前言

上一篇文章介紹的主要都是單個折反射面的情況，但在工程中，更常見的是各種透鏡，以及透鏡的組合.

本文將忽略光學系統各折射面的具體形式，而討論一般的（共軸）理想光學系統(perfect optical system)的性質.理想光學系統，也稱高斯光學系統(Gaussian optical system)，是指：能對任意寬的空間內的點以任意寬的光束能成完善像的光學系統.

如無特殊說明，本文所說的“光學系統”均指“（共軸）理想光學系統”.

本文主要內容如下：

1. 理想光學系統雖然不考慮其組成元件的具體，形式但也要有描述其特征的項目，即基點（包括主點和焦點）和基面（主平面和焦平面），還有就是節點，因此首先要介紹它們的特征.
2. 然後和以前一樣，要分析理想光學系統的物像位置關系和放大率，不同的是，這裡要在兩種坐標系下來討論，一種是以焦點為原點的牛頓公式體系，另一種則是以主點為原點的高斯公式體系.不過這些都是解析法的計算，在節的最後還會介紹更直觀的作圖法，通過基點、基面和節點的性質來找出物或像的位置.
3. 接下來會介紹理想光學系統的組合，重點介紹雙光組的等效系統，即通過兩個理想光學系統的具體信息來分析它們結合後的等效系統的具體信息.最後介紹更一般的多光組，通過正切計算法和截距計算法來計算它們像方焦點的位置.
4. 然後就討論最經典、最常見的元件——透鏡，主要敘述其焦距的計算方法和光焦度的概念，並順便介紹制鏡者公式.
5. 之後就是光束限制，即光闌.對於分析或設計整個光學系統，確定其關鍵的光束限制是必要的，例如真正限制著進入光學系統的能量的元件是哪個，確切限制成像范圍的元件是哪個，像面邊緣很暗，究竟是哪個元件的作用.它們分別叫做孔徑光闌、視場光闌和漸暈光闌，這一節詳細介紹它們.
6. 最後是景深.前面已經提到過，絕對理想的光學系統是不存在的，物點的像也不是確切的一個點，而是一個彌散斑，隻要彌散斑足夠小即可認為像是清晰的，由此可知，對於一個確切的像面和一個彌散斑的限制，在物空間相對應的滿足要求的也不是一個面，而是一定范圍的空間，這個范圍就是景深.本節將詳細介紹景深的概念及其影響因素.

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1. 理想光學系統簡介

理想光學系統其實就是對近軸光學系統在空間上的延伸，下面就基於近軸光學的概念和性質對理想光學系統進行分析.

上一篇文章已經提到過共軛點、共軛面的概念，那時指的是近軸區高斯光學條件下的物和像的對應點、對應面.在理想光學系統中，任意空間都在高斯光學的條件下，即任一物點發出的光線在光學系統的作用下，其出射光依然交於一點，那麼每個物點就會對應一個像點，因此在整個物像空間內，都有這樣的對應關系.在這裡依然稱這樣的對應關系為共軛.

關於共軛項應指出如下性質：

1. 光軸上物點所對應的共軛像點必在光軸上；
2. 過光軸的截面（垂面）內的物點所對應的共軛像點必位於改截面的共軛像面內.
3. 在光軸的同一截面內，其成像的性質都是相同的.（放大率公式的直接推論）
4. 對於垂直於光軸的物平面，其共軛像平面必垂直於光軸.
5. 垂直於光軸的平面物，其共軛的平面像與物在幾何上是相似的.（軸向放大率與物距、像距有關，因此不垂軸的情況不是相似的）

顯然光學系統的共軛面是無窮多對的，下面通過一些特殊的共軛面、共軛點來進一步說明光學系統的性質.

先設想軸上無窮遠物點的成像.如下圖所示.

圖1

光學系統用上圖中括號表示.由於光學系統的口徑是有限的，在這部分區域內，無窮遠軸上物點視為發出平行光（平行於光軸）線進入光學系統，圖中是其中一條光線.根據理想光學系統的性質，軸上物點的像也在光軸上，那麼這束平行光經過光學系統後會與光軸交於 F’ 點，這個 F’ 點就是無窮遠軸上物點的像點.

• 沿襲單個球面系統的習慣，稱 F’ 點為像方焦點(image focus)（或後焦點(rear focus)）.過焦點做光軸的垂面即得到像方焦平面(focal plane).
• 從作圖的角度來說，分別延長 AB 和 F’E’ 他們必相交與一點，記作點 Q’ ，過 Q’ 做光軸的垂面，即得到像方主平面(principal plane)，像方主平面與光軸的焦點記作 H’ ，它就是像方主點(Principal point). 如下圖所示.
• 像方主點 H’ 到像方焦點 F’ 的距離記作 f’ ，稱為像方焦距(focal length).

圖2

對於焦平面還有一點說明，如下圖所示.

1227e84fe680edb97d304b5fcaed9c73圖3

如果是對軸外的無窮遠點成像，該點也視為發出平行光，但不平行於光軸，其像點在焦平面上.由此可知，平行光經過光學系統後，一定交於像方焦平面上某點.

