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下面是正文：

上篇入门三角函数主要是打基础，这篇介绍三角函数的重要性质

开始前再强调下，脑海里一定要对“单位圆内半径转圈”这个动态的图像有全面的认识，对转圈过程中cos和sin的变化有直观印象，并推出其他4个三角函数的变化规律。

正弦函数

如上图所示，现在开始转圈，来看sin值的变化：

当角度θ从0增加到π/2时，纵坐标（高度）是在不断增加的

从 sin0=0， sin(π/6)=1/2 ， sin(π/4)=sqrt{2}/2， sin(π/3)=sqrt{3}/2，直到 sin(π/2)=1

当角度θ从π/2增加到π时，纵坐标是在不断减少的

从 sin(π/2)=1， sin(2π/3)=sqrt{3}/2 ， sin(3π/4)=sqrt{2}/2， sin(5π/6)=1/2，直到 sinπ=0

当角度θ从π增加到3π/2时，纵坐标是在不断减少的（负数的绝对值不断增加）

从 sinπ=0， sin(7π/6)=-1/2 ， sin(5π/4)=-sqrt{2}/2， sin(4π/3)=-sqrt{3}/2，直到 sin(3π/2)=-1

当角度θ从3π/2增加到2π时，纵坐标是在不断增加的（负数的绝对值不断减小）

从 sin(3π/2)=-1， sin(5π/3)=-sqrt{3}/2 ， sin(7π/4)=-sqrt{2}/2， sin(11π/6)=-1/2，直到 sin2π=0

根据以上的规律，在坐标轴内描绘出在（0，2π）范围内，各个（θ，sinθ）的点得到图像：

根据sin(x+2nπ)=sinx（n为整数），我们可以把定义域扩大到整个实数域，得到正弦函数f(x)=sinx的图像：

根据正弦函数的性质，结合图像直观理解，可以发现正弦函数会无穷地重复下去

这幅图非常非常非常重要，要牢记在心里！

正弦函数的性质

0.定义域和值域

如果没有特别说明，通常定义域是实数集，值域是[-1,1]

1.单调性

根据之前对每个范围内函数值的判断，并结合图像，可以得知：

正弦函数f(x)=sinx在（-π/2，π/2）是单调递增的，在（π/2，3π/2）是单调递减的

由于sin(x+2nπ)=sinx（n为整数）

它在每个（-π/2+2nπ，π/2+2nπ）都是分别单调递增的，在每个（π/2+2nπ，3π/2+2nπ）都是分别单调递减的（n为整数）

这里要特别注意的是每个、分别，也就是说单调性是在这个区域内成立，跨区域是不成立的

举例来说，

在（-π/2，π/2）单调递增，在这个区域内任取 x_{1}＞x_{2} ，都有 sinx_{1}＞sinx_{2}

在（3π/2，5π/2）（n=1）单调递增，在这个区域内任取 x_{3}＞x_{4} ，都有 sinx_{3}＞sinx_{4}

但是虽然 x_{3}＞x_{1} ，却无法肯定 sinx_{3}一定大于sinx_{1}，因为它们是在两个不同的单调区间，具体大谁小得看它们的具体取值。

2.对称性

根据sin(-x)=-sinx，很容易判断它奇函数

把上面的图像以原点为中心旋转π，它与原来重合

事实上函数有无穷多个对称中心，点（nπ，0）（n为整数）都是对称中心

还可以看出，f(x)=sinx关于x=π/2、x=-π/2、x=3π/2、x=-3π/2……等直线镜面对称

也就是关于x=(2n+1)π/2（n为整数）镜面对称

这从数学上也很容易证明:

关于对称轴x=π/2:

f(π/2-x)=sin(π/2-x)=cosx，同时也有sin(π/2+x)=cosx（这两个等式必须熟记）

因此f(π/2-x)=sin(π/2+x)

关于对称轴x=-π/2:

f(-π/2-x)=sin(-π/2-x)=-sin(π/2+x)=-cosx

f(-π/2+x)=sin(-π/2+x)=-sin(-π/2+x+π)=-sin(x+π/2)=-cosx

（注意第二个等式，一步一步来，不要急）

因此f(-π/2-x)=sin(-π/2+x)

