立体几何中经常会出现正方体截面与交线问题，这个问题需要一些空间想象力，有的同学觉得有很简单，可以凭借很牛的空间想象能力快速解决，可是也有的同学空间想象力差一些（比如我），抓耳挠腮怎么也想不出来，所以今年高联A2的一试立体几何填空就错了（呜呜呜~~~）。这是今天听老师讲课的笔记，恰好补补短板。

一 找截面的两种方法

(1) 平面 alpha,beta,gamma 与直线 a,b ,若 alpha//beta,alphacapgamma=a,betacapgamma=b ,则 a//b

(2) 立体几何公理：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条经过该点的公共直线 。

二 常见的截面

(mathrm{i}) 在正方体 ABCD-EFGH 中， I 是 HG 的中点

设截面为 gamma ，因为面 ABCD // 面 EFGH 由法 (1) gamma 与这两面的交线是平行的，面 ABCD 与 gamma 的交线是 BD ，而 gamma 与面 EFGH 已经交于点 I ,那就要找一线段平行于 BD ，很自然地想到取 GF 的中点为 J

(mathrm{ii}) 在正方体 ABCD-EFGH 中， I 是 HG 的中点， J 是 GF 的中点

设截面为 gamma ，此时 gamma 应该交于面 ADHE ,面 ABFE ,而这两面并不平行，所以要用法 (2)

延长 JI,EH 交于 K 因此 K 在面 ADHE 与 gamma 中，也就是他们的公共点，而 A 同样也是两面的公共点

面 ADHE 与 gamma 只有一条交线，由公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条经过该点的公共直线 ”可知 AK 也就是交线， AK 交 DH 于 L ,由对称性可以得到 N 因此五边形 ALIJN 为截面.

下面我们来确定 L 的位置，取 HE 的中点为 M ，连接 JM

因此 KH=HM=dfrac{1}{2}HE ，所以 dfrac{LH}{DH}=dfrac{LH}{EA}=dfrac{KH}{KE}=dfrac{1}{3}

因此 L 是靠近 H 的三等分点

(mathrm{iii}) 在正方体 ABCD-EFGH 中， I,J,K 分别是 EH,HG,AE 的中点.

这个截面，很多同学应该很熟悉，就是截面中面积最大的正六边形。

下面我们来看看怎么得到的六边形截面

事实上，有对称性知道截面在 CG 的交点也是中点，那么下面就着重来看看截面与面 ABCD 的交线。

延长 IK,DA 交于 L ，由 (2) 知 L 在交线上，又由 (1) 面 EFGH 和面 ABCD 平行，那么 IJ 平行交线，再结合 L 的位置，因此很自然地取 AB,BC 的中点 M,N , L,M,N 共线，因此 MN 是交线。

三 小结

这三种截面并不难，是三种很常见的截面，得到他们并不难，但重要的是从中学习得到截面的方法，还要多多练习思考，做题方能笔走龙蛇，笔翰如流。

感谢观看。