Ⅰ开普勒三定律与万有引力互推

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1.1由开普勒三定律导出万有引力公式

我们现在当然知道了，万有引力公式表述的该力是具有平方反比性质的、与两物体质量成正比的有心力，其中有心力这一结论其实具有很大的作用，因此我们先来证明万有引力是有心力。

证明万有引力是有心力，主要应用开普勒第二定律，证明过程中偶尔需要用到第一定律。事实上，开普勒第二定律的实质是角动量守恒，我们首先需要证明这一结论，然后利用角动量守恒的关系推出万有引力是有心力来。

开普勒第二定律：单位时间内扫过的面积相等（写成微商形式：frac{dS}{dt}=常量 ）

在极坐标中，倘若选择太阳中心为坐标原点，则对于任意一种运动，都有以下微分关系：

dS=(frac{r^2}{2}) dθ

由于很多人对这一恒成立的关系式不太了解，因此我们先证明它，如果没有问题请跳过下面斜体证明部分。

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证明：

为了证明这个关系式，我想从大家微积分学习过程中，最先接触到定积分概念时的思路出发，继而推出微分关系式：

我们说定积分最初是源于这样一个过程：

分割-近似-求和-取极限

①分割：将椭圆平均分割成n个小区域，每个小区域对应的角度为 θi(i=1,2,3….n)

②近似：每一个部分，其面积S可由半径为 ri 的扇形面积近似，即：

Siapprox r^2/2 Δθi

③求和：椭圆总面积可近似为：

求和

④取极限:当所选取的区域数量趋于无穷大时，则椭圆总面积与这些"近似面积"之和是严格相等的

取极限

从而我们定义后者的这个极限式为：

积分式满足这个关系，则微分关系满足： dS=(frac{r^2}{2}) dθ ，证毕

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由第二定律，我们可以将其写成数学形式 dS/dt=常量 ,我们将恒成立的关系式 dS=(frac{r^2}{2}) dθ 代入到前者中，则会得到 frac{r^2}{2}frac{dθ}{dt}=常量 。

我们默认大家已经接触了角动量的概念，角动量 vec{J}=mvec{r}timesvec{v}

根据开普勒第一定律可以知道，地球绕太阳的轨道是椭圆，以太阳为角动量的参考点，地球是定轴转动的(太阳中心在这条旋转轴上),对于定轴转动的物体，角动量在旋转轴方向上的分量为: Jz=mr^2ω=mr^2frac{dθ}{dt} ，这一关系始终成立，这里不再额外证明。同时，由于开普勒第一定律，我们可以得到地球的角动量 vec{J}=(Jz)vec{ez} ，其中 vec{ez} 是旋转轴向的单位矢量，因此我们可以用 J 来代替 Jz ，即 J=mr^2ω=mr^2frac{dθ}{dt} 。

根据这一关系，我们发现， frac{r^2}{2}frac{dθ}{dt} 还可以写成 frac{J}{2m} ，则有 frac{J}{2m}=常量 ，由于2m是常量，则地球的总角动量 J 也一定是常量，且方向始终为轴向，因此我们仅仅有第一定律和第二定律就得到了以下结论：

地球绕太阳转动，整个过程是角动量守恒的。

值得特别注意的一点是，我们在研究地球绕太阳公转的过程中，所使用的物理公式和数学模型都是质点模型，即我们不仅忽略了地球的自转，而且还忽略了地球和太阳的形状，认为地球和太阳的质量集中在它们的几何中心上。仔细想来，其实这么简化并不严谨，当然我们可以想象，如果不作如此简化的话，研究过程会复杂许多。不过，我们在后面会推导出高斯定律来，高斯定律的结论会告诉我们，这样的假设是恰当的。具体高斯定律的内容会在往后阐释，这里我们仅仅把这个看似不太严谨的简化问题说明出来。

回到角动量守恒的结论中来，经典力学告诉我们，如果运动过程中，质点的角动量保持不变（即守恒），那么一定有 vec{M}equiv0 ，即在该过程中，对于同一参考点，其外力矩始终为0。对于外力矩始终为0，只有两种可能性：