• 另一方面，來自之前所謂的像方的平行於光軸的光也會在所謂物方光軸的某點出會聚，這點稱為物方焦點(object focus)（或前焦點）.進而可以定義物方焦平面、物方主平面、物方主點以及物方焦距.

應指出，物像方的焦點並不共軛，物方焦點和像方焦點的共軛點分別是像方軸上無窮遠點和物方軸上無窮遠點.

另外，光線通過光學系統時，入射光線與出射光線與主平面交點的高度是相等的.

• 光學系統的一對主點和一對焦點稱為光學系統的基點；一對主平面和一對焦平面稱為光學系統的基面.

一組基點和基面就確定瞭光學一個系統，因此在以後作圖表示光學系統的時候，隻需要標記出其基點和基面就可以瞭，如下圖所示.

9c785e1f3478a6f60ec497ad7c51de81圖4

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2. 物像位置關系與放大率

和前面的單個折射面一樣，分析理想光學系統的性質也是要分析其物像位置關系和放大率，對於物像位置關系，手段主要就是解析法和作圖法.下面分別介紹這些.

2.1 解析法

根據坐標原點的選擇不同，有兩種具體的求解方法，分別稱為牛頓公式和高斯公式.

• 牛頓公式

如下圖所示：

物 AB 的高為 y ，其像 A’B’ 的高為 y’ ；

AF 為物距 x ， A’F’ 為像距 x’ .註意這裡的物距或像距分別指物或像到焦點的距離.

那麼根據圖中的幾何關系有 frac{y’}{-y}=frac{-f}{-x} 以及 frac{y’}{-y}=frac{x'}{f'}

由此得到 xx’=ff’ ，這就是表達以焦點為原點的物像位置公式——牛頓公式.

圖5

• 高斯公式

高斯公式的物距或像距指的就是物或像到主點的距離，即 l 和 l’ .

顯然有 x=l-f 和 x’=l’-f’ .代入到牛頓公式就得到 lf’+l’f=ll’ ，但通常寫成 frac{f’}{l’}+frac{f}{l}=1 的形式，這就是高斯公式.

2.2 放大率

• 垂軸放大率

對於垂軸放大率的定義 beta=frac{y’}{y} ，

在牛頓公式下可直接推出 color{red}{beta=-frac{f}{x}=-frac{x’}{f’}} 這兩種寫法.

在高斯公式下的垂軸放大率也可從牛頓公式推出：

left(xx’=ff’right)Rightarrow left(x'=frac{ff'}{x}right)Rightarrowleft(x'+f'=frac{f'}{x}(x+f)right)Rightarrowleft(frac{x'+f'}{x+f}=frac{f'}{x}right)

再由牛頓公式和 x 與 l 的關系，又有 frac{x'+f'}{x+f}=frac{f'}{x}=frac{l’}{l}.

那麼 left(beta=-frac{f}{x}right)wedgeleft(frac{f'}{x}=frac{l’}{l}right)Rightarrowleft(color{red}{beta=-frac{f}{f'}cdotfrac{l'}{l}}right).

實際上，物像方的焦距又和物像方的折射率有關：考察下圖光路中的幾何關系.

圖6

顯然有 ltan U=h=l’tan U’ ，也可以寫成 (x+f)tan U=(x'+f')tan U’ .

根據牛頓公式的放大率又可推得 x=-frac{fy}{y’} 以及 x’=-frac{f’y’}{y}. 將這二者代入上式化簡可得 fytan U=-f’y’tan U’ .特別地，在近軸區又有 fyu=-fyu’ .

另一方面，經過同樣的推導，這裡同樣可以得到拉赫公式 nyu=n’y’u’ ，綜上可得到 frac{f’}{f}=-frac{n’}{n} ，特別當 n’=n 時可進一步得到有用的 f’=-f.

另外，由於這時理想光學系統，所以其拉赫公式應該標準地寫成 nytan U=n’y’tan U’

光學系統放在空氣當中，一般情況下物像方的折射率就都是相同的，即滿足 f’=-f. 隻有少數情況，例如在水底使用的攝影系統，或者眼睛，這時物像方折射率不同，會導致系統的物像方焦距大小不同.

那麼在 n’=n 的情況下，高斯公式及高斯公式下的垂軸放大率公式可以得到簡化，即

color{red}{frac{1}{l’}-frac{1}{l}=frac{1}{f’}}.

color{red}{beta=frac{l’}{l}}.

這說明，垂軸放大率和物體位置有關，一個垂軸放大率對應一個位置，進而在同一對共軛面上， beta 恒定，故物像相似.

• 軸向放大率

對於牛頓公式和高斯公式，有 alpha=frac{dx’}{dx}=frac{dl’}{dl}.

從牛頓公式來分析會較為簡明，對其微分得到 xdx’+x’dx=0 ，那麼 alpha=-frac{x’}{x}. 根據垂軸放大定律可進一步得到 alpha=-beta^2frac{f’}{f}. 若物像方空間介質相同，有 alpha=beta^2.

應註意，除瞭 beta=pm1 的位置以外， alpha 和 beta 的大小是不同的，即正方體的像一般不是正方體.

• 角放大率

如圖6所示，過光軸上的一對共軛點( AA’ )，任取一對共軛光線( AM,M’A’ )，它們與光軸的夾角分別為 U 和 U’ ，那麼角放大率為 gamma=frac{tan U’}{tan U}.

