复数定义1：一对有序数对 (u,v) ； z=u+iv .

u=operatorname{Re}z 称为实部， v=operatorname{Im} 称为虚部。

复数定义2（复数的指数形式）： z=re^{iθ}=r(cosθ+ isinθ) （Euler 公式）

【本质上是借助 Taylor 展开式： e^{iθ}=sumlimits_{n=0}^infty dfrac{(iθ)^n}{n!}=cos θ+isin θ 】

性质：

e^{i(θ_1+θ_2)}=e^{iθ_1}cdot e^{iθ_2}

e^{iθ}=e^{i(θ+2kπ)} 以 2π 为周期

e^{iπ}=cosπ+isinπ=-1 【变形得 e^{ipi}+1=0 最美数学公式】

e^{icdot 2π}=1

r=|z| 称为模长（modulus）， θ=operatorname{Arg}z 称为辐角（argument）。

关于模的几个不等式：

1. |operatorname{Re}α|le |α|, |operatorname{Im}α|le |α|

2. |α|le |operatorname{Re}α|+|operatorname{Im}α|

3. |αpm β|le |α|+|β|

4. big||α|-|β|big|le |αpm β|

5. |α_1+α_2+cdots+α_n|le |α_1|+|α_2|+cdots+|α_n|

辐角不唯一。所以又在 [-π,π) （或 [0,2π) ）范围内规定辐角的主值（Principle value of argument）：

operatorname{Arg}z=arg z+2kpi,~k=0,pm1,pm2,dots

arg z 和 displaystyle arctan{yover x} 的关系：当 zne 0 时，如果取 -pi<arg zle pi ， -{piover 2}<arctan{yover x}<{piover 2} ，则

arg z=begin{cases}arctandfrac{y}{x}-π,& -πle z<-dfrac{π}{2}/ arctan dfrac{y}{x},& -dfrac{π}{2}le zle dfrac{π}{2}/ arctandfrac{y}{x}+π,& dfrac{π}{2}< z<πend{cases}

复数的加减、乘除

(a,b)pm(c,d)=(apm c,bpm d)

(a,b)cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

z_1cdot z_2=r_1r_2left[cos(θ_1+θ_2)+isin(θ_1+θ_2)right]

displaystyle {z_1over z_2}={r_1over r_2}left[cos(θ_1-θ_2)+isin(θ_1-θ_2)right]

displaystyle {a+ibover c+id}={(a+ib)(c-id)over(c+id)(c-id)}={ac+bdover c^2+d^2}+i{bc-adover c^2+d^2}

复数 z 乘以 i 的几何意义是将 z 绕原点逆时针旋转 90°： icdot z=-b+ai

两个复数相乘的结果是模相乘，辐角相加。复数的乘、除的几何结果是旋转和伸缩。

复数的乘方

(a+ib)^2=a^2-b^2+2abi

z^n=r^ne^{inθ}=r^n(cos nθ+isin nθ)=r^n(cosθ+isinθ)^n （Demoivre 定理）

复数的开方

乘方的逆运算， n 为自然数.

w=z^n Longrightarrow z=w^{1/n}

w=z^{1/n}=left(re^{iθ}right)^{1/n}=r^{1/n}e^{textstylefrac{i(θ+2kπ)}{n}}, k=0,1,2,dots,n-1

开方运算是多值的，源自辐角的多值性。这点与实数不同，对大于 0 的实数，开方可取算术根（只取 k=0 的根），复数开方不可以只保留"算术根"。复数开 n 次方的 n 个根均匀分布于以原点为圆心， r^{1/n} 为半径的圆周上。

开 n 次方根： sqrt[n]{α}=sqrt[n]{r}left(cosdfrac{θ_P+2kπ}{n}+isindfrac{θ_P+2kπ}{n}right)

α=re^{i(θ_P+2kπ)}quad -π< θ_Ple πquad k=0,1,2,dots,n-1

【德莫弗（de Moivre）公式： (cosθ+isinθ)^n=cos nθ+isin nθ 】

几何图像相当于圆的 n 等分。

复数的共轭

定义：设复数 z=a+ib ，则共轭复数（complex conjugate） z^*equiv a-ib .

共轭复数计算法则：

|z^*|=|z| （共轭运算模长不变）

(zpm w)^*=z^*pm w^*

(zw)^*=z^*w^*

left(dfrac{z}{w}right)^*=dfrac{z^*}{w^*} （ wne 0 ）

性质： (z^*)^*=z

z^*z=a^2+b^2

(z_1cdot z_2)^*=z_1^*cdot z_2^*

zz^*=|z|^2 （变形： z^{-1}=dfrac{z^*}{|z|^2} (zne 0) ）

复数的共轭与 在实数域下实值的全纯函数 可以交换运算次序（当然 f(z),f(z^*) 要有定义）：

f(z^*)=left[f(z)right]^*

例如：

(z^*)^n=(z^n)^* （ ninmathbf{Z} ）

exp z^*=(exp z)^*

ln z^*=(ln z)^* （ zne 0 ）

例 1：求 (1+i)^8 .

1+i=sqrt{2}left(dfrac{1}{sqrt{2}}+idfrac{1}{sqrt{2}}right)=sqrt{2}e^{displaystyle idfrac{π}{4}}

(1+i)^8=(sqrt{2})^8~e^{displaystyle idfrac{π}{4} cdot 8}=16 ■

例 2：求 sqrt[3]{-8} .

-8=8(cosπ+isin π)

sqrt[3]{-8}=sqrt[3]{8}left(cosdfrac{π+2kπ}{3}+isindfrac{π+2kπ}{3}right)quad (k=0,1,2)

sqrt[3]{-8}=begin{cases}1+isqrt{3},& k=0 / -2, & k=1/ 1-isqrt{3}, & k=2end{cases} ■

例 3：写出二维平面直线方程的复数形式.

二维直线方程 ax+by+c=0 .

令 z=x+iy,quad x=dfrac{z+z^*}{2}, y=dfrac{z-z^*}{2i} ，

代入方程得 (a-ib)z+(a+ib)z^*+2c=0 .

令 β=a+ib （ βne 0 ）， β^*z+βz^*+2c=0 . ■

例 4：证明三角形的内角和等于 π .

设复平面上三个点 z_1,z_2,z_3 ，连接各点得到三角形，三条边分别为 z_2-z_1,z_3-z_1,z_3-z_2 .

夹角 θ_1=argdfrac{z_2-z_1}{z_3-z_1}, θ_2=argdfrac{z_3-z_2}{z_1-z_2}, θ_3=argdfrac{z_1-z_3}{z_2-z_3} .

由 dfrac{z_2-z_1}{z_3-z_1}cdotdfrac{z_3-z_2}{z_1-z_2}cdotdfrac{z_1-z_3}{z_2-z_3}=-1 得

θ_1+θ_2+θ_3=argdfrac{z_2-z_1}{z_3-z_1}+argdfrac{z_3-z_2}{z_1-z_2}+argdfrac{z_1-z_3}{z_2-z_3}

=arg(-1)+2kπ=π+2kπ .

又 0<θ_1<π, 0<θ_2<π, 0<θ_3<π Longrightarrow 0<θ_1+θ_2+θ_3<3π

∴k=0,quad θ_1+θ_2+θ_3=π ■