「平面几何」是初中数学学习的大板块之一。在高中数学，也会涉及一些平面几何知识的应用。但是平面几何在高中已经不再考初中那一套的证明、推理。更注重的是求几何量。

平面几何知识在高中的课后习题中或有出没，但是请各位同学注意，高考一定会考课本上的东西。值得注意的是，平面几何知识会在概率、向量、圆锥曲线、解三角形里出现。

我在这里已经阅遍课本，把课本上的平面几何知识再总结梳理一遍。

一、中线长定理(出处：人教必修五，p20，A组13题)

假设三角形三边长分别为 a 、b、 c ，长为 c 之边的中线长为 l ，那么有

a^{2}+b^{2}=frac{1}{2}c^{2}+2l^{2}

二、射影定理

在 Delta ABC 中， AB⊥AC，AD⊥BC

那么有以下结论：

① AB^2=BC^2-BD^2

② AD^2=BD·CD

三、stewart定理(爪线定理)

这个定理偏冷门，但是可以求出任意三角形的爪线。在向量、圆锥曲线问题上很有用处。

在 Delta ABC 中， D 是 BC 边上任意一点， BC 的对顶点 A 与 D 连线叫做 BC 上的爪线。特别的，当 BD=CD 时， 爪线AD 是 BC 边上的中线。

对于任意爪线 AD ，其长为 l ，有

ad^2+b^2c=(l^2+cd)(c+d)

四、角平分线长公式

在 Delta ABC 中， AD 是 BC 边上的角平分线。那么 AD 长为

AD^2=AB·AC-BD·CD

在一些解三角形中遇到角平分线问题可以使用

五、三角形三边、内切圆半径和面积之关系(人教必修五，p20，B组第2题)

设假设三角形三边长分别为 a 、b、 c ，面积为 S ，长为是r 内切圆半径 那么有以下关系

p=frac{1}{2}(a+b+c)

S=r·p

六、分角定理

如图在 Delta ABC 中， D 是 BC 边上任意一点, AD 分 angle BAC 为 θ_{1}、θ_{2} ，那么

frac{sintheta_{1}}{sintheta_{2}}=frac{AD}{BD}·frac{AC}{AB}

七、海伦公式

海伦公式可以在已知三边下求出面积，进而也可以求出内切圆半径、任一边高线等数据

设假设三角形三边长分别为 a 、b、 c ，面积为 S，

那么

p=frac{1}{2}(a+b+c)

S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

八、梯形蝴蝶定理

如图，一个梯形对角线连接，将梯形分成四份，四份面积分别 S_{1}、S_{2}、S_{3}、S_{4} ，其中梯形上下底长分别为 a、b ，那么一定有

S_{1}：S_{2}：S_{3}：S_{4}=a^2:b^2:ab:ab

特别的，当 a=b 可得出：平行四边形被对角线平分成四份后，四份面积相等。

九、梯形比分线长

如图，在该梯形中 a∥b∥c ，已知 a、b ,且有 AB=lambda BC ，那么 c 长为

c=(frac{1}{lambda+1})a+(frac{lambda}{lambda+1})b

这一知识在圆锥曲线中抛物线的“梯形”证明题会用到。

特别的，当 lambda=1 时，就得到了梯形中位线定理。

十、合角定理

如图在 Delta ABC 中， D 是 BC 边上任意一点, AD 分 angle BAC 为 θ_{1}、θ_{2} ，那么

frac{sinθ_{1}}{AC}+frac{sinθ_{2}}{AB}=frac{sin(θ_{1}+θ_{2})}{AD}

十一、角平分线定理

在 Delta ABC 中， AD 是 BC 边上的角平分线。那么比例关系满足： frac{AB}{BD}=frac{AC}{CD}=frac{S_{Delta ABD}}{S_{Delta ACD}}

高中平面几何知识第一部分，到此结束。

日后会分享一些例题。