对于其他的对称轴利用周期性即可证明

3.周期性

这是学习的基本函数中第一个真正意义上的周期函数

根据sin(x+2nπ)=sinx（n为整数），并结合图像，每个x与x+2nπ的函数值都相等

符合周期函数f(x+a)=f(a)的定义

f(x)=sinx不仅仅符合f(x)=f(x+2π)，同时还符合f(x)=f(x-2π)、f(x+4π)、f(x-4π)……

总之只要是2nπ（n为整数）都是它的周期

这里取绝对值最小的正的周期叫作最小正周期，最小正周期是能完整描述函数性质的最小周期。

比如对于f(x)=sinx 它的最小正周期就是2π

4.函数的复合

4.1

f(x)=sinx+a(a≠0）

非常简单，把f(x)=sinx的图像沿着a的方向垂直平移a个单位即可，a＞0时向上，a＜0时向下

值域：非常简单：[-1+a，1+a]

单调性：函数的单调性不受任何影响，原来是增函数的区间仍然是增函数，原来是减函数的区间仍然是减函数

对称性：不再是奇函数。它的对称中心还在，全部向a的方向垂直平移，变成了（nπ，a）

对称轴还在，函数只是垂直移动，没有水平移动，还是x=(2n+1)π/2（n为整数）

周期性：函数只是上下平移了，f(x)随x的变化规律没有变化，周期性没有变化

举例如下为f(x)=sinx+2的图像

4.2

f(x)=asinx（a≠0，a≠1）

同样很简单，就是把函数值扩大（或缩小）了a倍，如果a是负数，函数上下颠倒

值域：[-|a|，|a|]

单调性：当a＞0时函数的单调性不受任何影响，原来是增函数的区间仍然是增函数，原来是减函数的区间仍然是减函数；当a＜0时函数的增减区间互换

对称性：仍然是奇函数，它的各对称中心也都未变，对称轴也都未变

周期性：函数只是上下拉伸（或收缩）了，水平方向没有变化，周期性没有变化

以上3个性质很容易用数学证明，请自行证明

举例如下：左图为f(x)=4sinx的图像，右图为f(x)=-4sinx的图像

4.1+4.2

f(x)=asinx+b

这个稍微复杂了一点，但也没有复杂到哪里去

先把sinx扩大（或者）缩小a倍，再向b方向垂直移动b个单位即可

举例如下：左图为f(x)=4sinx+2，右图为f(x)=2sinx+4

练习：

（1）请结合图像描述上述两个函数的值域范围、单调性、对称性和周期性，并用数学证明

（2）总结一般的f(x)=asinx+b的值域范围、单调性、对称性和周期性，用数学证明

4.3

f(x)=sin(x-a)

这个在二次函数中已经讲过了，这里再重复一遍，以后概不复述，必须要熟练掌握。

f(x-a)就是把函数向a的方向水平移动a个单位，若a＞0就是向右，若a＜0就是向左

注意，这里是x-a，是减号！！！

如果f(x减去一个正数)，就是向右移动这个正数个单位，比如f(x-2)就是向右移动2个单位

如果f(x加上一个正数）（等同于减去一个负数），就是向左移动这个正数个单位，比如f(x+2)（等同于f[x-(-2)])，就是向左移动2个单位

单调性：单调区间随着这个a一起水平移动，变成了（-π/2+a+2nπ，π/2+a+2nπ）

要注意的是，这里是+a哦，函数变成了f(x-a)，可是单调区间变成了+a

直观理解为：函数图像右移了a个单位，所以原来的节点都右移了

（a＞0时真的右移，a＜0时右移负数单位就是左移）

数学理解为：用x-a替换了x，原来的节点x=±π/2变成了x=±π/2-a，要再+a消掉-a

对称性：与单调区间的左右平移类似

对称中心同样水平移动了a个单位，变成了（nπ+a，0）

对称轴同样水平移动了a个单位，变成了x=(2n+1)π/2+a（n为整数）

周期性：函数只是水平移动了而已，最小正周期仍是2π

举例：下图为f(x)=sin(x-π/3)的函数图像

练习：请自行讨论当a=(2n+1)π和当a=2nπ时，sinx的图像和性质

4.4

f(x)=sin(ax)

