大傢好！我是高考數學易老師，今天是我來知乎的第二天，今天更新函數概念及基本初等函數知識點。如果有任何關於高中數學知識點，可隨時詢問呢。

函數

1. 函數與映射（1） 函數的概念設 A 、 B 是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則 f ，對於集合 A 中任何一個數 x ， 在集合 B 中都有唯一確定的數 f (x) 和它對應，那麼這樣的對應（包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的對應法則 f ）叫做集合 A 到 B 的一個函數，記作 f：A rightarrow B（2） 映射的概念設 A 、 B 是兩個集合，如果按照某種對應法則 f ，對於集合 A 中任何一個元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它對應，那麼這樣的對應（包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的對應法則 f ）叫做集合 A 到 B 的映射，記作 f：A rightarrow B（3） 給定一個集合 A 到集合 B 的映射，且ain A,bin B ．如果元素a 和元素 b 對應，那 麼我們把元素b 叫做元素 a 的象，元素a 叫做元素b 的原象。

2. 函數的有關概念（1） 函數的定義域、值域（2） 在函數 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自變量，x 的取值范圍 A， 叫做函數的定義域（3） 與 x 的值相對應的 y 值叫做函數值，函數值的集合 {f(x)|x∈A} 叫做函數的值域

3. 區間的概念及表示法（設a, b 是兩個實數，且a < b ） （1） 滿足a leq x leq b 的實數 x 的集合叫做閉區間，記做 [a, b] （2） 滿足a < x < b 的實數 x 的集合叫做開區間，記做 (a,b) （3） 滿足a leq x leq b ，或a <x leq b 的實數 x 的集合叫做半開半閉區間，分別記做 [a,b) ，(a,b] （4）滿足 x geq a, x >a, x leq b, x < b 的實數 x 的集合分別記做 [a, +infty),(a, +infty),(-infty,b],(-infty,b) 註意：對於集合{ {x | a < x < b} }與區間(a,b) ，前者 a 可以大於或等於 b ，而後者必須 a < b

4. 函數的三要素：定義域、對應法則和值域

5. 函數的表示法：解析法、圖象法和列表法（1） 解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系（2） 列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系（3） 圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系

6. 隻有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數才是同一函數

7. 集合 M 的元素個數 m,集合 N 的元素個數 n ,那麼從 M 到 N 的映射個數是 n^{m} 次冪

8. 分段函數（1） 若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數（2） 分段函數的定義域等於各段函數的定義域的並集，其值域等於各段函數的值域的並集，分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數9. 求函數定義域常見結論：（1） 分式的分母不為零（2） 零次冪的底數不能為零（3） 偶次根式的被開方數不小於零（4） f (x) 是整式時，定義域是全體實數（5） 對數函數的真數必須大於零，對數函數的真數大於零（6） 指數函數和對數函數的底數大於零且不等於 1（7） 正切函數 y＝tan x， xne kpi + frac{pi}{2} (kin Z ) （8） 若 f (x) 是由有限個基本初等函數的四則運算而合成的函數時，則其定義域一般是各基本初等函數的定義域的交集（9） 對於求復合函數定義域問題，一般步驟是：若已知 f (x) 的定義域為 [a, b] ，其復 合函數 f [g(x)] 的定義域應由不等式a leq g(x)leq b 解出（10） 對於含字母參數的函數，求其定義域，根據問題具體情況需對字母參數進行分類討論（11） 實際問題中除要考慮函數解析式有意義外，還應考慮實際問題本身的要求。

10. 求抽象函數的定義域：

（1） 若 y＝f(x) 的定義域為 (a，b) ，則解不等式 a<g(x)<b 即可求出 y＝f(g(x)) 的定義域

（2） 若 y＝f(g(x))的定義域為 (a，b) ，則求出 g(x) 在 (a，b) 上的值域即得 f(x) 的定義域

11. 求函數解析式

（1） 待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)，可用待定系數法

（2） 換元法：已知復合函數 f(g(x)) 的解析式，可用換元法，此時要註意新元的取值范圍

（3） 配湊法：由已知條件 f(g(x)) ，可將 F(x)改寫成關於 g(x) 的表達式，然後以 x

替代 g(x) ，便得 f(x) 的解析式

（4） 消去法：已知 f(x) 與 f（1/x） 或 f(-x)之間的關系式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出 f(x)

