目錄：

一.對點法式的理解

二.對平面方程一般式的理解

1.D的幾何意義

2.Ax+By+Cz的幾何意義

三.對點面距方程的證明

1.空間平面方程一般式的推廣

2.對點面距方程的證明

預備知識：

空間平面一般式：Ax+By+Cz+D=0

空間平面點法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

向量點積的代數表示：a·b=a1b1+a2b2+a3b3

向量點積的幾何表示：a·b=|a||b|cosθ

點面距方程：d=|Ax0+By0+Cz0+D|/(A^2+B^2+C^2)^0.5

一.對點法式的理解

由向量{A,B,C}與向量{(x-x0),(y-y0),(z-z0)}的垂直關系可得：

{A,B,C}·{(X-X0),(y-y0),(z-z0)}=A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

即為平面方程的點法式.

二.對平面方程一般式的理解

1.D的幾何意義

將平面方程的一般式與點法式進行比較可得

Ax+By+Cz-D=Ax-Ax0+By-By0+Cz-Cz0

D=(Ax0+By0+Cz0)

現探究其幾何意義,

可將(Ax0+By0+Cz0)視作向量{A,B,C}與{(x0-0),(y0-0),(z0-0)}的乘積

即 (Ax0+By0+Cz0)={A,B,C}·{(x-x0),(y-y0),(z-z0)}

其中{(x0-0),(y0-0),(z0-0)}即為一由原點指向平面內一點(x0,y0,z0)的向量.

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由向量點積的幾何表達可得

{A,B,C}·{x0,y0,z0}=|{A,B,C}||{x0,t0,z0}|cosθ＝|{A,B,C}||{x0,y0,z0}'|

其中|{x0,y0,z0,}'|為{x0,y0,z0}在平面法向量{A,B,C}上的投影.

綜上所述，即可得到結論：D的幾何意義為平面法向量{A,B,C}的模與原點(0,0,0)到平面的距離（即{x0,y0,z0}在{A,B,C}上的投影)之積.

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2.Ax+By+Cz的幾何意義

同理可將Ax+By+Cz看作兩向量點積的結果

即 {A,B,C}·{x-0,y-0,z-0}=AX+By+Cz

其中(x,y,z)為平面內任意一點，{x-0,y-0,z-0}即為由原點指向(x,y,z)的一個向量.

因此Ax+By+Cz可以理解為原點到平面的距離與平面法向量{A,B,C}的模之積.

3.方程Ax+By+Cz=D的幾何意義

綜上所述，由Ax+By+Cz=D所描述的平面為一與(法)向量{A,B,C}垂直，且到原點距離為|D|/|{A,B,C}|的平面

對方程而言，將方程兩邊同時展開

Ax+By+Cz=D

{A,B,C}·{x,y,z}={A,B,C}·{x0,y0,z0}

|{A,B,C}||{x,y,z'}|=|{A,B,C}||{x0,y0,z0}'|

|{x,y,z}'|=|{x0,y0,z0}'|

由此可知其意義為由原點指向平面內任一點的向量在平面法向量{A,B,C}方向上的投影均相等.

三.對點面距方程的證明

1.空間平面方程一般式的推廣

考慮D‘為平面外任一點(x',y',z')到平面距離與法向量{A,B,C}之積，而不僅僅為原點.

則假設該平面的一般式方程為

Ax+By+Cz=D'

Ax+By+Cz=|{A,B,C}||{(x0-x'),(y0-y'),(z0-z')'}|

Ax+By+Cz={A,B,C}·{(x0-x'),(y0-y'),(z0-z')}

Ax+By+Cz=Ax0+By0+Cz0-(Ax'+By'+Cz')

移項得

A(x-x0)+B(y-y0)+C(Z-Z0)+(Ax'+By'+Cz')=0

分析上式易發現，A(x-x0)+B(y-y0)+C(Z-Z0)為空間平面方程的點法式，

不妨將其換成一般式,

Ax+By+Cz+D+(Ax'+By'+Cz')=0

觀察此式可以發現欲使其成立，則應使D'=D+(Ax'+By'+Cz').

其中D為一與(法)向量{A,B,C}垂直，且到原點距離為|D|/|{A,B,C}|的平面的一般式方程中的D項，由上文可知其表示的含義為平面法向量{A,B,C}的模與原點(0,0,0)到平面的距離之積.

而其中(Ax'+By'+Cz')使D修正為D'，其幾何意義為平面法向量{A,B,C}的模與任一點(x',y',z')到平面的距離之積.

空間平面的一般式可推廣為Ax+By+Cz+D'=0

由該式所描述的平面為一與(法)向量{A,B,C}垂直，且到任一點(x',y',z')距離為|D'|/|{A,B,C}|的平面

特別的，當(x',y',z')=(0,0,0)時，D'=D.

2.對點面距方程的證明

由上文不難聯想，任一點到平面的距離d與D‘的關系為

d=D'/|{A,B,C}|

d=丨D+Ax'+By'+Cz'丨/(A^2+B^2+C^2)^0.5

其中(x',y',z')為給出的點.

證畢.

2022年12月13日筆記。

對於點面距方程，可以直接由上文二.1得到的結論理解：

對於已知點（x',y',z'），現構造一個平面Ax+By+Cz+D'＝0經過改點且平行於已知平面。

接下來觀察點面距方程，方程的上半部分丨D+Ax'+By'+Cz'丨的值應為丨D-D'丨。而由上文結論可知丨D-D'丨的幾何意義恰為點面距d與平面法向量{A,B,C}的模之積。

而上文三.1的內容也是由此而做出的。

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