})}{Delta x}

代入後得到最終式：

y=frac{f(x_{0}+Delta x)-f(x_{0})}{Delta x}(x-x_{0})+y_{0}

三、初等函數的導函數

為瞭快速求出一個原函數的導函數，有一張表格供大傢參考

例： y=ax^{2}+bx+c ，求導函數

因為c是常數，所以在導函數中是：0

因為 bx=bx^{1} ，所以在導函數中是： 1×b×x^{0}=b

因為 ax^{2} ，所以導函數中是： 2ax^{2-1}=2ax

於是就得到瞭導函數：y'=2ax+b

註意：原函數中每項的系數，及每項的+-符號，在導函數中不變

四、導數的四則運算

① 加法法則：分別求導再相加

(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)

② 減法法則：分別求導再相減

(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)

③ 乘法法則：第1個求導×第2個不求導+第2個求導×第1個不求導

(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

④ 除法法則：

(g(x)/f(x))'=(g'(x)f(x)-f'(x)g(x))/(f(x))^2

五、求導到底有什麼用

求導，簡單來說有3個有用的功能

5.1 通過求導，來判斷原函數的單調性

這個上面已經提到過，參見2.2

這裡還是以上面的： y=ax^{2}+bx+c 為例

導函數： y'=2ax+b

當2ax+b=0時，求得 x=-frac{b}{2a} ，意味著：此時切線斜率=0

x=-frac{b}{2a} 時，在二次函數頂點處的切線斜率一定為0

所以， -frac{b}{2a} 就是原函數頂點處X坐標的值

當2ax+b<0時，求得 x<-frac{b}{2a} ，意味著：此時切線斜率<0

x<-frac{b}{2a} 時，切線方向朝下單調遞減，原函數也單調遞減

當2ax+b>0時，求得 x>-frac{b}{2a} ，意味著：此時切線斜率>0

x>-frac{b}{2a} 時，切線方向朝上單調遞增，原函數也單調遞增

5.2 通過求導，來推測出不認識的函數的圖像

原理是將原函數通過求導，得出導函數

分別將導函數>0，<0，=0時值

依據導函數的在不同區間的單調性

估計出原函數在不同區間的單調性

依據不同區間的單調性，勾勒出原函數的估計圖像

例：以一個二次函數： y=x^2-4x+6 為例

求導： y'=2x-4

2x-4>0，則x>2，當x>2時，原函數單調遞增

2x-4<0，則x<2，當x<2時，原函數單調遞減

2x-4=0，則x=2，原函數的頂點處X坐標的值

此時，將x=2代入原函數，得到y=2，頂點坐標為(2,2)

① 通過點斜式求出過頂點的切線：y=2

② x>2，取 x_{3} =3時，過點 x_{3} 的切線：y=2x-3

③ x<2，取 x_{1} =1時，過點 x_{1} 的切線：y=2x-3

具體效果，如下圖所示

5.3 通過求導，快速求出函數在某一點的斜率及切線方程

這個上面已經提到過，參見2.3

第1篇：什麼是導數

第2篇：導數的作用

第3篇：導數求極值