设想当一个决策者拥有多个选择，并且想象这些选择的序列

x_{n}

是收敛于一个（不一定能达到的）最优决策，即假设随着n增大，每一个选择都要优于前一个选择。现在的问题就是，若这个“最优决策”

x^{*}

本身却并不在决策者可供选择的集合当中，那么我们将发现最优问题此时无解，这种情形在经济学问题当中被认为是“未准确描述”的最优选择问题。因此为了避免这样的问题发生，我们可以施加一个条件，即让所有选择组成的集合是闭合(closed)的，直观地说，即不可以通过极限方式而离开该集合。

Definition 7. 设A是度量空间(X, d)的子集。若集合A中不存在这样的序列a_{n} ：a_{n} rightarrow a^{*} 且a^{*}notin A，则我们说集合A是闭合(closed)的。该定义等价于：如果集合A中所有序列的极限点都在该集合当中，那么这个集合是闭集(closed sets)。

例如：

• [0, 1]是(mathbb{R},d_{2})中的一个闭集。
• X和phi 均是度量空间(X, d)的闭集。
• (0, 1)在((0, 1), d_{2})中为闭集，但在(mathbb{R},d_{2})中或([0, 1], d_{2})中不是闭集。(a_{n}=frac{1}{n} rightarrow 0notin A)

关于闭集的定义较为容易理解。结合上一节边界的内容，我们发现尽管(0, 1)在(mathbb{R},d_{2})的边界存在且为left{ 0, 1 right} ，但其在(mathbb{R},d_{2})上并不满足闭集的条件。这将引出本节核心的定理——当且仅当一个集合包含其边界时，该集合为闭集。

Theorem 4. 设A是度量空间(X, d)的子集。A为闭集当且仅当A包含其边界，即partial Asubseteq A。

Proof. (1) 我们首先证明：A为闭集

Rightarrow

A包含其边界。设边界上的点为

xin partial A

，即证当A为闭集时，

xin A

。根据上一节边界的定义Definition 6. 可知边界点

xin partial A

满足：存在序列

a_{n} in A

使得

a_{n} rightarrow x

。由于A是闭集，即所有极限点均在集合内，所以

xin A

。

(2) 再证明：A包含其边界Rightarrow A为闭集。即当a_{n} rightarrow x且a_{n} in A时，证明xin A。通过反证法，我们首先假设A中存在不在该集合当中的极限点xnotin A。设b_{n} =x对于所有n，则有b_{n} notin A且b_{n} rightarrow x。由边界的定义Definition 6. 可知当a_{n} rightarrow x且a_{n} in A，b_{n} rightarrow x且b_{n} notin RA，则x是A的一个边界点。且由于A包含其边界，则有xin A，违背假设。由此可得，A中不存在不在集合当中的极限点，即A为闭集。

在最后，我们引入一个闭包(closure)的概念，这正如一开始的例子所述，通过施加一个条件使选择的集合是闭合的，即无论你集合本身是开集或闭集，但是闭包一定是包含其边界的。

Definition 8. (X, d)为度量空间。集合A的闭包示为 cl(A)，满足： cl(A) = {x^{*} in X: 存在序列x_{n} in A 且 x_{n} rightarrow x^{*}}

Theorem 5. cl(A) = Acup (partial A)