引言

这是橘子老君早年参照徐志摩先生的《偶然》所仿写的作品，首先回顾一些基本概念:

不能置于同一平面的两条直线叫做异面直线;

• 和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线;
• 公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段;
• 两条异面直线公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离.

那么问题来了：

• 任意两条异面直线的公垂线存在吗？唯一吗？
• 在两条异面直线上各任取一点，则两点的最短距离是不是公垂线段的长度？
• 给定两条异面直线的方向向量和直线上一点，如何计算两条异面直线的距离？

公垂线的构造（存在性证明）

如图 a 、 b 为异面直线，过 a 作平面 alphaparallel b [[1]],

[[1]]: 作 b 的平行线, 使其与 a 相交，则两条相交直线所确定的平面即为 alpha

过 b 作面 beta bot alpha [[2]]，记 beta cap alpha = b' ， a cap b' =A [[3]],

[[2]]: 取 b 上两点，作这两点在 alpha 上的投影，两投影点确定一条直线，该直线与 b 平行，两平行直线所确定平面即为 beta .

[[3]]: 若 a parallel b' ，由 b parallel b' ，则有 a parallel b ，与 a 、 b 异面矛盾. 故 a 与 b' 相交.

过 A在 beta 上作 b' 的垂线 c ，交 b 于点 B , 所作直线 c 即为 a 、 b 的公垂线， AB 为 a 、 b 的公垂线段.

证明:由 线面平行的性质定理 [[4]]，[[4]]: 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.

由 面面垂直的性质定理 [[5]]，

[[5]]: 如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

由 线面垂直的性质定理 [[6]]，

[[6]]: 如果一条直线与一平面垂直，则这条直线与平面上的任一条直线都垂直.

又

故 c 是 a 、 b 的公垂线， A 、 B 是 c 分别与 a 、 b 的交点，故 AB 是 a 、 b 的公垂线段.

公垂线的唯一性证明

假设异面直线 a 、 b 存在两条公垂线 c 、 c' ，过直线 a 上一点作直线 b 的平行线 b' ，相交直线 a 和 b' 确定一个平面， c 、 c' 同垂直于这一平面 [[7]]，故 c 和 c' 平行，得 c 和 c' 确定一平面，那么分别在 a ， b 上的四个垂足共面，得 a 、 b 共面，与 a 、 b 异面矛盾.

[[7]]: 若一条直线与一平面内两条相交的直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.

公垂线的最小性证明

如图分别任取直线 a 、 b 上一点 A' 、 B' . 同公垂线的存在性证明中的方法构造平面 alpha 、 beta ，并得到它们交线的 b' .

过 B' 作 b' 的垂线，垂足为 C' ，连结 A'C' .

由 面面垂直的性质定理 得, B'C' bot alpha ,

由 线面垂直的性质定理 得, B'C' bot A'C' ，

当 A' 、 B' 不同时与 A 、 B 重合，在 Rttriangle A'C'B' 中，始终有 A'B' < B'C' ,

而由 B'C' parallel AB , b parallel b' ，可得 B'C' = AB .

故当 A' 、 B' 不同时与 A 、 B 重合，始终有 A'B' < AB .

即公垂线段 AB 是异面直线上任意两点的最小距离.

异面直线距离的计算

不妨设两条异面直线 l_1 、 l_2 的方向向量为 vec{d_1} 、 vec{d_2} ，且分别经过点 A_1 、 A_2 .

方法一：参数方程法则记 overrightarrow{OA_1}=vec{a_1} ， overrightarrow{OA_2}=vec{a_2} . 设 P_1 、 P_2 分别为直线 l_1 、 l_2 上的点.

则有 overrightarrow{OP_1}=overrightarrow{OA_1}+overrightarrow{A_1P1} ，由 overrightarrow{A_1P1} 与 vec{d_1} 共线, 得

同理可得

两边平方，得关于 t_1 , t_2 的函数, 再求最小值.

在这里代入具体数值，将函数分别看作是 t_1 、 t_2 的一元二次函数，使同时取到最小值，联立方程组可解出 t_1 、 t_2 .

当然也可以用 P_1P_2 与 vec{d_1} 、 vec{d_2} 都垂直，联立方程组解出 t_1 、 t_2 ：

方法二 法向量投影法类比计算点到直线距离、点到平面距离的方法，我们都是在直线（平面）上任取一点 Q ，然后计算 overrightarrow{PQ}在直线（平面）法向量 vec{n} 上的投影.

如图 A' 、 B' 是异面直线 a 、 b 上的点, 过直线 a 上一点作直线 b 的平行线 b' , 相交直线 a 和 b'

确定一个平面 alpha , 过 B' 作 alpha 的垂线, 垂足为 C' .

前面在最小性证明中我们已经推得 B'C' 等于公垂线段的长度，即 B' 到 alpha 的距离就是异面直线 a 、 b 的距离. 故可以使用公式：

其中 vec{n} 是垂直于 a 、 b 方向向量的非零向量，即满足

显然满足条件的 vec{n} 有无穷多个，实际上 vec{d_1} 与 vec{d_2} 的向量积 [[8]]

就是一个满足条件的 vec{n} .

[[8]]: 向量积，叉积，外积，详见维基百科

这里介绍一种行列式求解线性方程组的方法，不妨设 vec{n}=(u,v,w) ， vec{d_1}=(a_1,b_1,c_1) ， vec{d_2}=(a_2,b_2,c_2) ,则有

为了使线性方程组有非零唯一解我们补充一个方程，

则由克莱姆法则 [[9]]，得

[[9]]: 用行列式求解线性方程组的方法，详见维基百科

得满足条件的一个的 vec{n}=(u',v',w') ，其中

结语

异面直线的距离这个内容在课本上可能只有区区概念一行，但是为什么把公垂线段的长度作为异面直线距离的定义？公垂线一定存在吗？如何作出公垂线？公垂线唯一吗？如何计算异面直线的距离？这些疑问相信会对不少中学教师和高中生造成一些困扰，所以写了这样一篇长文与大家分享.

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