大傢好!我是高考數學易老師,今天是我來知乎的第二天,今天更新函數概念及基本初等函數知識點。如果有任何關於高中數學知識點,可隨時詢問呢。
1. 函數與映射(1) 函數的概念設 A 、 B 是兩個非空的數集,如果按照某種對應法則 f ,對於集合 A 中任何一個數 x , 在集合 B 中都有唯一確定的數 f (x) 和它對應,那麼這樣的對應(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的對應法則 f )叫做集合 A 到 B 的一個函數,記作 f:A rightarrow B(2) 映射的概念設 A 、 B 是兩個集合,如果按照某種對應法則 f ,對於集合 A 中任何一個元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它對應,那麼這樣的對應(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的對應法則 f )叫做集合 A 到 B 的映射,記作 f:A rightarrow B(3) 給定一個集合 A 到集合 B 的映射,且ain A,bin B .如果元素a 和元素 b 對應,那 麼我們把元素b 叫做元素 a 的象,元素a 叫做元素b 的原象。
2. 函數的有關概念(1) 函數的定義域、值域(2) 在函數 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自變量,x 的取值范圍 A, 叫做函數的定義域(3) 與 x 的值相對應的 y 值叫做函數值,函數值的集合 {f(x)|x∈A} 叫做函數的值域
3. 區間的概念及表示法(設a, b 是兩個實數,且a < b ) (1) 滿足a leq x leq b 的實數 x 的集合叫做閉區間,記做 [a, b] (2) 滿足a < x < b 的實數 x 的集合叫做開區間,記做 (a,b) (3) 滿足a leq x leq b ,或a <x leq b 的實數 x 的集合叫做半開半閉區間,分別記做 [a,b) ,(a,b] (4)滿足 x geq a, x >a, x leq b, x < b 的實數 x 的集合分別記做 [a, +infty),(a, +infty),(-infty,b],(-infty,b) 註意:對於集合{ {x | a < x < b} }與區間(a,b) ,前者 a 可以大於或等於 b ,而後者必須 a < b
4. 函數的三要素:定義域、對應法則和值域
5. 函數的表示法:解析法、圖象法和列表法(1) 解析法:就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系(2) 列表法:就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系(3) 圖象法:就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系
6. 隻有定義域相同,且對應法則也相同的兩個函數才是同一函數
7. 集合 M 的元素個數 m,集合 N 的元素個數 n ,那麼從 M 到 N 的映射個數是 n^{m} 次冪
8. 分段函數(1) 若函數在其定義域的不同子集上,因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示,這種函數稱為分段函數(2) 分段函數的定義域等於各段函數的定義域的並集,其值域等於各段函數的值域的並集,分段函數雖由幾個部分組成,但它表示的是一個函數9. 求函數定義域常見結論:(1) 分式的分母不為零(2) 零次冪的底數不能為零(3) 偶次根式的被開方數不小於零(4) f (x) 是整式時,定義域是全體實數(5) 對數函數的真數必須大於零,對數函數的真數大於零(6) 指數函數和對數函數的底數大於零且不等於 1(7) 正切函數 y=tan x, xne kpi + frac{pi}{2} (kin Z ) (8) 若 f (x) 是由有限個基本初等函數的四則運算而合成的函數時,則其定義域一般是各基本初等函數的定義域的交集(9) 對於求復合函數定義域問題,一般步驟是:若已知 f (x) 的定義域為 [a, b] ,其復 合函數 f [g(x)] 的定義域應由不等式a leq g(x)leq b 解出(10) 對於含字母參數的函數,求其定義域,根據問題具體情況需對字母參數進行分類討論(11) 實際問題中除要考慮函數解析式有意義外,還應考慮實際問題本身的要求。
10. 求抽象函數的定義域:
(1) 若 y=f(x) 的定義域為 (a,b) ,則解不等式 a<g(x)<b 即可求出 y=f(g(x)) 的定義域
