四、闭集(Closed Sets)

设想当一个决策者拥有多个选择,并且想象这些选择的序列

x_{n}

是收敛于一个(不一定能达到的)最优决策,即假设随着n增大,每一个选择都要优于前一个选择。现在的问题就是,若这个“最优决策”

x^{*}

本身却并不在决策者可供选择的集合当中,那么我们将发现最优问题此时无解,这种情形在经济学问题当中被认为是“未准确描述”的最优选择问题。因此为了避免这样的问题发生,我们可以施加一个条件,即让所有选择组成的集合是闭合(closed)的,直观地说,即不可以通过极限方式而离开该集合。

Definition 7. 设A是度量空间(X, d)的子集。若集合A中不存在这样的序列a_{n} a_{n} rightarrow a^{*} a^{*}notin A,则我们说集合A是闭合(closed)的。该定义等价于:如果集合A中所有序列的极限点都在该集合当中,那么这个集合是闭集(closed sets)。

例如:

  • [0, 1](mathbb{R},d_{2})中的一个闭集。
  • X和phi 均是度量空间(X, d)的闭集。
  • (0, 1)((0, 1), d_{2})中为闭集,但在(mathbb{R},d_{2})中或([0, 1], d_{2})中不是闭集。(a_{n}=frac{1}{n} rightarrow 0notin A)

关于闭集的定义较为容易理解。结合上一节边界的内容,我们发现尽管(0, 1)(mathbb{R},d_{2})的边界存在且为left{ 0, 1 right} ,但其在(mathbb{R},d_{2})上并不满足闭集的条件。这将引出本节核心的定理——当且仅当一个集合包含其边界时,该集合为闭集。

Theorem 4. 设A是度量空间(X, d)的子集。A为闭集当且仅当A包含其边界,即partial Asubseteq A

Proof. (1) 我们首先证明:A为闭集

Rightarrow

A包含其边界。设边界上的点为

xin partial A

,即证当A为闭集时,

xin A

。根据上一节边界的定义Definition 6. 可知边界点

xin partial A

满足:存在序列

a_{n} in A

使得

a_{n} rightarrow x

。由于A是闭集,即所有极限点均在集合内,所以

xin A

(2) 再证明:A包含其边界Rightarrow A为闭集。即当a_{n} rightarrow xa_{n} in A时,证明xin A。通过反证法,我们首先假设A中存在不在该集合当中的极限点xnotin A。设b_{n} =x对于所有n,则有b_{n} notin Ab_{n} rightarrow x。由边界的定义Definition 6. 可知当a_{n} rightarrow xa_{n} in Ab_{n} rightarrow xb_{n} notin RA,则xA的一个边界点。且由于A包含其边界,则有xin A,违背假设。由此可得,A中不存在不在集合当中的极限点,即A为闭集。

在最后,我们引入一个闭包(closure)的概念,这正如一开始的例子所述,通过施加一个条件使选择的集合是闭合的,即无论你集合本身是开集或闭集,但是闭包一定是包含其边界的。

Definition 8. (X, d)为度量空间。集合A的闭包示为 cl(A),满足: cl(A) = {x^{*} in X: 存在序列x_{n} in Ax_{n} rightarrow x^{*}}

Theorem 5. cl(A) = Acup (partial A)

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