引言：先講個有意思的事情，從體感上說說齒槽轉矩是個啥，我們做電機的人肯定有過這個感受，記得有一次參展回來，我去檢查樣品。我突然發現軸上的油怎麼沒瞭，我以為揮發瞭，這後面會產生潛在的問題“油有問題還是被偷瞭”。所以心存緊張的問瞭現場人員才知道，很多客人到瞭展會一說是高精度伺服，他們做的第一件事情就是轉下軸。一個展會下來軸會被幾百個客人撫摸下，難道這就是傳說中的“揩油”嗎。所以，轉動軸有“咯噔咯噔”感覺那個就是今天的主角。

然後聊一聊齒槽轉矩這個事情，其實同仁們想從理論上仔細的研究齒槽轉矩這個事情，一定要好好的研究下王秀和老師的永磁電機第五章（80-112）頁的內容，其實本文提到的很多都是出自於王老師的書。個人在工作期間尤其是在15-16年承擔高精度高過載伺服電機的時候，遇到的最多的問題就是齒槽轉矩的問題，當時為瞭解決瞭批量產品齒槽轉矩偏差大的問題曾經也是駐廠做瞭幾個月的管控跟蹤。齒槽轉矩雖然不會影響電機的有效的轉矩，但是在一些高精度的定位3D虛擬環境應用以及高伺服的場景下對整個系統還是有很大的影響的。有的時候解決不一定是電機本身設計的問題，還有生產制造材料特性的問題。當時為瞭對標分析，購買瞭國內外比較NB的伺服系統，做瞭完整的對標分析。總體上來講國內的平均水平與頂尖的企業還是差距還是有的，不過這幾年大小展會瞭解下來整個差距是在逐步縮小的，有些參數已經可以超越瞭。

齒槽轉矩是永磁電機繞組不通電時永磁體與定子鐵心之間相互作用產生的轉矩，是永磁體與定子齒之間相互作用力的切向分量的脈動引起的。當電機轉子旋轉時，永磁體兩側面對應定子齒槽的一小段范圍內磁導發生較大變化，引起磁場儲能發生變化，從而產生齒槽轉矩。

齒槽轉矩會引起永磁電機的轉矩脈動，進而導致速度波動。轉矩脈動還會使電機產生振動和噪聲，當脈動轉矩的頻率與電樞電流諧振頻率一致時，會產生共振，勢必會放大齒槽轉矩的振動和噪聲。嚴重影響電機的定位精度和伺服性能，尤其在低速時影響更為嚴重。

圖 1 齒槽轉矩示意圖

一、齒槽轉矩產生機理

齒槽轉矩（cogging torque）是電樞繞組不通電的情況下，由永磁體和電樞鐵心的齒槽相互作用產生的周向轉矩，這一轉矩隨著轉子位置的變化而變化，因此是一種脈動轉矩。其產生來自於永磁體與定子齒之間的切向力合力，切向力總是試圖將永磁體磁場軸線與定子齒的軸線對齊，從而使轉子有定位在某個位置的趨勢，也可以簡單理解為在磁路磁阻分佈不均勻時，磁力線總會沿著磁阻最小的磁路閉合，即“磁路磁阻最小原理”。

從能量角度來講，齒槽轉矩是由永磁體產生的磁場能量變化引起的，磁場能量與轉子所處角度相關。由於磁場能量表達式的復雜性，磁場能量偏微分得出的齒槽轉矩解析解必定復雜。下文提到所有削弱齒槽轉矩的方法均為瞭減小磁場能量偏微分的波動。

二、齒槽轉矩削弱方法

對於削弱齒槽轉矩，學者進行瞭大量研究。對方法進行總主要歸結為三類：

1. 電機總體考慮：采用分數槽繞組；
2. 定子側考慮：定子斜槽、定子齒開輔助槽、槽口寬度優化；
3. 轉子側考慮：轉子磁極極弧系數、不均勻氣隙、轉子斜極、磁極偏移。

1、采用分數槽繞組

考慮槽數Z和極數2p組合與齒槽轉矩關系，通常認為基波齒槽轉矩周期數越大，其幅值越小，所以應該選擇最小公倍數較大的定子槽數Z和轉子極數2p組合。

采用分數槽繞組電機有利於降低齒槽轉矩的原理在於：他的定子各個槽口所處磁場位置不同，所以各自產生的齒槽轉矩相位不同，疊加的結果不但提高瞭基波齒槽轉矩的周期數，並有可能產生相互抵償作用。而整數槽繞組電機每個磁極下的齒槽個數和位置都是相同的，所有極下產生的齒槽轉矩相位相同，2p個極的齒槽轉矩疊加起來使總齒槽轉矩大為增加。

筆者曾仿真過相同的9槽定子沖片，轉子分別為6極極8極，兩種方案均為分數槽電機，但齒槽轉矩也有很大差異，因為他們的Z與2p的最小公倍數分別為18和72。9槽6極電機的齒槽轉矩峰值為30mNm，而9槽8極電機齒槽轉矩為2mNm。

