我是槿靈兮，各位好久不見，先插幾句題外話：

1.本人高二數競在學，目前在校寄宿，通常情況下一個月兩天假，偶爾存在假期延遲情況，因而可能大傢的評論以及私信回復不及時，再次說明是希望大傢能見諒，多多包涵。

2.這個假期在老傢時間較多，沒什麼事幹，會盡量把最近的一些小成果寫在知乎上，本文亦是，應該寒假在知乎上會有3~5篇文章，兩篇小論文，一篇小應用，希望能都對大傢的數學學習有所幫助。

3.我的文章一般都是用Word打出來的，在知乎上面寫的話我每次要用幾個小時來改格式以及把公式適當調整，目前尚且不會LaTeX公式，最近準備學吧，目前的格式也隻能做這樣，已經很盡力瞭，大傢若有什麼比較好的處理格式的方法歡迎留言或者私信。

4.說一下這個公式我發現的背景：這個學期我們期末考試的最後一門是英語，考英語的前一晚我抱著英語本來就考不好，沒必要復習的爛心態，想著假期在知乎上面介紹我勇哥 @麥田 的雙半徑單交線公式，結果又想起瞭之前寫的一道題（例3），想著能不能推廣一下雙半徑單交線公式，第一節晚自習寫瞭很多恒等式，沒什麼發現，在下課，羅可典同學無意提到那個題目他是用射影寫的，於是第二節晚自習我在接著第一節晚自習的結果算瞭半節課，仍然徒勞無功，突然靈光一現，就想到瞭下面的證明方法，但當時隻想到瞭“+”的情況，“-”的情況是第二天考完英語和二徒弟談論結論的時候突然想到的。這告訴我們一個好的發現還是需要貴人的存在，前面兩篇文章的背景我近期也會補上。O(∩_∩)O~

1 引言

中學階段的學習中，在立體幾何部分的學習，縱觀近幾年各省份的高考與模考題，尤其喜歡拿外接球來作為考察必修二部分的壓軸小題。目前在課內外的教輔大多給出的是一種找球心，設外接球半徑，之後利用勾股定理求半徑的方法，但能否總結出一個公式，直接略過這種繁瑣的步驟。下面先推導並分析王文勇老師原創的雙半徑單交線公式，闡述其在解題中的強力應用，之後給出其推廣——極偏轉公式。

2 雙半徑單交線公式

引理1[1] 雙半徑單交線公式：若兩平面相互垂直，且在兩平面內各自凸多邊形的外接圓半徑分別為 R_{1}、R_{2} ，兩平面外接圓公共弦長為L ,則由兩平面凸多邊形頂點連接而成的凸多面體的外接圓半徑 R^{2}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-frac{L^{2}}{4} .

由於其他凸多邊形都可以轉化為三角形時的情形，下面僅證明當凸多邊形為三角形時的雙半徑單交線公式：

如下圖：圓A和圓D相互垂直，A、D分別為其圓心。BC為兩圓公共弦，EB、FC分別為圓A、圓D的一條直徑，G為EF中點。令圓A和圓D半徑分別為 R_{1}、R_{2} ，BC長為L。

欲證： R^{2}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-frac{L^{2}}{4} ，即證： (2R)^{2}=(2R_{1})^{2}+(2R_{2})^{2}-L^{2} 。

由於C為圓A上一點，EB為圓A的一條直徑，故由勾股定理得： （2R_{1})^{2}-L^{2}=left| EC right|^{2} ,故隻需證： (2R)^{2}=(2R_{2})^{2}+left| EC right|^{2} .

由於面EBC垂直於面FBC，所以EC垂直於面FBC，進而有EC垂直於FC.

則有 left| EF right|^{2}=(2R_{2})^{2}+left| EC right|^{2} .又因為G為EF中點，則 left| GE right|=left| GF right|，

下面隻需證明：G與外接球圓心O重合。

連接GA,GD，因為G、A分別為線段EF、EB的中點，G、D分別為線段FE、FC的中點。所以有GA//FB,GD//EC。進而有GA垂直於平面EBC， left| GB right|=frac{1}{2}left| EF right|=left| GE right| ;進而有GD垂直於平面FBC， left| GC right|=frac{1}{2}left| EF right|=left| GF right|,故點G在平面EBC的投影為點A，點G在平面FBC的投影為點D，從而點G與點O重合，故原式成立。

下面淺談雙半徑單交線公式在解題中的運用：

例1：（2017·湖南13校二模）已知四棱錐P-ABCD的底面為矩形，平面PBC bot 平面ABCD, PEbot BC 於E,EC=1， AB=sqrt{6}AB=sqrt{6} ,BC=3，PE=1，則四棱錐P-ABCD的外接球半徑為_____.