根據前述的理想光學系統的拉赫公式以及垂軸放大率，那麼角放大率又可寫成 gamma=frac{n’}{n}frac{1}{beta}.

可以發現，對於理想光學系統，也有 alphagamma=beta.

考察角放大率公式，還能找到一對有用的共軛點——節點(nodal point).用 J 和 J’ 表示，它是指角放大率為 +1^{times} 的一對共軛點，顯然這時的光線經過光學系統後方向不變.

具體分析如下圖所示：

圖7

顯然有 color{red}{triangle FQHcongtriangle J'B'F'}和color{blue}{triangle HNJcongtriangle H'N'J'}.

於是 FH=J’F’，HJ=H’J’ .

並註意 x_J=color{red}{FH}+color{blue}{HJ}=color{red}{J’F’}+color{blue}{H’J’}=f’.

另一方面 x_J’=color{red}{J’F’}=color{red}{FH}=f.

這就確定瞭兩個節點的位置，他們分別稱為物方節點和像方節點.

對於物像空間相同介質的情況有 f’=-f ，節點與主點重合，如下圖所示.

圖8

2.2 作圖法

對於像的位置，還可以通過作圖來求得，根據前面介紹過的光學系統的性質，可總結出能直接用於作圖的原則：

1. 平行於光軸的入射光線，經過系統後必經過像方焦點.
2. 過物方焦點的光線，經過系統後必平行於光軸.
3. 傾斜於光軸的平行光線，經過系統後必會聚於像方焦平面上某點.
4. 物方焦平面上的點（非焦點）發出的光線，經過系統後必稱為平行光束，且不平行於光軸.
5. 共軛光線與主平面交點的高度相等.
6. 過兩節點的光線相互平行.

圖9

例如上圖所示，對於垂直於光軸的物 AB 和圖中光學系統，求其像.

過B點做平行光軸的線段 BM ，經過光學系統後，應經過像方焦點 F’ ，故做線段 M’F’ 並延長.

另一方面，連接 BF 並延長，交物方主面於 N 點.這就是過物方焦點的光線，經過光學系統後應與光軸平行，故過 N’ 點做光軸的平行線，交上述延長線與 B’ 點.

B’ 點即是 B 點的像.

由於 AB 垂直於光軸，故其像亦垂直於光軸，過 B 點做光軸的垂線，交於 A’ 點. A’B’ 即是 AB 的像.

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3. 多光組

3.1 細節分析

對於由多個理想光學系統組成的多光組的成像，關鍵是要找出其過渡公式，如下圖所示.

圖10

兩光組的基點如圖所示， A_1 是物點，經第一光學系統成像為 A_1’ ，它同時作為 A_2 ，是第二光學系統的物點.

• 兩光組（光學系統）的相對位置，用前一光組的像方主點與後一光組的物方主點的距離表示，稱之為主面間隔，記作 d ，例如第一光組和第二光組的主面間隔為 d_1=H_1’H_2 .它的符號是以 H_1’ 為起點計算的.
• 除瞭主點的距離，還有一項就是前一光組的像方焦點和後一光組的物方焦點的距離，稱之為光學間隔，記作 Delta ，例如第一光組和第二光組的光學間隔為 Delta_1=F_1’F_2. 它的符號以 F_1’ 為起點計算的.

這樣就得到一組過渡公式 begin{cases}l_i=l_{i-1}’-d_{i-1}\[2ex]x_i=x_{i-1’}-Delta_{i-1}\[2ex]Delta_i=d_i-f_i’+f_{i+1}end{cases}

註意到前一光組的像是後一光組的物，故整體的 beta=frac{y_k’}{y_1}=beta_1beta_2cdotsbeta_k.

另外，對於物像方焦距和物像方折射率的關系，從多光組的角度而言，是可能涉及到有反射面的，假設有 k 個反射面，則整體上有 frac{f’}{f}=(-1)^{k+1}frac{n’}{n}.

當然 nytan U=n’y’tan U’ 對於理想多光組也是適用的.

3.2 雙光組整體分析

先考慮兩光組的情況，如下圖所示.

圖11

兩光組的基點、焦距、主面間隔、光學間隔已經標註清楚.考慮的將兩光組視為一個整體，稱之為等效光學系統，現考察其整體的基點和基面.

對於整體的等效光學系統，設其物像方焦點分別為 F,F’ ，物像方焦距分別為 f,f’ ，主點分別為 H,H’ .

一束光 A 平行於光軸入射得到第一光組，與第一光組的物方主面交與 Q_1 ，射出後又入射到第二光組，與第二光組物方主面交於 R_2 ，然後從 R_2’ 射出.

另一束光 S’ 也平行於光軸入射，但是反向入射，與第二光組的像方主面交於 Q_2’ ，射出後與第一光組的像方主面交於 R_1’ ，並從 R_1 射出.

• 先求 F’ 的位置：

對於作圖法，以平行光入射，經過第一光組後必過 F_1’ ，然後進入第二光組，自然可以找到其出射光線，它與光軸的交點就是 F’.

