在高中物理必修二中，我們就學過機械能守恒定律(law of conservation of mechanical energy)：

在選修3-5中我們還學習過動量守恒定律(law of conservation of momentum):

而兩物體的彈性碰撞就是一個典型的滿足以上兩個定律的模型，兩物體發生彈性碰撞時，碰撞前後經歷的時間極短，合外力的沖量作用可以忽略不計，因此滿足動量守恒；而碰撞過程中又僅有系統內彈力做功（重力與其他力要麼不做功，要麼做功可以忽略不計）

對於彈性正碰，以上兩個定律的表達式為

frac{1}{2}m_1v_1^2+frac{1}{2}m_2v_2^2=frac{1}{2}m_1v_1'^2+frac{1}{2}m_2v_2'^2

m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'

式中m_1 和 m_2 為兩物體質量， v_1,v_2 為碰前速度， v_1',v_2',為碰後速度。若已知質量與碰前速度，那麼隻需要聯立上述兩個方程即可解出碰後速度。但實際上這個方程組並不好解，反正我學的時候老師隻給瞭結論。通常的解法應該是這樣：

left{ begin{array}{l} frac{1}{2}m_1v_{1}^{2}+frac{1}{2}m_2v_{2}^{2}=frac{1}{2}m_1v_1'^2+frac{1}{2}m_2v_2'^2\ m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'\ end{array} right.

Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m_1v_{1}^{2}-m_1v_1'^2=-left( m_2v_{2}^{2}-m_2v_2'^2 right)\ m_1v_1-m_1v_1'=-left( m_2v_2-m_2v_2' right)\ end{array} right.

Rightarrow v_1+v_1'=v_2+v_2' (平方差公式)

Leftrightarrow v_1-v_2=-left( v_1'-v_2' right)

這表明碰撞前後相對速度大小不變方向相反，再將此式與動量守恒定律聯立即可。

不過這樣的求解終究還是較為繁瑣，我們知道物理中的每一個守恒律都對應瞭一種對稱性，能量守恒定律與時間平移對稱性是等價的，從時間對稱性的角度來思考彈性碰撞的問題，是否能讓問題變得更為簡單呢？

由於碰撞時間太短，我們很難從時間對稱性的角度研究，但我們可以在兩物體中間加一個彈簧來放慢這個過程，這並沒有影響。

最終我們得到瞭這樣的v-t圖。當兩物體剛開始接觸時彈簧開始壓縮，當彈簧壓縮量達到最大時二者共速，此時即是v-t圖中兩個圖像的交點A。此後彈簧開始伸長，由於彈簧伸長與壓縮剛好是關於時間對稱的，所以v-t圖像也恰好關於A點對稱。這樣隻要知道二者共速的速度就能根據對稱性求出末速度瞭。共速的速度可以用動量守恒定律來求解，但事實上，由於二者共速，所以A點的速度就等於兩物體質心的速度 v_c ，而質心的速度始終是不變的(根據質心運動定理， a_c=F_合=0 ），所以根據對稱性:

v_1+v_1'=2v_c

v_2+v_2'=2v_c

而質心的速度： v_c=frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2} (也可以通過動量守恒來求解這個共速的速度)

易得 left{ begin{array}{l} v_1'=frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1+frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2\v_2'=frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_2+frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1 \ end{array} right.

這樣我們就完成瞭求解。