「平面几何」是初中数学学习的大板块之一。在高中数学,也会涉及一些平面几何知识的应用。但是平面几何在高中已经不再考初中那一套的证明、推理。更注重的是求几何量。
平面几何知识在高中的课后习题中或有出没,但是请各位同学注意,高考一定会考课本上的东西。值得注意的是,平面几何知识会在概率、向量、圆锥曲线、解三角形里出现。
我在这里已经阅遍课本,把课本上的平面几何知识再总结梳理一遍。
一、中线长定理(出处:人教必修五,p20,A组13题)
假设三角形三边长分别为 a 、b、 c ,长为 c 之边的中线长为 l ,那么有
a^{2}+b^{2}=frac{1}{2}c^{2}+2l^{2}
二、射影定理
在 Delta ABC 中, AB⊥AC,AD⊥BC
那么有以下结论:
① AB^2=BC^2-BD^2
② AD^2=BD·CD
三、stewart定理(爪线定理)
这个定理偏冷门,但是可以求出任意三角形的爪线。在向量、圆锥曲线问题上很有用处。
在 Delta ABC 中, D 是 BC 边上任意一点, BC 的对顶点 A 与 D 连线叫做 BC 上的爪线。特别的,当 BD=CD 时, 爪线AD 是 BC 边上的中线。
对于任意爪线 AD ,其长为 l ,有
ad^2+b^2c=(l^2+cd)(c+d)
四、角平分线长公式
在 Delta ABC 中, AD 是 BC 边上的角平分线。那么 AD 长为
AD^2=AB·AC-BD·CD
在一些解三角形中遇到角平分线问题可以使用
五、三角形三边、内切圆半径和面积之关系(人教必修五,p20,B组第2题)
设假设三角形三边长分别为 a 、b、 c ,面积为 S ,长为是r 内切圆半径 那么有以下关系
p=frac{1}{2}(a+b+c)
S=r·p
六、分角定理
如图在 Delta ABC 中, D 是 BC 边上任意一点, AD 分 angle BAC 为 θ_{1}、θ_{2} ,那么
frac{sintheta_{1}}{sintheta_{2}}=frac{AD}{BD}·frac{AC}{AB}
七、海伦公式
海伦公式可以在已知三边下求出面积,进而也可以求出内切圆半径、任一边高线等数据
设假设三角形三边长分别为 a 、b、 c ,面积为 S,
那么
p=frac{1}{2}(a+b+c)
S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
八、梯形蝴蝶定理
如图,一个梯形对角线连接,将梯形分成四份,四份面积分别 S_{1}、S_{2}、S_{3}、S_{4} ,其中梯形上下底长分别为 a、b ,那么一定有
S_{1}:S_{2}:S_{3}:S_{4}=a^2:b^2:ab:ab
特别的,当 a=b 可得出:平行四边形被对角线平分成四份后,四份面积相等。
九、梯形比分线长
如图,在该梯形中 a∥b∥c ,已知 a、b ,且有 AB=lambda BC ,那么 c 长为
c=(frac{1}{lambda+1})a+(frac{lambda}{lambda+1})b
这一知识在圆锥曲线中抛物线的“梯形”证明题会用到。
特别的,当 lambda=1 时,就得到了梯形中位线定理。
十、合角定理
如图在 Delta ABC 中, D 是 BC 边上任意一点, AD 分 angle BAC 为 θ_{1}、θ_{2} ,那么
frac{sinθ_{1}}{AC}+frac{sinθ_{2}}{AB}=frac{sin(θ_{1}+θ_{2})}{AD}
十一、角平分线定理
在 Delta ABC 中, AD 是 BC 边上的角平分线。那么比例关系满足: frac{AB}{BD}=frac{AC}{CD}=frac{S_{Delta ABD}}{S_{Delta ACD}}
高中平面几何知识第一部分,到此结束。
日后会分享一些例题。
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