對於解析法，假設 F_2’ 與 F’ 的距離為 x_F’ ，以 F_2’ 為起始點計算，顯然 F_1’ 與 F’ 相對於第二光組而言是一對共軛點，那麼根據牛頓公式有 Delta x_F’=-f_2f_2’ （註意符號），那麼 x_F’=-frac{f_2f_2’}{Delta}. 以此便找到瞭 F’ 的具體位置.

• 然後找F的位置：

對於作圖法，顯然，經過 F 的光線，再經過整個光學系統後必與光軸平行，具體而言，它也應該經過 F_2 點，那麼 F 和 F_2 相對於第一光組就是一對共軛點.

對於解析法，同理可得 x_F=frac{f_1f_1’}{Delta} ，這個量是以 F_1 為起點計算的.

• 最後找 H,H’ 的位置：

對於作圖法，和單光組的情況一樣，作圖找主面位置：延長光線 A ，與出射光交於 Q’ 點，過 Q’ 做光軸的垂線，垂足即是像方主點 H’ .另一方面延長光線 S ，與出射光交於 Q ，過 Q 做光軸的垂線，垂足即是物方主點 H .

對於解析法，其實有瞭焦點的位置，隻要再求出焦距，即可得到主點的位置.

根據圖中幾何關系， begin{cases}color{red}{triangle H_2'R_2'F'simtriangle H'Q'F'}\color{cyan}{triangle H_1'Q_1'F_1'simtriangle H_2R_2F_1'}\color{cyan}{Q_1'H_1'}=color{red}{Q'H'}\color{cyan}{H_2R_2}=color{red}{H_2'R_2'}end{cases}Rightarrowleft(color{red}{frac{H’F’}{F’H_2’}}=color{cyan}{frac{H_1’F_1’}{F_1’H_2}}right).

代入具體的關系 begin{cases}H’F’=-f’\[2ex]F’H_2’=f_2’+x_F’\[2ex]H_1’F_1’=f_1’\[2ex]F_1’H_2=Delta-f_2end{cases} ，再將 x_F’ 式代入並化簡得到 f’=-frac{f_1’f_2’}{Delta}.

另一方面，對整體和局部分別使用公式 frac{f’}{f}=-frac{n’}{n} 可得 f=frac{f_1f_2}{Delta}.

剛剛是以整體光組的焦點來計算主面位置，還可用部分光組的焦點計算主面的位置，即物方主面到第一光組物方焦點的距離 x_H ，以第一光組物方焦點為起點計算；和像方主面到第二光組像方焦點的距離 x_H’ ，以第二光組像方焦點為起點計算.如圖所示.顯然有 x_H=x_F-f 和 x_H’=x’_F-f’ .分別代入得到 x_H=frac{f_1(f_1’-f_2)}{Delta}，x_H’=frac{f_2’(f_1’-f_2’)}{Delta}.

以上的討論，對於兩光組之間的位置關系，都是從兩光組焦點的角度出發以 Delta 計的，還有一種方案就是從兩光組主點的角度出發以 d 計.由圖中關系， d=f_1’+Delta-f_2 ，對 f’ 式進行替換，並考慮將兩光組都置於空氣中 (n_1=n_2=n_3=1) ，則得到 frac{1}{f’}=frac{1}{f’_1}+frac{1}{f_2’}-frac{d}{f_1’f_2’}.

在此體系下，除瞭之前確定的整體光組基點到部分光組焦點的距離 x_F,x_F’,f,f’ ，還應指出整體光組基點到部分光組主點的距離 l_f,l_f’,l_H,l_H’ .如上圖所示，它們分別指物方焦點到第一光組物方主面的距離，以第一光組物方主面為起點計；和像方焦點到第二光組像方主面的距離，以第二光組像方主面為起點計.

根據幾何關系容易得到結論，這裡不具體推導，隻總結性地給出結論.

begin{cases}f=cfrac{f_1f_2}{Delta}\f’=-cfrac{f_1’f_2’}{Delta}end{cases}、 begin{cases}x_F=cfrac{f_1f_1’}{Delta}\x_F’=-cfrac{f_2f_2’}{Delta}\x_H=cfrac{f_1(f_1’-f_2)}{Delta}\x_H’=cfrac{f_2’(f_1’-f_2)}{Delta}end{cases}、 begin{cases}l_f=fleft(1+cfrac{d}{f_2}right)\l_f'=f'left(1-cfrac{d}{f_1'}right)\l_H=fcfrac{d}{f_2}\l_H'=-f'cfrac{d}{f_1’}end{cases}

tip:雙光組系統整體的垂軸放大率 beta 雖也可以用 frac{-f}{x} 計算，但這裡的 f 和 x 指的都是系統整體的焦距和物距，如果隻知道 x_1 （物到第一光組物方焦距的距離，以第一光組物方焦距為起點計）的情況下，有 beta=frac{f_1f_2}{f_1f_1’-x_1Delta}.

值得一提的是，還記得上一篇文章中提到的光焦度 Phi=frac{n’}{f’} ，顯然上式還可寫成 Phi=Phi_1+Phi_2-dPhi_1Phi_2. 特別是當兩光學系統主平面距離 d 很小以至於可以忽略時，有 Phi=Phi_1+Phi_2. 這常用於薄透鏡和密接薄透鏡組的情況.