圖 2 不同極數齒槽轉矩

2、轉子磁極極弧系數

極弧系數α是指磁極極弧寬度與磁極極距之比。整數槽電機情況下，對於表貼永磁磁極，通常認為磁極極弧寬度接近槽距的整數倍時有利於降低齒槽轉矩。分數槽電機情況下，如9槽8極電機，通過有限元仿真分析，極弧系數選擇0.89/0.78/0.67時，齒槽轉矩較小；4極6槽電機，極弧系數為0.67時，齒槽轉矩較小。

圖 3 不同槽型齒槽轉矩

3、不均勻氣隙

通常設計電機定轉子之間氣隙是均勻的，磁體下的氣隙磁密分佈會更接近於梯形波，有較多諧波。如果改為不等氣隙，即磁體中央處氣隙小，在極尖處有較大氣隙，使磁體下的氣隙磁通密度分佈接近正弦波，有利於降低齒槽轉矩。

在內轉子表貼電機中，如果弧形永磁體內外徑為同心圓時，永磁體厚度相等，氣隙均勻。如果內外徑不同心，則磁體厚度不等，可以使電機氣隙不均勻，從而降低齒槽轉矩。

圖 4 不均勻氣隙轉子結構

4、轉子斜極、定子斜槽

齒槽轉矩基波周期數等於定子槽數Z與轉子極數2p的最小公倍數N，即齒槽轉矩的基波周期對應機械角度360/N。因此如果定子鐵心斜槽角度或轉子磁極斜極角度為360/N，即可以消除齒槽轉矩基波。

采用斜極斜槽的方式會導致電機反電動勢降低及電磁轉矩下降。定子斜槽會導致繞組嵌線難度增加，並且電機會產生軸向力。工藝上通常采用轉子分段錯位方法近似斜極。如對轉子分段數進行參數化分析，當轉子分段數達到5段時，齒槽轉矩就完全可以忽略瞭。

圖 5 轉子錯極結構

5、磁極偏移

磁極偏移與轉子磁極分段錯位類似，對於2p個磁極才能夠原來均佈位置改為圓周方向偏移，這樣相當於在一個基波齒槽周期內有分段磁極2p段，除瞭2p次及其倍數次諧波外，其他齒槽轉矩都得到削弱。但是，磁極偏移會引入轉子不平衡磁拉力問題。例如，對於4極24槽電機，采用磁極偏移方法後，齒槽轉矩從0.2Nm降低至0.02Nm。筆者曾經拆解過瑞諾的伺服電機，該電機就是采用的磁極偏移的方式來降低齒槽轉矩。

圖 6 磁極偏移結構

6、定子齒開輔助槽

定子齒開輔助槽降低齒槽轉矩的原理在於增加齒槽轉矩基波周期次數，輔助槽引起的齒槽轉矩對原有槽口齒槽轉矩起到抵償作用，從而使總齒槽轉矩幅值降低。開輔助槽還使等效氣隙增加，也有利於降低齒槽轉矩。文獻提到對於18槽12極電機，當定子開兩個槽時，齒槽轉矩周期次數提高三倍，齒槽轉矩下降約3倍。對於4極6槽電機，當定子開兩個輔助槽時，齒槽轉矩從1.04Nm下降到0.2Nm。

4470066f148719fe8d3f3f13016cae86圖 7 定子開輔助槽結構

7、槽口寬度優化

定子槽口的存在是齒槽轉矩產生的主要原因，通常認為，槽口寬度越小越好。對於整數槽電機，通過有限元仿真分析，齒槽轉矩隨槽口寬度單調增加。對於分數槽電機如12槽14極電機，進行有限元仿真分析，當槽口寬度為3.45mm時，齒槽轉矩約為槽口寬度2mm時的6%，約為槽口寬度4mm時的10%。對於分數槽電機，並非槽口寬度越小越好，存在可優化的槽口寬度選擇。

8、無槽式繞組

最徹底而又簡單的方法是采用無槽式繞組結構。電樞繞組有粘貼在光滑轉子表面的，也有做成動圈式(moving coil)的，或者是盤式電機的印刷繞組(printed circuit winding)，不管采用何種形式電樞繞組的厚度始終是實際氣隙的組成部分，因此無槽式電機的實際等效氣隙比有齒槽電機大得多，所需的勵磁磁勢也要大許多，這在早期限制瞭無槽電機的容量和發展。這塊國內在很早確實已經在研究和試制瞭，不過沒有聽說哪個公司有批量的產品。英國有一傢專門做此種電機的公司，在一些航空領域應用的比較多瞭。

圖 8 無槽繞組

三、多目標聯合仿真優化

以上介紹瞭齒槽轉矩的原理以及優化的方法，接下來本文將實操來講解利用優化算法對齒槽轉矩進行優化的過程。其實從工程上來講，齒槽轉矩確實是越小越好，不過電機設計的本身就是一個蹺蹺板，性能之間都是有矛盾的地方的。具體的電機齒槽轉矩的目標還是要看具體的怎麼用，使用在什麼的場景下追求的是高轉矩系數還是高精度系數。