这个相对复杂些

这里只讨论a＞0的情况。若a＜0，将负号提在sin外边即可

把x变成ax，相当于先把x的值扩大a倍（若a＜1则是缩小）

原来x的取值会变成ax，要想得到原来的x，需要把x变成x/a才行，把a抵消掉

比如，对比下f(x)=sinx和g(x)=sin4x

x……………0…………..π/6…………………..π/4……………………π/3……………….π/2

sinx：sin0=0 sin(π/6)=1/2 sin(π/4)=sqrt{2}/2 sin(π/3)=sqrt{3}/2 sin(π/2)=1

sin4x: sin0=0 sin(4π/6)=sqrt{3}/2 sin(4π/4)=0 sin(4π/3)=-sqrt{3}/2 sin(4π/2)=0

上表的意义不大，只能看出由于x变成4x，它的值被“拉大”了，导致sin(4x)也“变形”了，这个变形的规律很难从上表看出

来看下面这个表：

sinx/sin4x: sin0=0 sin(π/6)=1/2 sin(π/4)=sqrt{2}/2 sin(π/3)=sqrt{3}/2 sin(π/2)=1

f(x)的x取值： 0………………π/6…………….π/4……………………….π/3…………………π/2

g(x)的x取值： 0……………..π/24…………..π/16………………….π/12…………………..π/8

从上表可以看出，由于4x被拉大导致函数变形，在取相同的函数值的情况下，需要把x“压缩”为原来的1/4

更加一般的，如果是sin(ax)，需要把x压缩为原来的1/a

也就是说整个函数在水平方向上被等比例地“挤遍”了（当0＜|a|＜1时是“拉长”）

当函数被等比例地“挤遍”（或“拉长”）后，它的每个点，包括重要的节点、对称点都被“挤遍”（或“拉长”）了

单调性：原本单调递增区间（-π/2+2nπ，π/2+2nπ）（n为整数），都被挤（或拉）成了：

（(-π/2+2nπ)/a，(π/2+2nπ)/a），单调递减区间也是如此

对称性：它原本的对称中心（nπ，0）（n为整数）都被挤（或拉）成了（nπ/a，0），我们的原点（0，0）由于不受影响，仍然是奇函数。

他原本的对称轴x=(2n+1)π/2（n为整数）都被挤（或拉）成了x=(2n+1)π/2a

周期性：原本的最小正周期2π也被挤（或拉）成了2π/a，最小正周期变为2π/a

现在来看两个具体的例子：

上图（黑色）为f(x)=sinx的图像

中图（红色）为f(x)=sin(4x)的图像

下图（蓝色）为f(x)=sin(x/4)的图像

可以看出：

黑色从0开始的最小正周期为[0,2π]（大约6.28附近）

红色从0开始的最小正周期为[0,π/2]（大约1.57附近），最小正周期被压缩为2π/4

蓝色从0开始的最小正周期为[0,8π]（大约25.12附近），最小正周期被拉长为4*2π

只要掌握了正弦函数的周期性与a的关系，它的单调性和对称性可以用相似的方法类推

4.3+4.4

f(x)=sin(ax-b)