實際上，光焦度更常用的定義是像方焦距的倒數，這是說對於像方空間在空氣中的光學系統有 n’=1 ，則 Phi=frac{1}{f’}.

3.3 多光組計算

對於更一般的多光組，如下圖所示.

7424e32a7c8a25ffeec26ef81513f902圖12

為方便計算，考慮平行光入射的情況.對於符號表示有如下約定：

1. 光線在第 i 個光組主面的投射高度為 h_i ；
2. 第 i 個光組的物像方孔徑角分別為 U_i,U_i’ ；
3. 第 i 個光組像方主面和第 i+1 個光組物方主面的距離為 d_i ；
4. 第 i 個光組的像方焦距為 f_i’ .

關於在已知 f_i，d_i 的情況下求 l_F’ 和 f’ 的問題，下面給出兩種計算方法，分別稱為正切計算法和截距計算法.

• 正切計算法

從結果出發，根據圖中幾何關系， l_F’=frac{h_n}{tan U_n’} ， f’=frac{h_1}{tan U_n’}.

一共就涉及到三個量， h_1,h_n,U_n’ ，而實際上， h_1 是可以隨意設定的，而且它決定瞭 U_n’ ，因此隻要計算出 h_n 和 U_n’ 就可以計算出 l_F’ 和 f’ .

對於 h_n 和 U_n’ 是要逐個光組計算的.

先說 h_i ，如下圖所示.

圖13

根據幾何關系有 frac{h_i-h_{i+1}}{d_i}=tan U_i’ .從而得到 h_{i+1}=h_i-d_itan U_i’ .這便得到瞭依次計算每個主面投射高度的方法，由於 h_1 和 d_i 都是已知的，還需要 U_i’ .那麼下面討論孔徑角.

考慮第 i 個光組的高斯公式，並在等號兩端同乘以 h_i 得到 frac{h_i}{l_i’}-frac{h_i}{l_i}=frac{h_i}{f_i’}. 並註意 frac{h_i}{l_i’}=tan U’ 和 frac{h_i}{l_i}=tan U ，代入得到 tan U_i’=tan U_i+frac{h_i}{f_i’}.

註意到 U_i’=U_{i+1} ，且 U_1 和 f_i 是已知的，那麼在上面這個公式裡，隻需要再知道 h_i 即可計算.

上述討論說明 h_i 和 U_i’ 應該是交替計算的，隻要給定 h_1,f_i,d_i 即可逐步計算得到 h_n,U_n’ .下面大致列舉一下計算的具體情況（綠色表示已知量，紅色表示利用該公式求得的量，紫色表示最終需要的量）：

begin{cases}color{red}{tan U_1'}=color{red}{tan U_2}=color{green}{cfrac{h_1}{f_1'}}\color{red}{h_2}=color{green}{h_1}-color{green}{d_1}color{green}{tan U_1'}end{cases}Rightarrowbegin{cases}color{red}{tan U_2'}=color{red}{tan U_3}=color{green}{tan U_2}+color{green}{cfrac{h_2}{f_2'}}\color{red}{h_3}=color{green}{h_2}-color{green}{d_2tan U_2'}end{cases}

Rightarrowbegin{cases}color{red}{tan U_{n-1}'}=color{red}{tan U_n}=color{green}{tan U_{n-1}+cfrac{h_{n-1}}{f_{n-1}'}}\color{purple}{h_n}=color{green}{h_{n-1}}-color{green}{d_{n-1}tan U_{n-1}'}end{cases}Rightarrowcolor{purple}{tan U_n'}=tan U_n+cfrac{h_n}{f_n'}

• 截距計算法

這種方法不計算每一個孔徑角，而是計算每一個物距、像距，即根據高斯公式和過渡公式進行計算，即 frac{1}{l_i’}-frac{1}{l_i}=frac{1}{f_i’}，l_{i+1}=l_i-d_i.

這樣一步一步計算到最後得到的 l_n’ 即是 l_F’ .

而對於 f’ 則根據前述公式改寫：

f’=frac{h_1}{tan U_n’}=frac{h_1}{tan U_n’}cdotfrac{tan U_2}{tan U_1’}cdotsfrac{tan U_n}{tan U_{n-1}}

=frac{h_1}{tan U_1'}cdotfrac{tan U_2}{tan U_2'}cdotcdotscdotfrac{tan U_n}{tan U_n'}

並註意 left(l_itan U_i=l’tan U_i’=hright)Rightarrowleft(frac{tan U_i}{tan U_i’}=frac{l_i’}{l_i}right)wedgeleft(frac{h_1}{tan U_1'}=l_1'right) ，

有 f’=frac{l_1’cdots l_n’}{l_2cdots l_n}.

這樣，按這種方法也可以完整地得到 l_F’ 和 f’ . 下面大致列舉一下計算的具體情況

begin{cases}l_1’=f_1’\l_2’=cfrac{l_2f_2’}{l_2+f_2’}\cdots\l_n'=cfrac{l_nf_n'}{l_n+f_n'}end{cases} rightleftharpoons begin{cases}\l_2=l_1’-d_1\l_3=l_2'-d_2\cdots\l_n=l_{n-1'}-d_nend{cases}

從而計算出 l_F’=l_n.

