今天，我試瞭推導相對力。我們假設有兩個慣性參考系，有個質量 m，在 t' = t = 0 時，坐標為 x' = x = 0 ，在 x 的參考系裡速度也是 0 。 在 x 的參考系裡，x' 的參考系的相對速度是個負的，向左的 v （我們之後把這個 v 當做正數，則實際相對速度是 -v ）。質量 m 在 t' = t = 0 有個加速度 a 。則當 Delta t 很小時

Delta x approx frac{a}{2} Delta t^2 qquad (1) \ Delta x' approx frac{a'}{2} Delta t'^2 + vDelta t' qquad (2)

洛倫茲變換為（想知道怎麼推導它，可以參考 gmachine1729：從狹義相對論的簡單假定得到時空間隔不變量及洛倫茲變換）

Delta x' = gamma(Delta x + vDelta t)\ Delta t' = gamma(Delta t + frac{vDelta x}{c^2})\

將這些代進 (2) 得以

gamma (Delta x + v Delta t) approx gamma left(Delta t + frac{vDelta x}{c^2}right)left(frac{gamma a'}{2}(Delta t + frac{vDelta x}{c^2}) + vright)\ Downarrow \ begin{eqnarray} a' & approx & frac{frac{Delta x + vDelta t}{Delta t + frac{vDelta x}{c^2}} - v}{frac{gamma}{2}(Delta t + frac{vDelta x}{c^2})} \ & approx & frac{Delta x + vDelta t - v Delta t - frac{v^2Delta x}{c^2}}{frac{gamma}{2}left(Delta t + frac{vDelta x}{c^2}right)^2} \ end{eqnarray}

用 (1) 得以

begin{eqnarray} frac{a'}{a} & approx & frac{Delta x - frac{v^2Delta x}{c^2}}{frac{gamma}{2}left(Delta t + frac{v Delta x}{c^2}right)^2} cdot frac{Delta t^2}{2Delta x}\ & approx & frac{1-frac{v^2}{c^2}}{gamma} cdot frac{Delta t^2}{left(Delta t + frac{vDelta x}{c^2}right)^2} end{eqnarray}\

通過 (1) 很容易看到當 Delta t to 0 ，

frac{Delta t^2}{left(Delta t + frac{vDelta x}{c^2}right)^2} to 1\

同樣也可以把 approx 視為 = ，則

gamma^3 a' = a qquad (3)\

由於在 t = 0 時， frac{dx}{dt} = 0 ， F = frac{dp}{dt} = frac{d(m_{(u = 0)} u)}{dt} = left(u frac{dm}{dt}right)_{(u = 0)} + m_0frac{du}{dt}_{(u=0)} = m_0a \

其中 u 為質量在 x 參考系的速度。如果 u' 為另一個參考系的速度，我們從 (3) 可得以

F = gamma^3 m_0 frac{du'}{dt} \

註意用 m_0a 簡單計算的力的參考系會隨著質量的速度而變，該計算的 a 必須是在當時質量速度為零的參考系，或者在那瞬間與質量並行運動的參考系。則我們便於將那個用於簡單計算力的“動態”參考系用 ' 來標，”固定“的參考系按這種做法會去掉 ' ，即

F = gamma^3 m_0 frac{du}{dt} qquad (4) \

因為有在固定參考系的加速度與隨質量加速而變的參考系的加速度的關系，即 (3) ，我們可以以固定參考系的加速度和依賴於隨著加速而變的 u 的 gamma 得以力的公式，即 (4) 。由於一般洛倫茲因子的速度被寫以 v ，我們改成用 v 。

我們猜測當時動量為

p = gamma m_0 v qquad (5)\

不難觀察到由於 gamma 的定義，隨著速度變大， p 會變得無限大。 F 更加會是這樣。

作為驗證，

begin{eqnarray} F = frac{dp}{dt} & = & m_0left(gamma frac{dv}{dt} + frac{dgamma}{dt}vright) \ & = & m_0left(gammafrac{dv}{dt} + frac{v^2}{c^2}gamma^3frac{dv}{dt}right)\ & = & m_0gammafrac{dv}{dt}left(1 + frac{v^2}{c^2}frac{1}{1 - frac{v^2}{c^2}}right) \ & = & m_0gammafrac{dv}{dt}left(frac{c^2 - v^2 + v^2}{c^2 - v^2}right)\ & = & m_0gamma^3frac{dv}{dt} end{eqnarray}\

跟 (4) 一致。

用功能量定理，我們得以能量的變化為

Delta E = int F dx = int frac{dp}{dt}dx = int v dp = int m_0v dleft(frac{1}{sqrt{1 - frac{v^2}{c^2}}}vright)\

以 u = frac{1}{sqrt{1 - frac{v^2}{c^2}}}v\

的分部積分法會給我們

begin{eqnarray} frac{Delta E}{m_0} & = & frac{1}{sqrt{1 - frac{v^2}{c^2}}}v^2 bigg|_{v = 0}^{v = v_1} - int_0^{v_1} frac{vdv}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}, qquad w = 1 - frac{v^2}{c^2}, dw = -frac{2v}{c^2}dv\ & = & frac{1}{sqrt{1 - frac{v_1^2}{c^2}}}v_1^2 + frac{c^2}{2}int_1^{1-frac{v_1^2}{c^2}} frac{dw}{sqrt{w}} \ & = & frac{1}{sqrt{1 - frac{v_1^2}{c^2}}}v_1^2 + c^2left(sqrt{1-frac{v_1^2}{c^2}} - 1right), qquad gamma = frac{1}{sqrt{1-frac{v_1^2}{c^2}}} \ & = & gammaleft(v_1^2 + frac{c^2}{gamma^2}right) - c^2\ & = & gamma left(v_1^2 + c^2left(1 - frac{v_1^2}{c^2}right)right) - c^2 \ & = & (gamma - 1)c^2 end{eqnarray}\

從而得到靜能量公式

E_{rest} = m_0c^2\

以及總能量公式

E = gamma m_0c^2\

也將 m = gamma m_0 定義為相對質量，從而俗人知的

E = mc^2\

同樣實現。