积分的题确实有难度，不同的处理手段和一些常见的公式，处理上非常值得回味。

首先看一到小题，初看考的不就是定积分的对称区间和奇偶性。但是却有用到一些关键公式。

arctanx+arctanfrac1x=fracpi2

arcsinx+arccosx=frac{pi}{2}

ps：（我们都知道万能公式，那我再敲一遍）

sintheta=frac{2t}{1+t^{2}} costheta=frac{1-t^2}{1+t^{2}}

,没有这个的话，这个题没法做

（ps：其他几个也很重要）

此题解析

下面总结一下定积分的计算求法（由于自用，这里参考几位数学优秀up主的笔记帮助理解）

up：顺哥考研数学课堂

忘了说sinx一拱的面积是2，一拱就是 0simfracpi 2 的面积

来谈一下我自己的感受。下面也是我目前假期自学所能想到的。

• 定积分首先按照教材学习的是定义，但是实际利用定义确很麻烦。于是我们有了伟大划时代的牛顿莱布尼茨公式。这个确实是解决定积分的利器！

高中教材简单学过

但是要求原函数F(x) ,就用到之前的不定积分做基础，这么看来不定积分尤为重要！

不定积分的题可以说是真的狗

我单纯地认为我掌握了四大积分法就OK，但事实不是这样。。。

四大不定积分积分法

1. 第一类换元-凑微分
2. 第二类换元，一般是三角函数
3. 有理函数-（这里要看是真分式or假分式）
4. 分部积分-（ e^x 等“反对幂指三”）

首先看一下三角函数这类积分处理。

有几个公式比如万能公式，就很常用，还有六个三角函数的关系

tan^2x+1=sec^2x

cot^2x+1=csc^2x

还有几个secx,secx的不定积分要当结论记！

下面是一道对称处理的题目

这其实是一种对称的解法

建议反复观看

插入一张我自己写的思维导图

准确来说积分的题会和级数相连，但是我还没学到那（尴尬）

例：2019考研数学一、三题

小声BB：留个坑，以后学了再补。附2019考研题讲解

up讲得很好，和我下面讲的大同小异，因为普通人做这题应该不会直接想到级数。。。

5月5日补坑

学了级数，前来补坑，这题其实很容易做错，尤其刚看就以为是普通的定积分题目，但这题就是狗 ，它不说是啥，但却告诉你考的是面积，是绝对值，sinx有正有负，因此该法行不同。

打字之前，当我注意到上面的那个关系时独立做题发现没有那么难，而且就容易多了（是不是说明我已经达到了考研水平 ）-蜜汁自信

下面正片开始：

已经注意到该曲线的面积随区间变化，有一定规律，那就大致写一下： int_{2kpi}^{(2k+1)pi}e^{-x}sinxdx[奇数区间]

int_{(2k+1)pi}^{(2k+2)pi}e^{-x}|sinx|dx[偶数区间]

然后分别分部积分，计算后加和会惊人地发现是等比级数因此答案可得 frac{e^{pi}+1}{2(e^{pi}-1)}

其实关于定积分应用比较广，除了常用的解决某类题，还可以利用其解决几何和物理问题。

刚开始自行学习，以为是背公式，但是发现背公式难度巨大，因此来浅谈。

按照教材，我们研究了元素法（其实就是微元法）

简单说就是以直代曲，研究面积。

就是三步，选一个在范围内的区间，然后由于取的是微分，那代表这个区间很小，那图像的曲线不就可以用直线来表示吗？重要的就是思考微元法近似计算

反常积分其实又分为两种看是无穷的，还是有瑕点的。

看到一个有意思的题（等下，这个我会唉）

这道题考察的就是导数，是积分函数的导数

@Karcen ZHENG 感谢学长的解答

这里再插入一个小不定积分

int frac{dt}{1+e^t}=?

ps:(这里我好想是先想到的分部，但是显然不可行）

##正确解法：分子分母同乘e的t次方。然后凑即可（既快又准）

插入几个小问题

3月17日更——————————————————————————–

关于是不是所有的函数都能找到原函数，这显然我们理解了，但是对于具体如何计算那些如何求导后是非初等函数，我们要了解不是所有的那种非初等函数我们都能求，（毕竟是目前学习的范围有限）

但是有一个我们应该记住的： int_{0}^{+infty}e^{-x^2}dx=frac{sqrt{pi}}{2} （具体应用建议参考概率论）

这个具体怎么算，下面是二重极限的推导(能水点儿是点儿)

引流：

##5 ️5日更———

今天刚刚在高数答疑群看到这样一个定积分，突然想起来之前的总结落下了一个很重要的方法：区间再现公式 int _{a}^{b}fleft( xright) dx=int _{a}^{b}fleft( a+b-xright) dx

(非常重要)重要程度类似于点火公式的常用度。

由于没拿电脑，就用iPad写写总结一下…

题目：

int _{-dfrac{pi }{2}}^{dfrac{pi }{2}}dfrac{3e^{x}sin ^{2}x}{1+e^{x}}dx=？ （乍一看有点懵，但是方法在于换元）

其实这个有点类似之前那个对称构造sin cos那个