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4. 透鏡(lens)

透鏡是光學系統中最常見的元件，它是由兩個折射面包圍的一種透明介質所形成的零件，這兩個折射面可以是球面、平面（可視為半徑趨於無窮的球面）、甚至是經過巧妙設計的復雜的非球面，本節主要介紹由折射球面構成的透鏡.

對於透鏡，常以光焦度進行分類：

1. 若光焦度 Phi=frac{1}{f’}>0 （考慮放置於空氣中， n’=1 ），則稱為正透鏡(positive lens)，它對光線有會聚作用，平行於光軸的一束光從左側入射會聚於右側的像方焦點處，故也稱為會聚透鏡(converging lens).
2. 若光焦度 Phi=frac{1}{f’}<0 ，則稱為負透鏡(negative lens)，它對光線有發散作用，平行於光軸的一束光從左側入射，經過透鏡會發散，而對發散的那束光線做反向延長線，會聚於左側的像方焦點處，故也稱為發散透鏡(diverging lens).

• 既然透鏡可以看作兩個折射面的組合，自然就可以從多光組的角度進行分析.

首先站在理想光學系統的角度回顧單個折射球面：顯然其兩個主點都與球面頂點重合，上一篇文章已經說過，其物像方焦距分別為 f=-frac{nr}{n’-n} 以及 f’=frac{n’r}{n’-n}.

設左右兩個折射面標號分別為 1 和 2 ，並考慮透鏡置於空氣中，透鏡折射率為 n ，即 n_1=n_2’=1，n_1’=n_2=n. 則有 begin{cases}f_1=-cfrac{r_1}{n-1}\f_1’=cfrac{nr_1}{n-1}end{cases}quadquadquadbegin{cases}f_2=cfrac{nr_2}{n-1}\f_2’=-cfrac{r_2}{n-1}end{cases}.

另外，和以前一樣，兩頂點的距離，其實就是兩主面的距離 d 稱為透鏡的光學厚度，而 F_1’ 和 F_2 的距離 Delta=d-f_1’+f_2 為透鏡的光學間隔.

以此代入前述雙光組的焦距公式，有 f’=-f=-frac{f_1’f_2’}{Delta}=frac{nr_1r_2}{(n-1)[(r_2-r_1)n+(n-1)d]}.

顯然這讓人頭皮發麻，但寫成光焦度就會好一點： Phi=frac{1}{f’}=(n-1)(rho_1-rho_2)+frac{(n-1)^2}{n}rho_1rho_2d. 其中 rho_1=frac{1}{r_1} ， rho_2=frac{1}{r_2}. 這就是制鏡者公式(Lensmaker's equation).

這樣，對於薄透鏡，即 d 很小以至於可以忽略時，有 Phi=(n-1)(rho_1-rho_2).

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5. 光闌(diaphragm)

對於光學系統的成像現象，除瞭前面討論的物像關系和放大率外，還應該有對成像范圍的要求和分辨率的要求，這些都與光學系統的孔徑有關.而實際上，隻有鏡筒作為光束限制有時是不夠的，應該額外在光學系統中間插入一些限制光束的元件，這些元件統稱為光闌(diaphragm)（也稱為stop）.

光闌可能是光學系統中某個元件的邊框，也可能是專門設計的帶有內孔的金屬薄片.這個孔可能是圓形的，也可能是矩形的.孔的大小可能是固定的，也可能是可變的.

通過後面的介紹會看到這些限制在功能上的不同：

對於限制成像光束立體角的光闌稱為孔徑光闌(aperture stop).

對於限制最大成像范圍的光闌稱為視場光闌(field diaphragm).

還有一種光闌，它限制瞭軸外物點發出的部分光束，這樣就使越靠近視場邊緣的像越暗，這種效果稱為漸暈，如下圖所示，這種光闌稱為漸暈光闌(vignetting stop).

圖14

還有一種是消雜光光闌(stray light eliminating stop).對於非成像物體發出的光，當其進入光學系統時，隨著儀器內壁的反射也會投射到像面上，造成像面模糊，這些光稱為雜散光.特此安裝一組消雜光光闌可以攔截一部分雜光.

5.1 孔徑光闌

在一個光學系統中可能有多種光束限制，如下圖所示.

圖15

H_1 和 H_2 分別是光學系統中的兩薄透鏡的主點， Q_1,Q_2 是金屬薄片的孔.

考察從軸上 A 點發出的一束光，它們經過透鏡 1 的時候是都可以通過的，但到瞭金屬薄片處，上面兩光線被擋住瞭，隻有最下面紅色的孔徑角為 u 的光線可以通過，當然它同樣可以通過透鏡 2 .

顯然，如果兩個透鏡的口徑再稍小一點，也不會影響入射光線的最大孔徑角 u ，而對於金屬薄片 Q ，它才是真正限制最大孔徑角 u 的元件，是孔徑光闌.再重復一次，本質上，隻要該元件限制瞭物方孔徑角就是孔徑光闌，可以放在任何位置，例如還可以放在第一個透鏡的前面.