解：

3d9a31d7038ab664cf95cf6b225d9fe1

代入雙半徑單交線公式有：

例2：（2018·廣東佛山文科一模）平面四邊形ABCD中， AB=AD=sqrt{2} CB=CD=sqrt{10},AC=4 ，沿直線AC將△ACD翻折成△ACD’,當三棱錐D’-ABC的體積取得最大值時，該三棱錐的外接球的表面積是_____ .

解：由分析知，當面ACD’垂直於面ACD時，三棱錐D’-ABC

的體積取得最大值。

由於將△ACD翻折成△ACD不會改變平面角的大小，不妨令 angle ADC=theta。

由正弦定理得：

代入雙半徑單交線公式有：

則：

由上面兩道例題的應用我們足以發現雙半徑單交線公式的潛力，相比於初等方法中求外接球的設點法獨具特色，而且簡潔易行。可在下面這道例題中，它卻無濟於事。

例3：（2018·安徽合肥高三第一次教學質量檢測）在四面體ABCD中，AB=AD=2， angle BAD=60^{circ},angle BCD=90^{circ}.二面角A-BD-C的大小為 150^{circ} ，則四面體ABCD的外接球半徑為 _______.

在此題中，由於我們無法找到兩個垂直平面，隻有夾角為 30^{circ} 的兩平面，因而對於此題，雙半徑單交線公式失效。

我們知道雙半徑單交線公式適用於兩垂直平面已知的情況，也就相當於兩平面夾角為 90^{circ} 的情況，那麼，我們可以設一個任意角，從而推導出任意夾角情形時的雙半徑單交線公式。

3 極偏轉公式

單極偏轉公式： 若兩平面夾角為 theta ，且在兩平面內各自凸多邊形的外接圓半徑分別為 R_{1}、R_{2}

（默認底面圓半徑為 R_{1}，傾斜圓半徑為 R_{2},且 R_{1}geq R_{2}），兩平面外接圓公共弦長為L,則由兩平面凸多邊形頂點連接而成的凸多面體的外接圓半徑

其中±取決於傾斜面（含圓心部分)的投影是否覆蓋底面圓的圓心（未覆蓋取“+”號，覆蓋取“-”號）。

類似於上面對雙半徑單交線公式的證明，由於其他凸多邊形都可以轉化為三角形時的情形，下面僅證明當凸多邊形為三角形時的單極偏轉公式：

如右圖：圓A和圓D夾角為theta，A、D分別為其圓心。E為圓D與外接球的一個位於平面ABC上方的交點，BC為兩圓公共弦，F為BC中點。令圓A和圓D半徑分別為R_{1}、R_{2}，BC長為L。

由於平面EBC與平面ABC並非垂直關系，因雙此半徑單交線公式無法在此直接使用用以求出其外接球半徑。考慮到球的對稱性，不妨我們利用射影，在保留斜平面的上、下頂點之間高度的情況下再考慮雙半徑單交線公式的使用。

過點E作垂直於平面ABC的圓D的射影——圓G,G為其圓心。且圓G交圓A於點I、J，K為弦IJ中點。

於是對平面ABC和平面GIJ使用雙半徑單交線公式。圓A半徑為R_{1}，

圓G的半徑為

交線長為

015f903d66e122e75e158b980644d2bf

故帶入雙半徑單交線公式有：

由於在剛才的推導中斜平面（含圓心部分）在底平面的投影未覆蓋底平面圓心（即弦BC在圓心A右側），此時 left| AK right|=left| AF right|+left| FK right| ；若斜平面（含圓心部分）在底平面的投影覆蓋底平面圓心（即弦BC在圓心A左側），則有 left| AK right|=-left| AF right|+left| FK right| ，從而推導出的單極偏轉公式為：

由於在剛才的推導中我們默認底面圓半徑 R_{1} 大於斜平面半徑 R_{2} ，則在使用單極偏轉公式時也應註意這一點，不然 R_{1}、R_{2} 地位等價，底平面與斜平面也無區分的必要，此時的射影圖形也將有部分落在球體外，推導前提將不成立。

