一、无穷大

1、复利的力量：指数级增长。

2、无穷大的比较

• 康托尔提出来的比较两个无穷数的大小的方法与此一模一样：如果我们将两个无穷数所代表的对象集合进行配对，这样一个无限集合中的每一个对象都与另一个无限集合中的一个对象配成一对，到最后两个集合中都没有多余的对象，那么代表这两个集合的无穷数就是相等的。但是，如果其中一个集合有剩余，那么我们就可以说代表这个集合的无穷数比代表另一个集合的无穷数更大，或者说更强。
• 根据我们的无穷数比较法则，我们必须承认所有偶数的数量与所有数字的数量是相等的。
• 一个平面上所有的点的数量与一条线上所有的点的数量是相等的。
• 假设用一个数字，如0.75120386…来表示线段AB上某个点的位置，我们可以将这个小数上的奇分位和偶分位上的数字分别选出来组成两个新的小数，得到了0.7108…和0.5236…。

二、虚数

• 虚数的几何意义
• 所有的普通实数（无论正负）都可以用横轴上对应的点来表示，而纯虚数则用纵轴上对应的点来表示。如果我们把代表横轴上某点的一个实数，例如3，乘以虚数单位i，就可以得到一个位于纵轴上的纯虚数3i。因此，“将一个实数乘以i，在几何学上相当于将其对应点逆时针旋转90度”。

三、狭义相对论

1、四维空间

• 三维空间 + 时间

2、光速不变原理

• 光速在任何参考系下都是不变的。

3、相对性原理

• 如果S'是相对于惯性坐标系S作匀速直线运动且无转动的坐标系，那么，根据伽利略变换，S'也是惯性坐标系，自然现象相对于坐标系S'的演变将与惯性系S的演变一样依据同样的物理规律，这个陈述称为狭义相对性原理。换言之，一切物理规律在任何惯性系中具有相同的数学形式。
• 这意味着物理规律对于一位静止在实验室里的观察者和一个相对于实验室匀速运动着的电子是相同的。
• 空间收缩：若我们能将物体想象为以光速的50%、90%及99%的速度运动时，它们就分别会减少到其原有静止长度的86%、45%和14%。
• 时间膨胀：若一个人运动的速度非常快，以致其长度缩短了一半，那么，与之相关的时间间隔就会变为原来的两倍。
• 事实上，如果你的速度能达到光速的99.99999999%，那么，你的手表、你的心脏、你的肺、你的消化和思考过程都将会减慢70000倍。如此一来，地球到天狼星往返一趟所需的18年（这是从地球人的角度看到的时间）对你而言，不过是区区几个小时而已。而事实上，若是你一吃完早饭就从地球出发，那么，当你的飞船降落在天狼星的一个行星上时，正好是你想吃午饭的时间。或者，如果你行程匆忙，吃完午饭后马上就得回家，你也很可能会赶到晚饭时回到家。但在这里，如果你忘了相对论定律，那么，当你回到家时你定会大吃一惊，因为你会发现自己的朋友和亲戚已经“弃”了你，认为你已经迷失在了星际之中，而且自你走了之后，他们一共享用了6570顿晚餐了！且因为你是以接近光速的速度在运动，故而地球上的18年对你来说，也不过才一天的光阴而已。

四、广义相对论

• 直线：定义为两点之间最短距离的线，该线与绘制它的表面或空间相符，或称为测地线。
• 引力
• 实际上，现在我们可以摒弃以下过去的观点，即太阳以某种力直接作用于行星，从而使得行星围绕特定的圆形轨道运动。
• 那么新的、更准确的说法应该是：太阳的质量使它周围的时空世界发生了弯曲，行星的世界线看起来之所以是现在看到的那样，只是因为它们本身是穿过弯曲空间的测地线而已。
• 如此一来，重力作为一种独立力的概念就从我们的原有推理中完全消失了，取而代之的是纯几何空间的概念：所有的物质都在其他巨大质量造成的弯曲空间中，沿着“最直的线路”或称测地线运动。

五、宏观世界

1、经过几代天文学家的细致研究，我们最终得出结论，银河系内有大约400亿颗独立的恒星，分布在一个直径约10万光年的透镜状区域内，其厚度约为5000到10000光年。此外，研究还表明太阳根本不在此巨型的恒星社会的中心部位，而是位于其边缘的附近。如此说来，这还真是给人类强烈自尊心的一记耳光啊！

• 一个天文学家正举著望远镜观察缩小了100000000000000000000倍的银河系。此天文学家的脑袋正位于近太阳的位置上。

2、据目前已知的可靠数据来看，貌似退离星系的动能都要比它们的重力势能大上好几倍，由此可知，我们的宇宙正在无限地膨胀，而不会再受重力的作用彼此拉近距离。

3、但是，一定要记住的是，大多数跟宇宙整体相关的数据总的来说并不是十分精确，所以，未来的研究有可能会把目前的结论颠覆过来。但是，就算不断膨胀中的宇宙在某天突然停止膨胀，并回来重新以压缩的方式运动，那也需要花上几十亿年的时间。而这也正好是黑人诗歌里所描绘的、最可怕的一天：“当星星开始坠落”，而我们则会被坍缩的星系压垮！