根据外力矩的定义 vec{M}=vec{r}timesvec{F} ,第一种可能是外力始终大小为0，这当然是不可能的。因为如果外力始终为0，地球不可能会以椭圆运动，这不符合开普勒第一定律的实验结论；第二种可能就是，任意时刻，外力的方向始终与质点的位置矢量共线，两个共线矢量的向量积为0，用数学语言描述，即 vec{F}=F(r)vec{r} ，这在物理中称作"有心力"。因此，根据角动量守恒这一事实，结合以上分析，我们只能承认“万有引力一定是有心力”。

至此，我们成功证明了万有引力的方向，即始终与位置矢量共线这一关系。在证明了这一关系之后，就来到了重头戏，即证明万有引力遵从著平方反比规律。在彻底证明之前，我们先要证明一个特别的公式，这个公式将会辅助我们推导出最终的平方反比公式来。这一公式称作“比耐公式”。

比耐公式内容如下：

-F/m=h^2u^2(frac{d^2u}{dθ^2}+u) 其中 h=frac{J}{m},u=frac{1}{r}

证明该公式仅需要角动量守恒这一结论，换言之，根据开普勒第二定律可以直接导出比耐公式

证明如下

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①由运动学中极坐标的加速度表示方法，径向加速度即

由于万有引力方向是径向，我们无需再考虑轴向加速度的表达形式。

由牛顿第二定律 F_{万}=ma_{r } ，从而得到

②由开普勒第一定律，有

我们定义 h=J/m ，则上式改写成：

③

frac{d^2r}{dt^2}=frac{d(frac{dr}{dt})}{dt}=frac{d(frac{dr}{dθ}·frac{dθ}{dt})}{dt} ，代入 frac{h}{r^2}=frac{dθ}{dt} 后

原式= frac{d(frac{h}{r^2}frac{dr}{dθ})}{dt} ，定义 u=frac{1}{r} ， 原式=frac{d(-frac{1}{u^2}frac{du}{dθ}hu^2)}{dt}

frac{d(-frac{1}{u^2}(frac{du}{dθ})hu^2)}{dt}=frac{d(-frac{du}{dθ}h)}{dt}

=-hfrac{d(frac{du}{dθ})}{dt}=-hfrac{dθ}{dt}frac{d(frac{du}{dθ})}{dθ}= -h^2u^2frac{d(frac{du}{dθ})}{dθ}=-h^2u^2frac{d^2θ}{dθ^2}

我们将公式②中的 frac{dθ}{dt} 和公式③中的 frac{d^2r}{dt^2} 分别代入到公式①中，则可以得到比耐公式：

-F/m=h^2u^2(frac{d^2u}{dθ^2}+u)

由证明过程可知，对于任何符合开普勒第二定律形式的运动，比耐公式都成立

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证明了比耐公式后，下面可以开始证明万有引力大小表达式了，先看一下我们目前具有哪些公式：

（1）开普勒第一定律: 地球绕太阳的轨道为椭圆，将其运动学方程写成极坐标形式

r=frac{P}{1+e cosθ} ,或者 u=frac{1}{r}=frac{1}{P}+frac{ecosθ}{P} ，其中 P=frac{b^2}{a} , e=frac{c}{a}

（2）开普勒第二定律:地球绕太阳运动的角动量守恒

frac{dS}{dt}=frac{h}{2}=常量 ，其中 h=frac{J}{m}

（3）开普勒第三定律：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量,这个常量仅仅与中心天体有关

frac{a^3}{T^2}=常量varepsilon

（4)比耐公式： -F/m=h^2u^2(frac{d^2u}{dθ^2}+u)

下面开始推导万有引力定律

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由开普勒第一定律所得到的椭圆轨道方程，可求出 frac{d^2u}{dθ^2}=-frac{ecosθ}{P} ,代入到比耐方程中