12. 抽象函數

13. 函數值域的幾種常用方法

（1） 直接觀察法（2） 反函數法

當一個函數存在反函數又便於求其反函數時，可以通過求原函數的定義域來確定反函數的值域。（3） 配方法：

配方法是求二次函數（即形如 f (x) = ag (x)^{2} + bg(x) + c 的函數）值域最基本的方法之一。

（4） 判別式法：形如 y=frac{a_{1} x^{2}+ b_{1}x + c_{1}}{a_{2} x^{2}+ b_{2}x + c_{2}} (a1, a2 不同時為 0）的函數的值域通常用此法求解，把函數轉化為關於 x（或關於 x 的某個代數式）的二次方程，通過方程有實根 △≥0 ，從而求得函數的值域。

（5） 利用函數的有界性法：函數式中含有正弦或餘弦函數及指數式時，不妨利用此法

（6） 利用函數的單調性法：兩個單調遞增（或遞減）函數的和仍為單調遞增（或遞減）函數；

（7） 換元法：

• 形如 y =ax+bpmsqrt{cx+d} (a,b, c, d 為常數， ane 0) 常用代數換元
• 形如 y =ax+bpmsqrt{cx^{2}+d} (a,b, c, d 為常數， ane 0) 常用三角換元

（8） 數形結合法：

其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目瞭然

（9） 不等式法：

利用基本不等式 a + b + c geqsqrt[3]{abc} (a,b, c in R^{+} ) ， a + b geq2sqrt[]{ab} (a,b in R^{+} ) 求函數的值域，其題型特征是當解析式是和式時要求積為定值，當解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧

（10） 求導數法：利用導數求高次函數的值域

（11） 函數的單調性法

二、函數的單調性

1. 單調區間的定義如果函數 y＝f(x)在區間 D 上是增函數或減函數，那麼就說函數 y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間 D 叫做 y＝f(x)的單調區間

2. 函數單調性的定義（1） 如果函數 f (x)對區間 D 內的任意 x_{1} ,x_{2}

當 x_{1}<x_{2} 時都有 f (x_{1}) < f (x_{2}) ，則 f (x) 在 D 內是增函數；

當 x_{1}<x_{2} 時都有 f (x_{1}) > f (x_{2}) ，則 f (x) 在 D 內時減函數 （2） 設函數 y = f (x) 在某區間 D 內可導，

若 f^{’} (x)>0 ，則 y = f (x) 為 xin D 的增函數；

若 f^{’} (x)<0 ，則 y = f (x) 為 xin D 的增函數；

3. 單調性的定義（1）的等價形式：

設 x_{1},x_{2}in [a,b],frac{fleft( x_{1}right)-fleft( x_{2}right)}{x_{1}-x_{2}}>0 , f (x) 在[a, b] 是增函數；設 x_{1},x_{2}in [a,b],frac{fleft( x_{1}right)-fleft( x_{2}right)}{x_{1}-x_{2}}<0 , f (x) 在[a, b] 是減函數；

4. 函數單調性的應用

（1） 比較函數值的大小

（2） 可用來解不等式

（3） 求函數的值域或最值等

5. 函數的最值

（1） 最大值定義

一般地，設函數 y = f (x) 的定義域為 I ，如果存在實數M 滿足：

①對於任意的 x in I ，都有 f (x) leq M

②存在x_{0}in I，使得 f (x_{0} ) = M ．那麼，我們稱 M 是函數 f (x) 的最大值，記 f (x)_{max} = M

（2） 最小值定義

一般地，設函數 y = f (x) 的定義域為 I ，如果存在實數M 滿足：

①對於任意的 x in I ，都有 f (x)geq m

②存在x_{0}in I，使得 f (x_{0} ) = m ．那麼，我們稱 m 是函數 f (x) 的最小值，記 f (x)_{min} = m

待更。