这里同时涉及到两种变化：拉伸和平移

单独处理拉伸和平移的情况已经研究过了，当二者混在一起情况会略微复杂

首先要确定的是：先解决拉伸的问题还是先解决平移的问题

有两种思路：

从ax-b这个式子来看，它是先把x压（或拉）a倍，然后再平移b个单位

如果把它写作a(x-b/a)，那么就是先平移b/a个单位，再压缩或拉伸a倍

以讨论f(x)=sin(ax-b)的单调区间为例：

此处只考虑a＞0的情况，a＜0时增减互换

思路1：

sinx的单调递增区间为（-π/2+2nπ，π/2+2nπ）（n为整数）

先压缩：sin(ax)单调递增区间为（(-π/2+2nπ)/a，(π/2+2nπ)/a）（n为整数）

再平移：sin(ax-b)单调递增区间为（(-π/2+2nπ)/a+b/a，(π/2+2nπ)/a+b/a）（n为整数）

即（-π/(2a)+b/a+2nπ/a，π/(2a)+b/a+2nπ/a）（n为整数）

注意！！！“再平移”这步加上的是b/a，而不是b，这是为什么呢？

因为平移是针对x，不是针对ax，把x平移b/a个单位，在a的作用下变成了b

也就是a(x-b/a)=ax-b

因此把f(x)写作f(x)=sin[a(x-b/a)]的形式更加直观

这里再强调下函数初步里强调过的水平移动，必须是作用于x本身，不能掺杂任何其他元素

思路2：

sinx的单调区递增间为（-π/2+2nπ，π/2+2nπ）（n为整数）

先平移：sin(x-b/a)的单调递增区间为（-π/2+2nπ+b/a，π/2+2nπ/a+b/a）（n为整数）

再压缩：sin[a(x-b/a)]的单调递增区间为………

做不下去了……

在思路1中已经强调，这种ax或者x-b的变换都必须是作用于x本身，这里先平移再压缩，就把-b/a牵扯进来了，在这里可以简单地把元素b/a不要除以a，可以得到相同的结果（-π/(2a)+b/a+2nπ/a，π/(2a)+b/a+2nπ/a），但是为什么在表达式里b/a项在括号里命名也乘以a，却在这里不给它除以a？

注意！在处理x时，一定是先“远”后“近”的，我们把b变成b/a放在括号里之后，它就比a*离x更近了，而在ax-b里，a比b离x更近。

因此正确的做法是不要把b除以a：

先平移：把(ax)看作一个真题，sin(ax-b)的单调递增区间为（-π/2+2nπ+b，π/2+2nπ/a+b）（n为整数）

再压缩：sin[a(x-b/a)]的单调递增区间（-π/(2a)+b/a+2nπ/a，π/(2a)+b/a+2nπ/a）（n为整数）

要点

在处理形如f(x)=sin(ax-b)的函数时，较为稳妥的处理方式是把它写作f(x)=sin[a(x-b/a)]的形式。

但由于是“倒推”，即由ax-b=某值，倒推出x，所以一定要按照方法1的顺序而不是方法2的错误顺序：

第一步先做压缩（或拉伸），除以a

第二步在做平移，向右平移b/a个单位

注意这里是是ax-b，如果是ax+b就是向左平移b个单位，如果b是负数就是反方向

比如x-4是向右+4，x-(-4)=x+4是向右-4也就是向左+4

也就是先处理离x“远”的（在括号外面的），后处理离x“近”的（在括号里面的）；先处理压缩（或拉伸），再处理平移

（如果先平移再拉伸的话，平移的量再拉伸后计算起来很麻烦并且很容易出错）

此外在函数里的+b和-b，与落在单调区间、对称中心、对阵轴等范围上的-b/a和+b/a符号不要弄反

下面是f(x)=sin[2(x-π/6)]=sin(2x-π/3)的图像：

代入a=2，b=π/3到（-π/(2a)+b/a+2nπ/a，π/(2a)+b/a+2nπ/a）

可以直接得出它的单调递增空间为：（-π/12+nπ，5π/12+nπ）（n为整数）

π取近似值，图中画出的大约在（-3.402，-1.832）（-0.262，1.308）（2.878，4.448）

需要强调的是：这里不是要记住ax-b和（-π/(2a)+b/a+2nπ/a，π/(2a)+b/a+2nπ/a）这个公式，而是要牢记转化为a(x-b/a)，先压缩（除以a）再平移（向右+b）的思路！

总结

经过上篇的初步了解，这篇开始真正学习三角函数的重要性质了。

本篇通过正弦函数详细讲解三角函数的性质和复合，需要非常认真地理解和记忆

在此基础上下篇学习余弦函数和正切函数会轻松许多

周期性是三角函数最重要的性质，单调性、对称性都是与周期性密不可分的

多处理f(x)=sin(ax-b)型的题目，同时用严谨的数学推导和根据函数图像直观理解，对掌握三角函数的性质非常有帮助

本章需要对正弦函数波浪样的图像有非常清晰深刻的记忆，对它的零点、递增递减区间、对称性、重复性（周期性），以及在x轴方向和y轴方向上的压缩（拉伸）和平移都要有直观理解。

要能达到看到表达式就自动在脑海里联想出图形的有关变化。