雙極偏轉公式： 若兩平面夾角為 theta ，且在兩平面內各自凸多邊形的外接圓半徑皆為r，兩平面外接圓公共弦長為L，則由兩平面凸多邊形頂點連接而成的凸多面體的外接圓半徑

其中“ pm ”” mp “取決於傾斜面（含圓心部分)的投影是否覆蓋底面圓的圓心（未覆蓋取分子“+”號，分母“-”號，覆蓋異號）。

如右圖：圓A和圓D相互垂直，A、D分別為其圓心。BC為兩圓公共弦，G為BC中點。延長AE交圓A於點F，圓A和圓D半徑分別皆為r，圓A和圓D夾角為 theta (即 angle OEF=theta ),BC長為L。

由餘弦定理得：

又因為

由餘弦定理得：

聯立兩式即得：

由於在剛才的推導中斜平面（含圓心部分）在底平面的投影未覆蓋底平面圓心（即弦BC在圓心A右側），此時 angle AED=pi-theta ；若斜平面（含圓心部分）在底平面的投影覆蓋底平面圓心（即弦BC在圓心A左側），則有 angle AED=theta ，從而推導出的雙極偏轉公式為：

而且當 theta=frac{pi}{2} 時，即兩平面垂直時，此時極偏轉公式與雙半徑單交線公式等價。

4 應用

下面用上述推導的單極偏轉公式來解決上面的例3。

例3：（2018·安徽合肥高三第一次教學質量檢測）在四面體ABCD中，AB=AD=2，angle BAD=60^{circ},angle BCD=90^{circ}.二面角A-BD-C的大小為150^{circ}，則四面體ABCD的外接球半徑為 _______.

解：

依題意：△BAD為等邊三角形，△BCD為等腰直角三角形。

令底平面為平面ABD,斜平面為平面BCD。

底平面半徑

斜平面半徑

兩平面夾角為 30^{circ} 。

代入單極偏轉公式得：

例4：已知邊長為 2sqrt{3} 的菱形中， angle BAD=60^{circ} ，沿對角線BD折成二面角A-BD-C為 120^{circ}

的四面體ABCD，則四面體ABCD的外接球的表面積為( ).[2]

A. 25pi B. 26pi C. 27pi D. 28pi

解：依題意： Delta ABDsimeqDelta CBD ,且△ABD、△CBD為鈍角為120°的等腰三角形。

令底平面為平面ABD,斜平面為平面CBD。

底平面半徑（斜平面半徑）為

17f5671c7c998ca2cdef162dcfad1c94

交線L= 2sqrt{3} ，

兩平面夾角為 frac{pi}{3} 。

代入雙極偏轉公式得：

故選D.

5 總結

本文通過對雙半徑單交線公式的討論，從中推廣出極偏轉公式。它為兩平面非垂直的情形下求外接球半徑也提供瞭一個計算的方法，這個效果是雙半徑單交線公式怎樣也無法比擬的，極偏轉公式的其它作用還有待研究。

參考文獻

[1] 王文勇。#勇哥的每日一題# 2018佛山一模文科壓軸很難嗎？如果你知道雙半徑單交線公式，可以砍瓜切菜。很多同學不懂何為雙半徑單交線公式，勇哥通過一道題講解一下，相信你看完會覺得so easy!還有，從今天開始，微博裡會有每日一題視頻，更多大招，敬請期待！。（2018-03-15）[2019-2-03].http://weibo.com/tv/v/G7woEsZpW?fid=1034:dded20eb76392089f3ceb5b4fe4f9773

[2] 組卷網。已知邊長為 的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿對角線BD折成二面角A﹣BD﹣C為120°的四面體ABCD，則四面體的外接球的表面積為（ ）。[2019-2-03].http://www.zujuan.com/question/detail-3094387.shtml

這篇文章也當是我送給勇哥 @麥田 的禮物瞭，感謝他一年之前教會瞭我雙半徑單交線公式，另外，大傢一般隻要記住雙半徑單交線公式就行，這個極偏轉公式若有能力的話最好自己推導一遍，理解性記憶，它的形式還是沒有雙半徑單交線公式好看，謝謝大傢！(ﾉ*･ω･)ﾉ。