这篇文章想和大家聊一聊小编在学映射和函数时的一些心得体会。

下图可以帮助大家直观的认识映射的基本概念：

如果一个x有两个及以上的y与之对应，那我们就不能称这种变换为映射或函数。常见的双曲线、抛物线方程都不是函数。

小编在初学时不理解自然定义域和定义域的区别，其实自然定义域就是单纯的从数学的角度定义一个函数，而定义域相当于自然定义域的子集，我们可以根据实际需求给出定义域的范围。比如，函数s = 10t，自然定义域很显然是（-∞，+∞），因为这就是个一次函数。而如果这是个求10m/s的匀速运动的移动距离的物理题，我们就发现如果没有特定的时间区间要求，定义域是t ϵ[0,+∞），因为时间不可能小于0；如果我们只想看2-5s之间的情况，那么定义域就是t ϵ[2,5]。

需要注意，老师们在批改试卷时还是很严格的，基本上定义了一个函数不写定义域都是要扣分的，所以小编提醒大家一定注意。

关于单射，满射，小编用下图作为总结：

小编当时绞尽脑汁也找不到不是满射的函数，后来我发现可以从满射的定义出发：如果不是满射，那么就是说Y里某个元素无法在X里找到对应，即Y里可以有“闲置”元素。举个例子，映射f：Q->R, f(x) = x, X是所有有理数Q，Y是所有实数R，那么显然Y里的无理数找不到一个有理数与之对应。可以发现这个例子简单粗暴但是正确，因为不违反任何定义。

以上就是我对映射的一些理解，接下来我们聊一聊函数的一些特性和变形。

有界性：函数的有界是针对绝对值的有界。如果一个函数有界，那么它既不能趋向于正无穷也不能是负无穷，比如1/x在定义域上就是个无界函数。有时候题目会这么考，还是1/x，题目会问你在（1，2）上是不是有界的，这个时候答案就是有界了，因为在该区间上1/2 <= 1/x <= 1。这题也体现了定义域的重要性。

单调性：在某一区间上，如果y和x的变化总是同步的（比如x增y也增）就是单调增；如果变化总是相反的（比如x增y减）就是单调减。常见考题又回到定义域的问题了，比如y=x^2在（-∞，+∞）上不是单调函数，但在[0,+∞）上单调增。

奇偶性：从图的角度看，关于原点对称的函数就是奇函数（比如y=x, y=sinx），关于y轴对称的就是偶函数（比如y=x^2, y=cosx）。又又又又得提到定义域，奇函数偶函数的定义域必须关于原点对称！比如f(x)=x确实在自然定义域上是奇函数，但如果你把定义域设成[-2,1],那在该定义域上就不是奇函数了因为你找不到f(2)与f(-2)对应。

周期性：如果周期函数的一个最小周期为T，那么x和x加减kT对应的函数值是一样的。常见的周期函数y=sinx/cosx/tanx。

反函数：一个重要的点就是只有一一对应的函数才有反函数。很多同学会认为一一对应就是单调，这是错误的。比如下图的分段函数，也满足一一对应，但其定义域内并不单调。

复合函数：真*必考题：求复合函数f(g(x))的定义域。这种题一定要细心，记得从最里面的括号开始算：x要满足g的定义域，g要满足f的定义域，然后取交集。经典的例子：f=1/(√1−x)可以看成f(g(x))，f(x)=1/x，g(x)=√1−x的复合函数，g的定义域是x<=1,但是因为√1−x不能等于0否则f无意义，所以总的定义域为x<1。

这些就是小编对于函数的重要特性和变形的理解。剩下的一些知识，比如函数的运算法则，初等函数这些知识点小编就不做赘述了。

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