但有趣的是，對於軸外點成像，當孔徑光闌的位置不同時，該點所發出的參與成像的光束通過透鏡的部位不同，在這種情況下，對於一定的孔徑角要求，光闌越靠近透鏡，對透鏡口徑的需求就越小.如下圖所示的 A,B,C 三種孔徑光闌的位置.

圖16

為瞭更確切地描述光學系統，特此引入入射光瞳(entrance pupil)和出射光瞳(exit pupil)的概念，如下圖所示.

入射光瞳，簡稱入瞳，是指孔徑光闌被在其前面部分（靠近通常的物方）的光學系統所成的像.它可以理解為物面上各點所發出的能參與成像的光束的公共入口.

出射光瞳，簡稱出瞳，是指孔徑光闌被在其後面部分（靠近通常的像方）的光學系統所成的像.

圖17

特別地，如果孔徑光闌在系統的最前面，則它與入瞳重合.同樣地，如果孔徑光闌在系統的最後面，則它與出瞳重合.

最後總結一下孔徑光闌、入瞳、出瞳的一些值得註意的性質：

• 對於判斷孔徑光闌，要根據其本質，哪一個元件的邊框確切地限制瞭物方孔徑角，那個邊框就是孔徑光闌.具體可有兩種方法：

1. 設想軸上物點發出近軸光線通過光學系統，會在每一個元件上有一個投射高度h，並註意每個元件都有其口徑 D .顯然就是哪一個元件的 frac{h}{D} 最大，那個元件的邊框便是孔徑光闌；
2. 另一種方法就是讓光學系統中的每一個元件的邊框經過其前面的所有透鏡成像，然後取一軸上點，比較每一個像對這個點的張角，最小者所對應的物便是孔徑光闌.

• 孔徑光闌是要配合物點來指定的，對於不同物的位置，孔徑光闌可能是不同的，如下圖所示.
• 根據入瞳和出瞳的定義可以發現，它們對於整個光學系統是共軛的，即入瞳經整個光學系統所成的像是出瞳.
• 通過入瞳中心的光線必通過孔闌中心，且過出瞳中心，這條光線稱為主光線(chief ray)。
• 通過入瞳邊緣的光線必通過孔闌邊緣，並過出瞳邊緣。

圖18

5.2 視場光闌

在很多光學系統中，視場光闌都安置在最終的實像平面或光學系統中間的實像平面上.

• 對於具體的判斷視場光闌有如下方法：要判斷視場光闌首先要確定孔徑光闌，確切地說是找到入瞳的位置，然後將光學系統中所有元件的孔徑通過其前面的鏡組進行成像，然後判斷這些像對入瞳中心的張角，張角最小者所對應的物即是視場光闌.

類似與入瞳、出瞳對應孔徑光闌，也有入射窗(entrance window)、出射窗(exit window)對應視場光闌，即：

視場光闌經其前面的部分光學系統所成的像為入射窗；

視場光闌經其後面的部分光學系統所成的像為出射窗.

顯然前述的對入瞳中心張角最小的像即是入射窗.

既然提到視場光闌，自然應該進一步介紹關於視場(field of view)大小的描述.整體上，視場分為物方視場和像方視場，而對於視場大小，一般有兩種描述方法，一種是線視場，另一種是視場角.

當系統對有限遠物體成像時，通常用線視場來描述視場大小，線視場是用長度來表示視場，物方線視場用物高的二倍來表示，即2y；那麼像方線視場用像高的二倍表示，即2y’.如下圖所示.

而當系統對無窮遠處物體成像時，則用視場角來表示視場大小.其中物方視場角指的是物方視場的上下邊緣的主光線之間的夾角，其實也就是入射窗對入瞳中心的張角，一般記作 2omega ；像方視場角是指像方視場上下邊緣的主光線間的夾角，也就是出射窗對出瞳中心的張角，一般記作 2omega’ .如下圖所示.

圖19

5.3 漸暈光闌

對於軸外物點可能出現的情況就是，即使對於它已經進入入瞳的光束，也不能全部通過系統成像，這是因為其中的一部分光被其他的元件邊框所限制.如下圖所示.

圖20

這種現象稱為漸暈，引起漸暈的光孔稱為漸暈光闌.它會導致該物點的像較暗.顯然，離光軸越遠的物點漸暈現象越嚴重.

對於判斷漸暈光闌有如下方法：這裡也要先確定入瞳，將光學系統中所有元件的孔徑通過其前面的鏡組進行成像，然後取一軸外物點，考察各個像對這個軸外點的張角，當然這些像也包括入瞳.如果有某個像對該軸外物點的張角比入瞳對該點的張角還要小，則它就可能是漸暈光闌，但要確定具體哪個是有效的漸暈光闌，要看張角最小者，最小者對應的物即是漸暈光闌.當然，可能出現的情況就是口徑上邊緣的最小者和口徑下邊緣的最小者不來自同一個像，因此整體來說漸暈光闌可能有0、1、2個，如下圖所示.

圖21

它表示的就是雙漸暈光闌的情況：

顯然 L_1 的鏡框就限制瞭 B 點所發出光束靠近下方的一部分， L_2 的鏡框限制瞭 B 點所發出光束靠近上方的一部分，它們都是漸暈光闌.