F=-mh^2u^2(frac{d^2u}{dθ^2}+u)=-mh^2u^2(-frac{ecosθ}{P}+frac{1}{P}+frac{ecosθ}{P})=-frac{mh^2u^2}{P}

即 F= -frac{m}{r^2}·(frac{h^2}{P}) ，对于同一个中心天体，h和P都为常量，记 k=frac{h^2}{P} ,则有

F=-frac{km}{r^2} ,继而我们证明出了万有引力是遵从平方反比的

下面我们要证明万有引力还与中心天体质量M成正比

由开普勒第二定律，有 frac{dS}{dt}=frac{h}{2}=常量 ，当地球环绕太阳一周时，扫过的面积为椭圆面积 pi ab ,对应周期为 T ，则此时 frac{ΔS}{Δt}=frac{pi ab}{T}=frac{dS}{dt} ，从而得到 T=frac{2pi ab}{h}

我们将这个周期T的公式代入到开普勒第三定律，则 frac{a^3}{T^2}=frac{ah^2}{4pi b^2}=frac{1}{4pi}·(frac{ h^2}{P})=常量varepsilon ，由于 4pi 是常数，而常量 varepsilon 与中心天体有关，则意味着 frac{ h^2}{P} 也与中心天体有关

此前我们提到过了，我们在之前使用的模型都是质点模型，因此我们不考虑中心天体的形状与自转，从而我们可以合理的猜测，既然是与中心天体有关，那么应该是和中心天体的质量M有关。

前面我们已经导出了 F=-frac{m}{r^2}·(frac{h^2}{P}) ，既然 frac{ h^2}{P} 与M有关，则万有引力F也应该与M有关

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我们上面已经证明了万有引力与半径成反比，但是还有一个重要的问题没有推导出来，接下来我们要讨论的就是，F与中心天体质量M之间应该遵从什么样的关系？

牛顿曾经猜想，地球给予月球的力与地球给予地面上物体的力是否是同一种力？在之前的所有推导过程中，我们都仅仅探究的是天体之间的引力，但是牛顿所猜想的这种力不应仅仅存在于两个天体之间，应该存在于任何事物之间。它通过著名的月-地检验已经证明了，月球和地面上的石块受到的引力确实是同一种力，由于中心天体都是地球，所以在检验过程中无需考虑M对F大小的影响。

人们最初就发现，在同一地点测量，地球给予地面上物体的加速度基本是不变的，即重力加速度g，根据牛顿第二定律，可以知道地球给地面上物体的作用力势必与物体的质量m成正比（可以自己尝试推导一下这个结论）。经过了月-地检验，既然我们已经发现了地球给月亮的力和地面物体的力属于同一种力，就自然而然的也猜想，地球给月亮的力也应该是和月亮质量m成正比的。当然，之前我们已经推导得到了这个结论，验证了这个猜想。

进一步的想，既然地球会给月球环绕的效果，太阳也给予着地球环绕的效果，那么太阳给地球的力与地球给月球的力是否也是同一种呢?我们完全有理由进行这种猜想。再进一步，任意的两个星体A和B之间，是否都会彼此有这种力的作用呢？这种猜测是符合逻辑的，而且还会得到一个结论：如果任意两个星体之间彼此真的会有这种引力作用，那么根据之前的对地面物体的引力探索，就有"A给B的力与B的质量成正比，B给A的力与A的质量成正比"的结论了。

写成数学形式，即： F∝m 同时F∝M ，再根据开普勒第三定律的结论（常量与中心天体质量有关)，则自然而然的通过该大胆的猜想引力应该是和中心天体质量M成正比的，因此我们就得到了：

F=-frac{GMm}{r^2}

矢量形式则为： vec{F}=-frac{GMm}{r^3}vec{r}

力与m成正比的结论，最开始仅仅是地面物体加速度为定值的这一实验结论，牛顿又通过月地检验，完美的证明了他的大胆猜测，于是他扩大了猜测范围，认为两个天体之间应该具有平权的地位。从而他将天体对其他物质的力正比于M和m这一结论记录了下来。而后百余年间，人们通过各种各样的实验与数据观测，成功验证了这个正比关系的正确性。