(2) 若 y=f(g(x))的定義域為 (a,b) ,則求出 g(x) 在 (a,b) 上的值域即得 f(x) 的定義域
11. 求函數解析式
(1) 待定系數法:若已知函數的類型(如一次函數、二次函數),可用待定系數法
(2) 換元法:已知復合函數 f(g(x)) 的解析式,可用換元法,此時要註意新元的取值范圍
(3) 配湊法:由已知條件 f(g(x)) ,可將 F(x)改寫成關於 g(x) 的表達式,然後以 x
替代 g(x) ,便得 f(x) 的解析式
(4) 消去法:已知 f(x) 與 f(1/x) 或 f(-x)之間的關系式,可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組,通過解方程組求出 f(x)
12. 抽象函數
13. 函數值域的幾種常用方法
(1) 直接觀察法(2) 反函數法
當一個函數存在反函數又便於求其反函數時,可以通過求原函數的定義域來確定反函數的值域。(3) 配方法:
配方法是求二次函數(即形如 f (x) = ag (x)^{2} + bg(x) + c 的函數)值域最基本的方法之一。
(4) 判別式法:形如 y=frac{a_{1} x^{2}+ b_{1}x + c_{1}}{a_{2} x^{2}+ b_{2}x + c_{2}} (a1, a2 不同時為 0)的函數的值域通常用此法求解,把函數轉化為關於 x(或關於 x 的某個代數式)的二次方程,通過方程有實根 △≥0 ,從而求得函數的值域。
(5) 利用函數的有界性法:函數式中含有正弦或餘弦函數及指數式時,不妨利用此法
(6) 利用函數的單調性法:兩個單調遞增(或遞減)函數的和仍為單調遞增(或遞減)函數;
(7) 換元法:
(8) 數形結合法:
其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義,如兩點的距離公式直線斜率等等,這類題目若運用數形結合法,往往會更加簡單,一目瞭然
(9) 不等式法:
利用基本不等式 a + b + c geqsqrt[3]{abc} (a,b, c in R^{+} ) , a + b geq2sqrt[]{ab} (a,b in R^{+} ) 求函數的值域,其題型特征是當解析式是和式時要求積為定值,當解析式是積時要求和為定值,不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧
(10) 求導數法:利用導數求高次函數的值域
(11) 函數的單調性法
1. 單調區間的定義如果函數 y=f(x)在區間 D 上是增函數或減函數,那麼就說函數 y=f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性,區間 D 叫做 y=f(x)的單調區間
2. 函數單調性的定義(1) 如果函數 f (x)對區間 D 內的任意 x_{1} ,x_{2}
當 x_{1}<x_{2} 時都有 f (x_{1}) < f (x_{2}) ,則 f (x) 在 D 內是增函數;
當 x_{1}<x_{2} 時都有 f (x_{1}) > f (x_{2}) ,則 f (x) 在 D 內時減函數 (2) 設函數 y = f (x) 在某區間 D 內可導,
若 f^{’} (x)>0 ,則 y = f (x) 為 xin D 的增函數;
若 f^{’} (x)<0 ,則 y = f (x) 為 xin D 的增函數;
3. 單調性的定義(1)的等價形式:
設 x_{1},x_{2}in [a,b],frac{fleft( x_{1}right)-fleft( x_{2}right)}{x_{1}-x_{2}}>0 , f (x) 在[a, b] 是增函數;設 x_{1},x_{2}in [a,b],frac{fleft( x_{1}right)-fleft( x_{2}right)}{x_{1}-x_{2}}<0 , f (x) 在[a, b] 是減函數;
4. 函數單調性的應用
(1) 比較函數值的大小
(2) 可用來解不等式
(3) 求函數的值域或最值等
5. 函數的最值
(1) 最大值定義
一般地,設函數 y = f (x) 的定義域為 I ,如果存在實數M 滿足:
①對於任意的 x in I ,都有 f (x) leq M
②存在x_{0}in I,使得 f (x_{0} ) = M .那麼,我們稱 M 是函數 f (x) 的最大值,記 f (x)_{max} = M
(2) 最小值定義
一般地,設函數 y = f (x) 的定義域為 I ,如果存在實數M 滿足:
①對於任意的 x in I ,都有 f (x)geq m
②存在x_{0}in I,使得 f (x_{0} ) = m .那麼,我們稱 m 是函數 f (x) 的最小值,記 f (x)_{min} = m
待更。