關鍵詞： 穩態 線性 土動力學 Biot方程 流固耦合

土層動力反應分析是土動力學和地震工程學中重要的研究課題之一。在水工結構、近海岸結構等工程領域有著廣泛的應用背景。在土動力學中，飽和土通常被抽象為流固耦合兩相介質。M. A. Biot 於 1956 年以固相位移 u 和液相位移 U 為基本未知量建立瞭兩相介質動力問題的控制微分方程，即 u-U 格式的 Biot 動力學方程，奠定瞭這一領域的研究基礎。此後，Zienkiewicz 在此基礎上經過一定的簡化，推導出瞭適用於中低頻荷載的、以固相位移 u 和孔隙水壓力 p 為基本未知量的控制方程，即 u-p 格式。與 u-U 格式的動力學方程相比，混合形式的 u-p 格式動力學方程具有較少的未知量，同時孔壓 p 也是大多數土動力學問題中需要求解的關鍵變量。基於以上原因，u-p 格式的 Biot 動力學方程在土動力學問題的研究中得到瞭廣泛應用，使得求解上述方程的高效數值方法成為土動力學中的重要研究課題之一。

本節以飽和土體的動力固結問題為例，介紹 FEtch 系統在求解 Biot 動力學問題中的應用。

控制方程

對於域 Omegasubsetmathbb{R}^d (1le d le 3)，動載作用下飽和土體的 Biot 動力學方程為：

frac{partial^2 boldsymbol{u}}{partial t^2}-nablacdot(boldsymbol{sigma}-pboldsymbol{I})=rhoboldsymbol{f} left(text{in } Omegaright) tag{1a}

frac{partial epsilon}{partial t}+frac{1}{Q}frac{partial p}{partial t}-nablacdot frac{k}{gamma_w}nabla p=boldsymbol{0} left(text{in } Omegaright) tag{1b}

boldsymbol{varepsilon}=left(nabla boldsymbol{u}+nabla^{T} boldsymbol{u}right)/2,quadepsilon =boldsymbol{varepsilon}:boldsymbol{I} tag{1c}

boldsymbol{sigma}=boldsymbol{D} boldsymbol{varepsilon} tag{1d}

frac{1}{Q}=frac{n}{K_f}+frac{1-n}{K_s} tag{1e} 其中，boldsymbol{u} 是固相位移，p 是孔隙水壓力，boldsymbol{sigma} 為有效應力，boldsymbol{f} 是體力項，boldsymbol{varepsilon} 為應變，epsilon 為體應變。nabla 為梯度算子，boldsymbol{D} 為剛度矩陣，boldsymbol{I} 為單位矩陣。rho 是土體密度，k 為滲透系數，gamma_w 為水的容重。1/Q 是表征液體和固體顆粒壓縮性的量，依賴於孔隙率 n 和液體與固體顆粒的體積模量 K_f 和 K_s。

算例

考慮 1 mathrm{m}times 10 mathrm{m} 的土柱，其彈性模量 E=20.1 mathrm{MPa}，泊松比 nu=0.2 ，滲透系數 k=10^{-2} mathrm{m/s}，水的容重 gamma_w = 10^4 mathrm{N/m^3}，孔隙率 n = 0.33。孔隙水與固體顆粒的體積模量分別取 K_f=1.0times10^7 mathrm{MPa} 和 K_s=1.0times10^9 mathrm{MPa}。初始位移和孔壓均為 0 。

邊界條件為：底邊為固定且不透水邊界；上表面為自由透水邊界，即孔壓為零；左右邊界隻有豎向位移且不發生橫向滲流。

在頂部分別施加以下兩種動態荷載，

• 突加荷載 f(t)=3.0 H(t)
• 循環荷載 f(t)=3.0 left (1-cos(75t)right)

其中，H(t) 為單位階躍函數。忽略重力影響，求土柱位移和孔壓的變化情況。

網格剖分

模擬過程采用四邊形線性等參單元，時間步長取 10^{-3} mathrm{s}。網格劃分為 160 個單元，205 個結點，在頂端進行瞭網格局部加密。

計算結果

土柱不同深度處的計算結果如下圖所示，並與 de Boer（1993）提出的解析解進行瞭對比。

突加荷載產生的豎向位移

08813ada71697aa2c51cc1cfeee33820

突加荷載產生的孔壓

fe31e24c4f3a10f52c39424dfe57864a

循環荷載產生的豎向位移

40e93b8680794cebf71a612ea6590157

循環荷載產生的孔壓

通過與 de Boer 提出的解析解進行對比，可以發現數值解與解析解的結果符合得很好，充分證明瞭算法和程序的有效性。

參考文獻

De Boer R, Ehlers W, Liu Z. One-dimensional transient wave propagation in fluid-saturated incompressible porous media[J]. Archive of applied mechanics, 1993, 63(1): 59-72.

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