当牛顿写出他的引力公式之后，作出了他最为伟大的猜想：他认为这种引力不仅仅会存在于天体对其他物质之间的作用，宇宙间的万事万物彼此之间都应该有这种作用。

这种猜测具有极强的洞察力，至此，这种最初“来自天体”的引力才真正的称作了“万有引力”，而无数的实验又一次次证明了,他对于”万有“的猜测是正确的。

至此，我们由三个实验定律成功推导出了万有引力定律，接下来，我们会根据万有引力定律，反推导出一些有用的结论，其中之一便是对于开普勒第一定律的扩展。

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1.2 由万有引力公式验证开普勒三定律

在数学中,有"充分和必要”条件的说法，我们可以由开普勒三定律推导出万有引力定律，但是反过来，假设一个质点只受到万有引力，那么它的运动一定仅限于开普勒三定律所描述的吗？

先给出结论，假设质点具有初速度Vo，而后在万有引力的作用下运动，则其运动一定符合开普勒第二定律和开普勒第三定律(当然前提是周期运动），但是不一定符合开普勒第一定律（即其轨迹不一定是椭圆）

先证明其运动一定符合开普勒第二定律：

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由于万有引力是有心力，则一定有 vec{r}timesvec{F}=vec{M}equiv0

由质点的角动量定理 vec{M}=frac{dvec{J}}{dt} 可知，质点的运动过程中角动量守恒。则物体做任何运动时，都有

J=mr^2ω=mr^2frac{dθ}{dt}=常量

极坐标内，对于任何运动都满足以下关系 dS=(frac{r^2}{2}) dθ ，两边同时对t求导，得

frac{dS}{dt}=(frac{r^2}{2}) frac{dθ}{dt}=frac{J}{m}=常量

从而开普勒第二定律成立

接下来先不去证明开普勒第三定律，而先证明始终只受到万有引力作用的物体的轨道不一定是椭圆：

首先我们先引入一个物理量，称作隆格-楞次矢量，定义式为：

vec{B}=vec{v}timesvec{J}-GMmvec{r}/r

可以证明，在平方反比的有心力作用下，该矢量守恒，证明如下

frac{dvec{B}}{dt}=frac{d(vec{v}timesvec{J}-GMmvec{r}/r)}{dt}=frac{d(vec{v}times vec{J})}{dt}-frac{d(GMmvec{r}/r)}{dt}

其中 frac{d(vec{v}times vec{J})}{dt}=frac{d(vec{v})}{dt}times vec{J}+vec{v}timesfrac{d(vec{J})}{dt} ,由于有心力下角动量守恒，则 vec{v}timesfrac{d(vec{J})}{dt}=0 ，

则 frac{d(vec{v}times vec{J})}{dt}=frac{d(vec{v})}{dt}times vec{J}=mfrac{d(vec{v})}{dt}times(vec{r}timesvec{v}) ,代入 vec{F}=frac{GMm}{r^3}vec{r}=mfrac{dvec{v}}{dt}

得到原式 =frac{GMm}{r^3}vec{r}times(vec{r}timesvec{v})

利用矢量恒等式 vec{A}times(vec{B}timesvec{C})equiv(vec{A}·vec{C})·vec{B}-(vec{A}·vec{B})·vec{C}

即我们得到了: frac{d(vec{v}times vec{J})}{dt}= GMmfrac{d(frac{vec{r}}{r})}{dt} ,代入到 frac{dvec{B}}{dt}=frac{d(vec{v}times vec{J})}{dt}-frac{d(GMmvec{r}/r)}{dt} 中，

则 frac{dvec{B}}{dt}=0 ,即证明隆格-楞次矢量在平方反比力场中是守恒量

在整个过程中的任意时刻，都有以下两个关系式:

