渐近线和极限的关系

当我们谈论渐近线时，我们会想到什么？一条曲线与一条直线，在遥远的地方无限地接近，又彼此分离。这种若即若离的美感就好像上一节极限我们所提到的欲求完美，却触摸不到绝对的完美。本文，学长将带你穿过迷雾，去“无穷远”处看看渐近线的真容。

用一生的时间去追求完美，但是依然达不到绝对完美

上图中，我们追求完美，会随着时间的流逝逐渐趋向于绝对的完美，但绝对完美就像高压线一样，无法触摸，这种逐渐靠近却又接触不到与极限相似，而这条“高压线”就叫做曲线的渐近线。代入到上篇极限文章的回家模型中：

“回不了家”模型

在回家模型中，以时间为横轴，离家距离为纵轴。时间飞转，离家日近，但永远都进不了家门。在距离-时间图中，房子是我永远到不了的红线，即为渐近线（顾名思义：逐渐靠近的线）

简单了解渐近线的含义后，回到数理的世界。看看水平、垂直、斜三种渐近线的本质来源和相互关系。既然渐近线是直线，其表达式可设为： y=kx+b ，k为渐近线斜率，也极为渐近线与X轴正向夹角的正切值，如下：

K的值等于直线与x轴正向夹角的正切值

那么k就有如下三种情况：

（a） k=0时：tantheta=0Rightarrowtheta=0. 此时渐近线与x轴平行，为水平渐近线，表达式为： y=y_{0}

（b） k=infty：tantheta=inftyRightarrowtheta=90° 此时渐近线与x轴垂直，为垂直渐近线，表达式为： x=x_{0}

（c） k=非0常数时：tanthetain(0,+infty)Rightarrow0＜theta＜90° ，此时为斜渐近线。

三种类型的渐近线

三种渐近线的关系

图上三种类型的渐近线，神态各异。但如果我告诉你，三类渐近线对应的曲线形状均相同，只是在坐标系里的位置不同，你有没有一些想法？

那就是，渐近线与X轴不同的夹角，都可以看做是选取了不同的坐标系所致，如下图：

不同坐标下的渐近线

固定图中三条相同的曲线，其渐近线也随之固定。这时转动坐标系：

1. 令x轴与渐近线平行，得到水平渐近线；
2. 令x轴与渐近线垂直，得到垂直渐近线；
3. 令x轴与渐近线成其他任意角，得到斜渐近线。

无论怎么转动坐标系，曲线与渐近线的关系均是：曲线只能无穷趋近于渐近线，但永远触碰不到。以图中的情况为例，对于水平和斜渐近线而言，可以通过x值的变化来描述此过程，即x增大，渐近线和曲线的距离越来越近；而对于垂直渐近线而言，用y来描述，y越大曲线越接近渐近线。

求渐近线

理解渐近线与x/y变量的关系后，接下来我们要了解如何求渐近线。对于斜渐近线和水平渐近线，即x趋近于+∞或－∞时，渐近线的y坐标和曲线y坐标越来越近，既有： lim_{x rightarrow +infty}{(y_{曲线}-y_{渐近线})}=0或lim_{x rightarrow -infty}{(y_{曲线}-y_{渐近线})}=0 即lim_{x rightarrow +infty}{y_{曲线}}=lim_{x rightarrow +infty}y_{渐近线}或lim_{x rightarrow -infty}{y_{曲线}}=lim_{x rightarrow -infty}y_{渐近线}

x趋近于＋∞或－∞时，渐近线和曲线的y坐标值逐渐靠近(紫色线越短)

对于水平渐近线有： lim_{x rightarrow +infty}{y_{曲线}}=lim_{x rightarrow +infty}y_{渐近线}=y_{0}或lim_{x rightarrow -infty}{y_{曲线}}=lim_{x rightarrow -infty}y_{渐近线}=y_{1}

有水平渐近线。若 y_{0}=y_{1} ，则为一条水平渐近线；若 y_{0}≠y_{1} ，则为两条水平渐近线，如上图所示。

判据： lim_{x rightarrow +infty}{y_{曲线}}或lim_{x rightarrow -infty}{y_{曲线}} 存在，则有水平渐近线 y=y_{0} 或 y=y_{1} ，其中 y_{0}=lim_{x rightarrow +infty}{y_{曲线}}或y_{1}=lim_{x rightarrow -infty}{y_{曲线}}

对于斜渐近线有：

以上图右侧斜渐近线为例：

lim_{x rightarrow +infty}{(y_{曲线}-y_{渐近线})}=0Rightarrowlim_{x rightarrow +infty}{(y_{曲线}-kx-b)}=0Rightarrowlim_{x rightarrow +infty}{(y_{曲线}-kx)}=b

而 lim_{x rightarrow +infty}{(y_{曲线}-kx)}=bRightarrowlim_{x rightarrow +infty}{(frac{y_{曲线}-kx}{x})}=lim_{x rightarrow +infty}frac{b}{x}=0

即 lim_{x rightarrow +infty}{(frac{y_{曲线}-kx}{x})}=0Rightarrowlim_{x rightarrow +infty}{({frac{y_{曲线}}{x}-k})}=0Rightarrowlim_{x rightarrow +infty}{{frac{y_{曲线}}{x}}}=k

左侧同理可得，即改为x趋近于-∞。

判据为： lim_{x rightarrow +infty}{{frac{y_{曲线}}{x}}}，lim_{x rightarrow +infty}{(y_{曲线}-kx)} 均存在时，有斜渐近线 y=k_{1}x+b_{1}

其中 k_{1}=lim_{x rightarrow +infty}{{frac{y_{曲线}}{x}}} ， b_{1}=lim_{x rightarrow +infty}{(y_{曲线}-kx)} .

或者， lim_{x rightarrow -infty}{{frac{y_{曲线}}{x}}}，lim_{x rightarrow -infty}{(y_{曲线}-kx)} 均存在时，有斜渐近线 y=k_{2}x+b_{2}

其中 k_{2}=lim_{x rightarrow -infty}{{frac{y_{曲线}}{x}}} ， b_{2}=lim_{x rightarrow -infty}{(y_{曲线}-kx)} .

若 k_{1}=k_{2}，b_{1}=b_{2} ，则是同一条斜渐近线。

最后来讲下垂直渐近线，对于垂直渐近线而言，其与水平/斜渐近线是相反的。即随着y趋近于+∞或者-∞时，渐近线的x坐标和曲线的x坐标越来越近。

随着y趋近于+∞或-∞，渐近线和曲线x坐标越来越近(紫线越短)

以左侧曲线为例：

lim_{y rightarrow +infty}{(x_{曲线}-x_{渐近线})}=0

lim_{y rightarrow +infty}{x_{曲线}}=x_{渐近线}=x_{0}

即 yrightarrow+infty,xrightarrow x_{0}^{-} 反过来 xrightarrow x_{0}^{-},yrightarrow+infty

右侧曲线推导类似。

所以最后有垂直渐近线的判据： lim_{x rightarrow x_{0}}{y_{曲线}}=infty

如何找 x_{0} 这个点？这些点通常是：使分式分母为0的点、使 log_{a}(为0) 的点、使 tan(为frac{pi}{2}+kpi) 的点等（可自行总结）。

临阵磨枪，不快也光！（例题讲解）

相关例题

p.s.本文为了理解方便，所以涉及的极限是广义上的极限：即逐渐趋近但不等于。但是严格来说，极限在趋近的过程中有可能会等于极限值，它们的区别见这篇文章(点击进入)。

到此结束~

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