為瞭描述漸暈的程度，引入漸暈系數(vignetting factor)，它也分為線漸暈系數和角漸暈系數.

線漸暈系數是指軸外物點能通過光學系統進行成像的光束，在入瞳面的截面積與入瞳本身的面積之比.當然也可以在出瞳上這樣定義，計算的結果顯然是一樣的.

角漸暈系數是指軸外物點在入瞳平面上垂直於光軸的寬度與入瞳直徑之比.

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6. 景深(depth of field)

前面對於成像的介紹都是基於理想光學系統，那隻是垂軸的物像共軛面之間的事，而實際上有很多光學系統要用於給一定的空間成像，下面就對這種情況進行討論，如下圖所示.

圖22

回顧之前的垂軸共軛面， AB 為垂軸的物， A’B’ 為垂軸的像，現在將接收器放在這個像平面上，稱之為景象平面，它所對應的物面稱為對準平面.

現考慮物空間的另外一些點 B_1,B_2,B_3,B_4 ，它們通過光學系統所成的像是 B_1’’,B_2’’,B_3’’,B_4’’ ，顯然它們不在同一平面上.

分別看這些點發出的光投射在景象平面上的情況：

1. 先看 B_1 ，當它經過光學系統成像在 B_1’’ 點後，光線繼續傳播，當到達景象平面後，主光線到瞭 B_1 點，其他的光線與景象平面相交的范圍在 a’b’ 之內，這就形成瞭 a’b’ 這麼大的彌散斑.
2. 對於 B_2,B_3 兩點，它們的主光線是重合的，因此它們的主光線與景象平面隻會聚於一點，二者雖然在空間中不重合，但在景象平面上會有很高的重合度（考慮彌散斑）.
3. B_4 的像在景象平面的後面，同樣考慮它發出的同心光束，在景象平面上依然是一個彌散斑.

綜上不難發現，不在對準平面上的物，其像在景象平面上都是彌散斑，隻是大小不同而已，且像點越靠近景象平面，其彌散斑越小，相應地，其物也越靠近對準平面.

實際上，任何接收器都不是完善的，在一定程度上，隻要彌散斑在一個足夠小的范圍內，接收到的效果都是一樣的，因此無法（裝配上也無法達到絕對）也不必要求像點必須是一個幾何點.

由此可知，對於一個光學系統，在對準平面的前後一段空間內也是可以和對準平面同樣清晰地成像.在這部分空間內，最靠近光學系統的平面稱為近景平面，最遠離光學系統的平面稱為遠景平面，如下圖所示.

圖23

• 光學系統的入瞳直徑為 2alpha.
• 遠景平面和近景平面與對準平面的距離分別為 Delta_1,Delta_2 ，不考慮符號.
• 近景平面和遠景平面的距離稱為景深，記作 Delta. 即 Delta=Delta_1+Delta_2.
• B_1 點是遠景平面上的物點，它發出的光束在對準平面上彌散斑直徑為 z_1 ，經過光學系統後，其共軛點為 B_1’’ ，並在景象平面上彌散斑為 z_1’.
• A 是對準平面上的物點，經光學系統後其像為景象平面上的 A’ 點.
• B_2 是近景平面上的物點，它發出的進入入瞳的光的反向延長線交對準平面為圓面，其直徑為 z_2. 該物點經光學系統成像在 B_2’’ 點，其間的光束在景象平面上的彌散斑直徑為 z_2’.
• 遠景平面到入瞳的距離為 p_1 ，其共軛面到出瞳的距離為 p_1’ ，考慮符號，二者分別以入瞳和出瞳的位置為起點計算，左負右正.
• 對準平面到入瞳的距離為 p ，其共軛面到出瞳的距離為 p’ ，符號情況同上.
• 近景平面到入瞳的距離為 p_2 ，其共軛面到出瞳的距離為 p_2’ ，符號情況同上.

下面考察影響景象平面上彌散斑大小的因素：

設光學系統的放大率為 beta ，根據幾何關系可以得到 z_1’=2beta afrac{p_1-p}{p_1} ， z_2’=2beta afrac{p-p_2}{p_2} .

這說明彌散斑大小和入瞳直徑、對準平面與入瞳的距離、物點到對準平面的距離都有關.

最後介紹景深的計算，下述推導均不考慮符號，來自圖中的量均取正.

根據圖中幾何關系有 frac{z_1}{2a}=frac{p_1-p}{p_1} 和 frac{z_2}{2a}=frac{p-p_2}{p_2}. 因此 p_1=frac{2ap}{2a-z_1} 和 p_2=frac{2ap}{2a+z_2}.

進一步有 Delta_1=p_1-p=frac{pz_1}{2a-z_1} ， Delta_2=p-p_2=frac{pz_2}{2a+z_2}.

現考慮彌散斑的允許值（最大限度）的情況，即 z_1=z_2=z ，相應地有 z_1’=z_2’=beta z.

那麼對於確定的景象平面位置（等價於確定的對準平面位置，即確定的 p ）.有 Delta=Delta_1+Delta_2=frac{4apz}{4a^2-z^2}.

綜上，入瞳直徑越小則景深越大.拍照時縮小光圈可以獲得更大空間清晰像的原因就是這樣.

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