在學習微積分時，你是否經常看到一下表述：“當 a 趨近於0時，f(a)的值趨近於...”？當使用“趨近”這個詞時，說這句話的人其實在引用極限的概念。

說到極限，我們不能繞過極限那個復雜的定義。先講數列極限的定義。對於一個數列 {a_n}=a_1,a_2,a_3,... ，定義它的極限為：

乍一看，似乎一頭霧水，實際上理解後還是挺直白的。先看看我們在說“人話”時，對極限的印象：如果一個數列在行進的過程中離某個值越來越近，以至於距離微乎其微，那麼這個數列的值就趨近於這個值。例如，數列 {a_n}=1,0.7,0.5,0.34,0.22,0.14,0.09,0.05,...,0.00001,... 看起來似乎趨近於0，因為它離 0 的距離越來越近。

但是這個描述從數學角度看非常不嚴謹：“行進”？“近”？“微乎其微”？這種詞在以前的數學學習中似乎從來沒有出現過。於是需要上述的嚴格定義。

不妨先看看 |a_n-a| ，相信很多人都很熟悉絕對值符號裡面放一個減號的幾何意義——數軸上一個數到另一個數的距離。在這裡，就是數列的一項， a_n ，到“the supposed”極限值 a 的距離。

而“近”是一個形容詞，我們沒有辦法描述一個形容詞，但我們可以用一個“比較”替代它，即一個不等式。既然距離要小，那麼就把剛才說的距離放在不等式的 小於號< 左邊，右邊放一個正實數（因為距離一定不是負的），命名為 epsilon ，作為一個（暫時）靜態的標準。為瞭要體現“距離微乎其微”，我們可以說 “比一個很短很短的已知靜態距離還要近”，也就是說，讓 不等式右邊的實數 epsilon 小，所以定義裡說“對於任意 正數 epsilon”，這裡面包含瞭很小很小的正數。

接下來還剩下正整數 N ，註意這裡 N 是數列中某一項的腳標，表明這一項在數列裡的哪一個位置。那麼，定義裡的描述就是把 N 當成一個分水嶺，過瞭 a_N ，數列之後的每一項都滿足那個不等式。可以把 表示角標的符號 N 想象成一個動態的 學生，在知道標準 epsilon 後竭力要達到這個標準，並在 第N項 之後成功達到標準。

合起來，這個不接地氣的定義就是說：無論你要求的范圍多小，隨著這個數列的行進一定能使得它在過瞭某個點後，所有項的值都落在你要求的范圍以內，這個范圍的中心就是這個數列的極限。

本人拙手畫的示意圖

現在，我們來看一道例題：

乍一看十分明顯，但是不要忘記我們的目標：證明對於任意大的正數A，總有一個N使得當n>N時，數列大於正數A。由於這個A是 暫時確定 的，我們可以嘗試用A表示我們所需的N。

p大於1，所以設 p=q+1 (q>0).

a_n=(q+1)^n=1+nq+frac{n(n-1)}{2!}q^2+ ...>nq

如果 nq>A ，需要有 n>frac{q}{A} . 這樣，我們就可以用常數 q 和暫定常數A表示 N 瞭： N=lceilfrac{q}{A}rceil (表示向上取整），所以無論A有多大，總有一個 N 使得 a_N>A ，證畢。

接下來我們來看函數的極限定義。

其實和數列的極限定義有幾分相近。數列是把n的值與 x_n 的值對應，而函數是把x的值與y的值對應。註意這裡有兩個（比較小）的正數， delta 和 epsilon ，分別約束 x 和 y，其中 delta 起瞭和數列定義中的 N 差不多的作用。

與之前不同的是函數圖像沒有角標，故無所謂先後，所以我們可以定義函數關於一個 x_0 的左極限和右極限，分別表示從 x 軸左邊趨近 x_0 的情況和從右邊接近 x_0的情況。

舉一個例子：我們熟知的反比例函數，將其平移一下，得到 f(x)=frac{1}{x-4} ，如圖。

可以看到這個函數在x=4處有一個垂直漸近線，是不連續的。在這個例子下， lim_{xrightarrow 4+}f(x)=+infty 而 lim_{xrightarrow 4-}f(x)=-infty 。註意，在這種情況下極限是不存在的，因為要使極限存在必須左極限存在，右極限存在，且左極限等於右極限。

下面的例子解釋瞭“去心鄰域”。

定義 f(x)=2x-2(xne1) ，而對於x=1 f(x) 無定義。我們仍然可以寫下 lim_{xrightarrow 1}f(x)= lim_{xrightarrow 1+}f(x)= lim_{xrightarrow 1-}f(x)=0 ，因為極限的定義裡面沒有要求在 x=1 處函數有定義。

OK這就是 HFLS Math Club 在微積分專欄下的beginning，請關註：

HFLS Calculus和蒸汽知識庫

作者：Travis