在學習微積分時,你是否經常看到一下表述:“當 a 趨近於0時,f(a)的值趨近於...”?當使用“趨近”這個詞時,說這句話的人其實在引用極限的概念。
說到極限,我們不能繞過極限那個復雜的定義。先講數列極限的定義。對於一個數列 {a_n}=a_1,a_2,a_3,... ,定義它的極限為:
乍一看,似乎一頭霧水,實際上理解後還是挺直白的。先看看我們在說“人話”時,對極限的印象:如果一個數列在行進的過程中離某個值越來越近,以至於距離微乎其微,那麼這個數列的值就趨近於這個值。例如,數列 {a_n}=1,0.7,0.5,0.34,0.22,0.14,0.09,0.05,...,0.00001,... 看起來似乎趨近於0,因為它離 0 的距離越來越近。
但是這個描述從數學角度看非常不嚴謹:“行進”?“近”?“微乎其微”?這種詞在以前的數學學習中似乎從來沒有出現過。於是需要上述的嚴格定義。
不妨先看看 |a_n-a| ,相信很多人都很熟悉絕對值符號裡面放一個減號的幾何意義——數軸上一個數到另一個數的距離。在這裡,就是數列的一項, a_n ,到“the supposed”極限值 a 的距離。
而“近”是一個形容詞,我們沒有辦法描述一個形容詞,但我們可以用一個“比較”替代它,即一個不等式。既然距離要小,那麼就把剛才說的距離放在不等式的 小於號< 左邊,右邊放一個正實數(因為距離一定不是負的),命名為 epsilon ,作為一個(暫時)靜態的標準。為瞭要體現“距離微乎其微”,我們可以說 “比一個很短很短的已知靜態距離還要近”,也就是說,讓 不等式右邊的實數 epsilon 小,所以定義裡說“對於任意 正數 epsilon”,這裡面包含瞭很小很小的正數。
接下來還剩下正整數 N ,註意這裡 N 是數列中某一項的腳標,表明這一項在數列裡的哪一個位置。那麼,定義裡的描述就是把 N 當成一個分水嶺,過瞭 a_N ,數列之後的每一項都滿足那個不等式。可以把 表示角標的符號 N 想象成一個動態的 學生,在知道標準 epsilon 後竭力要達到這個標準,並在 第N項 之後成功達到標準。
合起來,這個不接地氣的定義就是說:無論你要求的范圍多小,隨著這個數列的行進一定能使得它在過瞭某個點後,所有項的值都落在你要求的范圍以內,這個范圍的中心就是這個數列的極限。
本人拙手畫的示意圖
現在,我們來看一道例題:
乍一看十分明顯,但是不要忘記我們的目標:證明對於任意大的正數A,總有一個N使得當n>N時,數列大於正數A。由於這個A是 暫時確定 的,我們可以嘗試用A表示我們所需的N。
p大於1,所以設 p=q+1 (q>0).
a_n=(q+1)^n=1+nq+frac{n(n-1)}{2!}q^2+ ...>nq
如果 nq>A ,需要有 n>frac{q}{A} . 這樣,我們就可以用常數 q 和暫定常數A表示 N 瞭: N=lceilfrac{q}{A}rceil (表示向上取整),所以無論A有多大,總有一個 N 使得 a_N>A ,證畢。
接下來我們來看函數的極限定義。
其實和數列的極限定義有幾分相近。數列是把n的值與 x_n 的值對應,而函數是把x的值與y的值對應。註意這裡有兩個(比較小)的正數, delta 和 epsilon ,分別約束 x 和 y,其中 delta 起瞭和數列定義中的 N 差不多的作用。
與之前不同的是函數圖像沒有角標,故無所謂先後,所以我們可以定義函數關於一個 x_0 的左極限和右極限,分別表示從 x 軸左邊趨近 x_0 的情況和從右邊接近 x_0的情況。
舉一個例子:我們熟知的反比例函數,將其平移一下,得到 f(x)=frac{1}{x-4} ,如圖。
可以看到這個函數在x=4處有一個垂直漸近線,是不連續的。在這個例子下, lim_{xrightarrow 4+}f(x)=+infty 而 lim_{xrightarrow 4-}f(x)=-infty 。註意,在這種情況下極限是不存在的,因為要使極限存在必須左極限存在,右極限存在,且左極限等於右極限。
下面的例子解釋瞭“去心鄰域”。
定義 f(x)=2x-2(xne1) ,而對於x=1 f(x) 無定義。我們仍然可以寫下 lim_{xrightarrow 1}f(x)= lim_{xrightarrow 1+}f(x)= lim_{xrightarrow 1-}f(x)=0 ,因為極限的定義裡面沒有要求在 x=1 處函數有定義。
OK這就是 HFLS Math Club 在微積分專欄下的beginning,請關註:
HFLS Calculus和蒸汽知識庫
作者:Travis
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