齒槽轉矩的計算，所有的有限元軟件都可以精確的計算。本次利用Maxwell軟件建立電機的有限元仿真模型，使用Workbench平臺與Maxwell軟件進行聯合優化，將永磁體偏心距，極弧系數，槽口寬度作為優化變量，將反電動勢的幅值，齒槽轉矩最大值作為輸出變量，優化目標為齒槽轉矩最小，反電動勢幅值最大。

優化變量：永磁體偏心距，極弧系數，槽口寬度；

優化目標：齒槽轉矩，反電動勢；

1、電機有限元模型建立

我們采用Maxwell軟件RM庫中自帶的assm-1模型，RM計算後自動創建2D有限元模型。並在2D模型中定義三個變量，分別為bs（槽口寬度），emb（極弧系數），offset（偏心距）。下文中的優化變量為改三個變量，因此要定義為參數。

圖 9 電機有限元模型

04beafd824530307418e4296c39bb8d0圖 10 bs定義位置

圖 11 極弧、偏心距定義位置

2、workbench優化模型建立

使用Maxwell與Workbench聯合仿真的前提是兩個軟件的版本號要完全一致，筆者使用的是2021R1版本。設置兩款軟件進行相互調用是在Maxwell的開始菜單文件夾中，這一步很關鍵，一般安裝軟件的時候會提示關聯，但是安裝完之後也可以手動關聯。

圖 12 Maxwell與Workbench關聯

關聯之後就可以在workbench的界面上看到有Maxwell 2D的模塊瞭，在界面左上角點擊Import按鈕，就可以在workbench界面下導入maxwell的計算文件瞭，雙擊導入的maxwell文件可以打開模型。

在這裡打開的模型，Optimetrics下會多瞭一個DefaultDesignXplorerSetup，我們需要設置這裡的參數，以便讓workbench讀取參數。如我設定瞭三個參數作為輸入變量。

圖 13 打開的maxwell文件

在Calculations下我們定義瞭兩個輸出變量，分別為轉矩最大值，反電動勢最大值，該兩個數值用來獲得齒槽轉矩最大值，反電動勢最大值。

圖 14 輸出變量編輯

退出maxwell軟件，在workbench軟件中拖入優化模塊Response Surface Optimization，可以看出該模塊主要由三部分組成，實驗設計、響應面、優化。

05e305809d3f6c464461dc3ddaf2d537圖 15 workbench優化模塊

3、仿真優化計算

實驗設計：通過特定的方法生成樣本點，並計算出各個樣本點對應的輸出變量數值。本例子使用的是拉丁超立方DOE方法，采樣方法為CCD。3個變量共采樣15個點。

實驗設計的目的是通過有限個樣本點來獲取模型參數，後續會建立響應面，而優化是基於有限樣本點構建的模型進行的，因此該方法的特點是優化時間快，但是會犧牲一部分精度。

圖 16 實驗設計

構建響應面：由第一步得到瞭輸出與輸出的數值，該步驟構建輸入與輸出之間的函數關系。本例選擇的是克裡金響應面類型並進行加點。選擇加點後，會讓模型更加精準。由於輸出變量我們定義瞭齒槽轉矩和反電動勢，因此我們會獲得兩個響應面。

圖 17 反電動勢響應面

圖 18 齒槽轉矩響應面

優化：設定優化目標，並設定輸入變量范圍，得到想要的結果。我們設定優化的目標是反電動勢最大，齒槽轉矩盡量小，本例設定齒槽轉矩為0.01。

圖 19 優化設定

軟件計算後給出瞭三個優選的候選方案。

圖 20 優選方案

圖 21 帕累托最優

我們對使用優化算法前後的結果進行對比如下，齒槽轉矩大幅降低，紅色為優化後。

圖 22 優化前後齒槽轉矩對比

反電動勢在優化後未減小，綠色為優化前。

圖 23 優化前後反電動勢對比

四、總結

本文從仿真的角度出發對齒槽轉矩的產生原因進行瞭分析，並總結瞭常用的削弱齒槽轉矩的方法。使用Maxwell與Workbench軟件聯合對電機進行優化，最終在保證反電動勢不降低的前提下，實現瞭齒槽轉矩削弱。另外，用自己親身體會的工程經驗講下齒槽轉矩的降低不是單純的電機電磁設計的問題，一定是考慮生產及制造過程的，仿真有的時候也要融合進來進行計算的。遇到問題不要盲目的和片面的去找問題，雖然從產品的角度齒槽轉矩確實比較難降低，但是根據齒槽轉矩的產生的機理出發，加上先進的設計分析手段，肯定有解決的方案。

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五、參考文獻

[1] http://m.chuandong.com/tech/tech40771.html

[2] http://www.gongkong.com/article/202112/98186.html

[3] http://zhuanlan.icpchaxun.com/p/265984401

[4] http://www.icpchaxun.com/column/hutalk

[5]公眾號：電機極客，齒槽轉矩的削弱方法，你掌握瞭嗎？

[6]王本禮等，永磁電機齒槽轉矩的產生機理與抑制方法[J]，電機技術

[7]譚建成，永磁無刷直流電機技術[M]

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