（1） vec{r}·vec{B}=rBcosθ

(2) vec{r}·vec{B}=vec{r}·(vec{v}timesvec{J}-GMmvec{r}/r)=vec{J}·(vec{r}timesvec{v})-GMmr=frac{J^2}{m}-GMmr

联立两式，得到:

r=frac{(frac{J^2}{GMm^2})}{1+(frac{B}{GMm})cosθ} ，

对比圆锥曲线公式 r=frac{P}{1+ecosθ} ， 则 e=(frac{B}{GMm}) P=(frac{J^2}{GMm^2})

当 e=0 时，轨迹为圆；当 0<e<1 时，轨迹为椭圆；

当 e=1 时，轨迹为抛物线；当 e>1 时，轨迹为双曲线

当质点的初速度或初角动量变化，或者在运动期间通过其他方式（如火箭喷气)改变其角动量或速度时，隆格-楞次矢量的大小也会变化，从而会让轨道的e和P发生变化。这样的话，就存在临界角动量/速度，使得轨迹变成其他形状。因此，开我们只能说，开普勒第一定律之所以成立，是因为地球绕太阳的角动量和速度是在椭圆轨道的e范围内（即 0<e<1 ），从而也证明，遵从万有引力定律的运动不一定只有椭圆，这一系列圆锥曲线都有可能。

同时我们发现，当 egeq1 时，质点的轨迹就不再具有周期性了，从而也就没有周期T之说法，从而开普勒第三定律不再成立。但是只要轨迹是椭圆和圆形，开普勒第三定律一定成立。

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至此，开普勒第三定律推导万有引力定律，以及二者的充要关系已经完成，下面我们利用万有引力公式，来导出一些有趣的结论来

Ⅱ.万有引力的有趣结论

2.1 重力与抛物线

在高中物理中，我们就学过一个很重要的结论：地球上的重力实际上是万有引力的分力，另一个分力提供的是地球自转的向心力，即： vec{F_{万}}=vec{G}+vec{F_{向}} （在惯性系上看），如果我们选择地球本身这个以某个角速度自转的非惯性系，那么重力就是万有引力与惯性离心力的合力，即 vec{G}=vec{{F_{万}}}+vec{F_{离}} ，我们之所以要考虑选择地球这个非惯性系来观察重力，是因为我们平时所观察到的一切现象都是在地球上的，我们已经习惯了选用地球作为参考系，因此在地球上称量体重时，{视重}测量的其实就是"重力"，这个由万有引力和惯性离心力组成的合力，而非”万有引力"。

万有引力沿两方向分量作用的效果是重力和向心力

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值得补充的一点是，初学者对重力的理解往往有所偏差，我们在一个研究体系时若考虑“重力”而不考虑“万有引力”，那么这个体系不能太大，也就是说，我们近似的认为了这个体系中的每一个部分所受到力的方向都是一样（即竖直向下），所以说，在这样的研究体系下，重力并非是一个有心力，而是一个方向恒定的力。（严谨的说，重力就是一个恒方向力，倘若我们研究的是北京和纽约上的两个物体组成的体系，那么在受力分析时，考虑重力就不妥当了，我们就必须认为是引力作用，而非重力作用了）。重力之所以能建立起势能的概念，就是源于重力是恒方向这一结论。

以下是严格的数学证明

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在数学中，有这样一个结论： int_{L}^{}Pdx+Qdy与路径无关Leftrightarrow partial P/partial yequiv partial Q/partial x

其中 int_{L}^{}Pdx+Qdy是一个对坐标的曲线积分，对于重力 vec{G}=Gvec{i}，vec{i}是始终竖直向下的单位向量

由做功定义， W=int_{L}vec{F} dvec{r} ,重力做功则为： W_{G}=int_{L}vec{G} dvec{r}=int_{L}Gdx+0dy ,由于 partial G/partial y=0 ， partial0 /partial x=0 ,则 partial{G}/partial{ y}equiv partial 0/partial x

