高中數學物理方法9：函數凹凸性分析

本文觀點相對簡單，主要是為瞭加深一些高中物理圖像的理解，並不涉及過度深奧的數學問題，

當然喜歡的小夥伴也可以自己用數學方法證明，甚至可以進一步拓展，

也歡迎小夥伴們把證明過程在留言中分享給大傢。

現在雖然我粉絲不是很多，也不是大V，倒是經常能體會到大V被噴的感覺，所以，大傢覺得膚淺瞭，不要攻擊哈！隻要把自己高深的見解分享給大傢即可，

因為本文沒有進行深入分析，隻是選取瞭有用的一部分關於凹凸性函數的知識點而已！

當然，高中的小夥伴們或許知道函數凹凸性要用二階導數的正負性來判別，當然本節要講的方法沒有那麼復雜，

好瞭，我要開始講瞭！

很簡單的，因為不想證明瞭，所以本節直接給結論，對於結論的可靠性以及對結論的記憶完全靠經驗，因為確實很好用，再說一下，如果有高人瞧不上瞭，可以自己證明，無非就是割線斜率變化與二級導函數之間的關系。

結論就是，

若函數 f(x)=k(x)cdot x 是單調增函數，且 xgeq0 ， f(x)geq 0 ，

（1）若 k(x) 為常數，則 f(x) 為直線。

（2）若 k(x) 也為 x 的單調增函數，則 f(x) 為凹函數。

（3）若 k(x) 為 x 的單調減函數，則 f(x) 為凸函數。

圖像如下，看圖像顯然更加直觀，也非常容易記憶。

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因為有些不同的數學教輔對凹、凸的定義不一樣，所以小夥伴們也可以忽略，隻要記住函數圖像的形狀即可。

好瞭，上面的結論應該是很好理解的吧。

我們可以把 k(x) 稱為系數函數，其本質是反映瞭割線的斜率，

系數函數是常數，則 f(x) 均勻增加，故為直線，如圖像A，

系數函數是增函數，則 f(x) 增加越來越快，故為凹函數，如圖像B，

系數函數是減函數，則 f(x) 增加越來越慢，故為凸函數，如圖像C，

但要註意前提是 f(x) 是增函數。

好瞭，然後我們看看在物理中有什麼運用呢？

比如，小燈泡圖像系列，

（1）小燈泡的伏安特性曲線 U-I 曲線，首先電壓 U 隨著電流 I 的增大而增大，

我們根據 U=Rcdot I ，於是電阻 R 可以看做系數，即 U=R(I)cdot I ，

系數 R 隨著電流 I 的增大而增大，

所以， U-I 曲線是凹函數，如圖像B。

（2）小燈泡的伏安特性曲線 I-U 曲線，電流 I 隨著電壓 U 的增大而增大，

根據 I=frac{1}{R}cdot U ，系數 frac{1}{R} 隨著 U 的增大而減小，

所以，I-U 曲線是凸函數，如圖像C。

（3）小燈泡的功率與電流平方 P-I^2 曲線，功率 P 隨著電流平方 I^2 的增大而增大，

根據 P=Rcdot I^2 ，系數 R 隨著 I^2 的增大而增大，

所以，P-I^2 曲線是凹函數，如圖像B。

（4）同樣可以分析，小燈泡的功率與電壓平方 P-U^2 曲線為凸函數，如圖像C。

系列圖像如下：

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好瞭，然後我們再來分析一個經典的實驗，就是驗證牛頓第二定律的實驗，關於小車加速度與受力之間的關系，我在文章“袁野：力學實驗3：探究加速度和力的關系”中對實驗的一些細節進行瞭分析，實驗裝置如下，

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我們假設重物的質量為 m ，小車的質量為 M ，實驗裝置已經平衡摩擦，

在實驗中，我們認為小車受到的拉力 F 就等於重物的重力 mg ，

所以，我們最終得到的 a-F 圖像就是 a-mg 圖像，

我們認為當 mll M 時，圖像為直線，但是隨著 m 的增大，直線開始彎曲，如下圖，

現在，我們寫出加速度 a 和 力 F(mg) 的表達式，這個是很簡單的，我就不推導瞭，相對巧妙的方法見文章“袁野：專題薈萃：曲線坐標系中的牛二定律，一種特殊的整體法”介紹。

我們得到， a=frac{mg}{m+M} ，

於是，我們得到， a=frac{1}{m+M}cdot mg ，

顯然，加速度 a 隨著 mg 的增大而增大，

而系數 frac{1}{m+M} 隨著 mg 的增大而減小，

所以，函數圖像為凸函數圖像，隨著 mg 的增大愈發明顯。

好瞭，講完啦！

更多精彩盡在“袁氏物語”！

附：文章中提到的文章及相關拓展閱讀

1.袁野：力學實驗3：探究加速度和力的關系

2.袁野：專題薈萃：曲線坐標系中的牛二定律，一種特殊的整體法

3.袁野：力學實驗4：驗證牛頓第二定律實驗的兩大誤差分析

4.袁野：力學實驗5：驗證牛頓第二定律的“無系統誤差”方法

5.袁野：力學實驗2：紙帶的處理