在高中物理必修二中,我們就學過機械能守恒定律(law of conservation of mechanical energy):
在選修3-5中我們還學習過動量守恒定律(law of conservation of momentum):
而兩物體的彈性碰撞就是一個典型的滿足以上兩個定律的模型,兩物體發生彈性碰撞時,碰撞前後經歷的時間極短,合外力的沖量作用可以忽略不計,因此滿足動量守恒;而碰撞過程中又僅有系統內彈力做功(重力與其他力要麼不做功,要麼做功可以忽略不計)
對於彈性正碰,以上兩個定律的表達式為
frac{1}{2}m_1v_1^2+frac{1}{2}m_2v_2^2=frac{1}{2}m_1v_1'^2+frac{1}{2}m_2v_2'^2
m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'
式中m_1 和 m_2 為兩物體質量, v_1,v_2 為碰前速度, v_1',v_2',為碰後速度。若已知質量與碰前速度,那麼隻需要聯立上述兩個方程即可解出碰後速度。但實際上這個方程組並不好解,反正我學的時候老師隻給瞭結論。通常的解法應該是這樣:
left{ begin{array}{l} frac{1}{2}m_1v_{1}^{2}+frac{1}{2}m_2v_{2}^{2}=frac{1}{2}m_1v_1'^2+frac{1}{2}m_2v_2'^2\ m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'\ end{array} right.
Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m_1v_{1}^{2}-m_1v_1'^2=-left( m_2v_{2}^{2}-m_2v_2'^2 right)\ m_1v_1-m_1v_1'=-left( m_2v_2-m_2v_2' right)\ end{array} right.
Rightarrow v_1+v_1'=v_2+v_2' (平方差公式)
Leftrightarrow v_1-v_2=-left( v_1'-v_2' right)
這表明碰撞前後相對速度大小不變方向相反,再將此式與動量守恒定律聯立即可。
不過這樣的求解終究還是較為繁瑣,我們知道物理中的每一個守恒律都對應瞭一種對稱性,能量守恒定律與時間平移對稱性是等價的,從時間對稱性的角度來思考彈性碰撞的問題,是否能讓問題變得更為簡單呢?
由於碰撞時間太短,我們很難從時間對稱性的角度研究,但我們可以在兩物體中間加一個彈簧來放慢這個過程,這並沒有影響。
最終我們得到瞭這樣的v-t圖。當兩物體剛開始接觸時彈簧開始壓縮,當彈簧壓縮量達到最大時二者共速,此時即是v-t圖中兩個圖像的交點A。此後彈簧開始伸長,由於彈簧伸長與壓縮剛好是關於時間對稱的,所以v-t圖像也恰好關於A點對稱。這樣隻要知道二者共速的速度就能根據對稱性求出末速度瞭。共速的速度可以用動量守恒定律來求解,但事實上,由於二者共速,所以A點的速度就等於兩物體質心的速度 v_c ,而質心的速度始終是不變的(根據質心運動定理, a_c=F_合=0 ),所以根據對稱性:
v_1+v_1'=2v_c
v_2+v_2'=2v_c
而質心的速度: v_c=frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2} (也可以通過動量守恒來求解這個共速的速度)
易得 left{ begin{array}{l} v_1'=frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1+frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2\v_2'=frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_2+frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1 \ end{array} right.
這樣我們就完成瞭求解。
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