因此

int_{L}Gdx+0dy 的值与选取的路径L无关，因而对于空间任意两点 (x,y,z)与(x',y',z') ,其重力做功的路径都可以任意选择，由此存在着一个物理量 U(x,y,z) ,只要选定了物理量为0的基准点，其大小就只与空间位置有关，从而可以引入"重力势能"这个概念。

U_{G}(x,y,z)=int_{L}vec{G} dvec{r}=int_{L_{竖直}}vec{G} dvec{r}+int_{L_{水平}}vec{G} dvec{r}=int_{L_{竖直}}Gsin0°dr+int_{L_{水平}}Gsin90°dr=-GΔh+Uo(x,y,z)

其中Δh代表的是 两点vec{i} 方向分量之差，即"高度差", Uo(x,y,z) 是初始位置选定的重力势能大小，实际我们只考虑重力势能的差值，即 ΔU= U_{G}(x,y,z)-Uo(x,y,z) ，选定某个位置为重力势能零点后，就可以根据-GΔh来计算出初始位置到代求位置的重力势能差。

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接下来我们再真正的对高中的知识进行一个拓展，大家或许会有些疑问，既然根据万有引力证明任何物体的轨道是圆锥曲线，那么为何平抛运动的轨迹是抛物线？（注意，平抛运动中的抛物线与圆锥曲线中的抛物线并不是一个东西）。或者说、为何平抛出的物体不会以椭圆轨道绕着地球运动？

我们先忽略地球自转。事实上，如果地球表面是“虚空的”，即如果平抛出的物体不会碰到地面而停止运动，而是会“穿透过地面”继续运动，那么这个物体就会以地心为一个焦点，绕着地球做椭圆运动，然后回到原来的位置。也就是说，平抛的物体实际并不违背开普勒第一定律，之所以我们只能看到抛物线，这是因为地球的地表是“实心”的，物体绕地心的椭圆轨道途径了地表，被强行阻拦了下来。

那么平抛的抛物线是如何来的呢？推导中我们使用的是“在物体运动过程中始终收到恒定方向重力作用”这一条件，而重力仅仅是物体运动小轨迹中的一个近似，因此从数学角度而言，抛物线轨道仅仅是整个椭圆轨道在一个小位移下的近似。换一个视角来看，其实就是我们把受力方向随着物体位移而变化的万有引力，用方向恒定的重力而进行近似。所以说，我们以不大的初速度平抛一个物体，得到抛物线的轨迹与飞行器绕地球的运动为圆锥曲线并不冲突。

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2.2 高斯定理

还记得在一开始我们提出的问题吗？我们在研究地球绕太阳公转的过程中，所使用的物理公式和数学模型都是质点模型，即我们不仅忽略了地球的自转，而且还忽略了地球和太阳的形状，认为地球和太阳的质量集中在它们的几何中心上。仔细想来，其实这么简化并不严谨。

事实上，在牛顿提出万有引力之时，事先尚未证明这种简化的严格性，因此他总觉得万有引力定律的证明过程有些许缺憾，这种简化是否合理？

倘若这种简化会使得计算结果完全不同，那么我们推导出的结论就不再具有意义了。所以说，我们先要用数学严格证明一下这个简化的合理性。17世纪，伟大的牛顿也在思考着，直到后来牛顿使用自己发明的微积分终于证明了；两百年后，数学家高斯创立了著名的高斯定律，从而统一地重新证明了这种简化的合理性。

我们先给出结论：无论把地球视为质量均匀分布的球壳还是球体，在球以外的空间中的任何一个物体，其所受到的球壳球体总体的万有引力等于把整个球壳球体质量集中在球心时受到的万有引力。

数学表述即： ∑vec{F_{万i}}=frac{-GMmvec{r}}{r^3}（球壳/体外）

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证明如下：（参考 均匀球体对质点的万有引力的计算及应用 – 豆丁网 (docin.com)）

在电磁学中，我们学习了静电场的高斯定理，静电场和引力场都是平方反比的有心力场，因此引力场也符合类似于静电场中的高斯定理。

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2.3 宇宙第一/第二/第三速度

明日继续…