高中數學物理方法9:函數凹凸性分析

高中數學物理方法9:函數凹凸性分析

本文觀點相對簡單,主要是為瞭加深一些高中物理圖像的理解,並不涉及過度深奧的數學問題,

當然喜歡的小夥伴也可以自己用數學方法證明,甚至可以進一步拓展,

也歡迎小夥伴們把證明過程在留言中分享給大傢。

現在雖然我粉絲不是很多,也不是大V,倒是經常能體會到大V被噴的感覺,所以,大傢覺得膚淺瞭,不要攻擊哈!隻要把自己高深的見解分享給大傢即可,

因為本文沒有進行深入分析,隻是選取瞭有用的一部分關於凹凸性函數的知識點而已!

當然,高中的小夥伴們或許知道函數凹凸性要用二階導數的正負性來判別,當然本節要講的方法沒有那麼復雜,

好瞭,我要開始講瞭!

很簡單的,因為不想證明瞭,所以本節直接給結論,對於結論的可靠性以及對結論的記憶完全靠經驗,因為確實很好用,再說一下,如果有高人瞧不上瞭,可以自己證明,無非就是割線斜率變化與二級導函數之間的關系。

結論就是,

若函數 f(x)=k(x)cdot x 是單調增函數,且 xgeq0f(x)geq 0

(1)若 k(x) 為常數,則 f(x) 為直線。

(2)若 k(x) 也為 x 的單調增函數,則 f(x) 為凹函數。

(3)若 k(x)x 的單調減函數,則 f(x) 為凸函數。

圖像如下,看圖像顯然更加直觀,也非常容易記憶。

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因為有些不同的數學教輔對凹、凸的定義不一樣,所以小夥伴們也可以忽略,隻要記住函數圖像的形狀即可。

好瞭,上面的結論應該是很好理解的吧。

我們可以把 k(x) 稱為系數函數,其本質是反映瞭割線的斜率,

系數函數是常數,則 f(x) 均勻增加,故為直線,如圖像A,

系數函數是增函數,則 f(x) 增加越來越快,故為凹函數,如圖像B,

系數函數是減函數,則 f(x) 增加越來越慢,故為凸函數,如圖像C,

但要註意前提是 f(x) 是增函數。

好瞭,然後我們看看在物理中有什麼運用呢?

比如,小燈泡圖像系列,

(1)小燈泡的伏安特性曲線 U-I 曲線,首先電壓 U 隨著電流 I 的增大而增大,

我們根據 U=Rcdot I ,於是電阻 R 可以看做系數,即 U=R(I)cdot I

系數 R 隨著電流 I 的增大而增大,

所以, U-I 曲線是凹函數,如圖像B。

(2)小燈泡的伏安特性曲線 I-U 曲線,電流 I 隨著電壓 U 的增大而增大,

根據 I=frac{1}{R}cdot U ,系數 frac{1}{R} 隨著 U 的增大而減小,

所以,I-U 曲線是凸函數,如圖像C。

(3)小燈泡的功率與電流平方 P-I^2 曲線,功率 P 隨著電流平方 I^2 的增大而增大,

根據 P=Rcdot I^2 ,系數 R 隨著 I^2 的增大而增大,

所以,P-I^2 曲線是凹函數,如圖像B。

(4)同樣可以分析,小燈泡的功率與電壓平方 P-U^2 曲線為凸函數,如圖像C。

系列圖像如下:

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好瞭,然後我們再來分析一個經典的實驗,就是驗證牛頓第二定律的實驗,關於小車加速度與受力之間的關系,我在文章“袁野:力學實驗3:探究加速度和力的關系”中對實驗的一些細節進行瞭分析,實驗裝置如下,

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我們假設重物的質量為 m ,小車的質量為 M ,實驗裝置已經平衡摩擦,

在實驗中,我們認為小車受到的拉力 F 就等於重物的重力 mg

所以,我們最終得到的 a-F 圖像就是 a-mg 圖像,

我們認為當 mll M 時,圖像為直線,但是隨著 m 的增大,直線開始彎曲,如下圖,

現在,我們寫出加速度 a 和 力 F(mg) 的表達式,這個是很簡單的,我就不推導瞭,相對巧妙的方法見文章“袁野:專題薈萃:曲線坐標系中的牛二定律,一種特殊的整體法”介紹。

我們得到, a=frac{mg}{m+M}

於是,我們得到, a=frac{1}{m+M}cdot mg

顯然,加速度 a 隨著 mg 的增大而增大,

而系數 frac{1}{m+M} 隨著 mg 的增大而減小,

所以,函數圖像為凸函數圖像,隨著 mg 的增大愈發明顯。

好瞭,講完啦!

更多精彩盡在“袁氏物語”!

附:文章中提到的文章及相關拓展閱讀

1.袁野:力學實驗3:探究加速度和力的關系

2.袁野:專題薈萃:曲線坐標系中的牛二定律,一種特殊的整體法

3.袁野:力學實驗4:驗證牛頓第二定律實驗的兩大誤差分析

4.袁野:力學實驗5:驗證牛頓第二定律的“無系統誤差”方法

5.袁野:力學實驗2:紙帶的處理

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