思考： r(A) ， r(bar{A} ) 與方程有無解的關系

先給結論：

設系數矩陣的秩為A，增廣矩陣的秩為 bar{A} ，未知數個數為n

1.當r(A)<r(bar{A})時，線性方程組無解

2.當r(A)=r(bar{A}) <n時，有無窮多解

3.當r(A)=r(bar{A}) =n時，有唯一解

為什麼 r(A) leq r(bar{A} )+1 ???

由矩陣行秩等於列秩的性質，增廣矩陣相比於系數矩陣增多瞭一列，因此非0列的數量最多會增加1列。

因此最多增高矩陣的秩比系數矩陣的秩大1。

從另一個角度理解，考慮非0行的變化。

若系數矩陣化為階梯形矩陣有r行非0行，則增廣矩陣根本不用考慮在那r行中，系數會因由初等行變換化為階梯形時發生什麼改變，增廣矩陣至少也有r行非0行。

在系數矩陣的0行，才需要考慮增加的那一列系數發生瞭什麼改變。

若在一系列的初等行變換後，增加的那一列系數的分量（系數矩陣所在0行）正好為0，則增廣矩陣這一行也為0。

若在一系列的初等行變換後，增加的那一列系數的分量（系數矩陣所在0行）不為0，則增廣矩陣這一行不為0。

若存在不止一個這樣的分量（系數矩陣所在0行）不為0，則在增廣矩陣中，在這些行中：它們隻有最後一列不為0，其他列均為0。這可通過初等行變換，使得隻有一行中最後一個分量不為0，其他行中均為0。

因此由非0行的角度來看，增廣矩陣的秩也隻會比系數矩陣的秩多1。

從方程組的向量形式重新理解線性方程組有無解的判定方法：

對於有n個未知數的方程組而言，換言之，即寫成 AX=beta 的形式時，系數矩陣A的列D有n個。

對於齊次線性方程組 AX=bar{0}

（i） r(A)=n

此時由於列向量組滿秩，因此列向量組線性無關，故方程組隻有零解

（ii） r(A) <n

此時由於列向量組不滿秩，因此列向量組線性相關，故方程組存在非零解，即存在無窮多解；即存在基礎解系

對於非齊次線性方程組 AX=beta

(i) r(A) ne r(bar{A})

r(alpha_{1},alpha_{2},....,alpha_{n}) ne r(alpha_{1},alpha_{2},....,alpha_{n},beta),即向量 beta 不能由向量組 alpha_{1},....alpha_{n} 線性表示，即方程組無解

（ii）r(A) = r(bar{A}) =n

此時r(alpha_{1},alpha_{2},....,alpha_{n}) =r(alpha_{1},alpha_{2},....,alpha_{n},beta),即向量 beta 能由向量組 alpha_{1},....alpha_{n} 線性表示

又由於系數矩陣的列向量組滿秩，故表示方法唯一

（iii） r(A) = r(bar{A}) <n

此時r(alpha_{1},alpha_{2},....,alpha_{n}) =r(alpha_{1},alpha_{2},....,alpha_{n},beta),即向量 beta 能由向量組 alpha_{1},....alpha_{n} 線性表示

又由於系數矩陣的列向量組不滿秩，故表示方法不唯一；

即方程有無窮多解，此時通解=非奇特+奇通