在歷史上拍松分佈是作為二項分佈的近似，於1837 年由法國數學傢泊松(Poisson S. D. 1781 ~ 1840)首次提出，以後發現，很多取非負整數的離散隨機變量都服從泊松分佈，這裡仍按歷史發展次序來介紹泊松公佈。

由二項分佈演變成泊松分佈

在二項分佈b(n, p)中，若相對地說，n 大， p小，而乘積λ= np大小適中時，二項分佈中諸概率有一個很好的近似公式。這就是著名的泊松定理。

泊松分佈的公式關鍵推導

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其中，應用瞭e的極限定義

由於泊松定理是在n*pn→λ (n→∞)條件下獲得的，故在使用中要求n 大，pn小，而n*pn適中，此時有如下近似公式

泊松分佈的概率之和為1及期望和方差均為λ

這樣一來，泊松概率的全體組成的一個概率分佈，稱為泊松分佈，記為P( λ) ，若隨機變量X 服從泊松分佈，即X~ P( λ)，這意味著， X 僅取0 ， 1 ， 2 ，…等一切非負整數，且取這些值的概率為

參數λ是分佈的均值。

泰勒公式及e^x的無窮級數展開

說明為什麼泊松公式中含有e，e是一個非常非常重要的數。

補充說明泊松分佈概率之和為1中無窮級數之和為e^x的說明

e^x在x=0展開得

f(x) = e^x = f(0) + f′(0)*x + f″(0)*x²/2! + ... + fⁿ(0)*x^n/n! + Rn(x)

= 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... + x^n/n! + Rn(x)，

其中f(0) =f′(0) = fⁿ(0) = e^0 = 1。

泊松分佈應用

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泊松概率公式中唯一參數λ為加權平均值，先算出總錯誤次數為320，然後除以天數100，得到3.2。

從下圖可以可以形象得看出，觀測頻率與泊松分佈的概率圖，幾乎一樣，所以一天內接錯次數為X次的概率分佈，服從泊松分佈。

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可靠性工程中泊松分佈應用

由於二項分佈在實際計算中較為繁瑣，因此希望能找到一個便於計算的近似公式。泊松分佈被認為是當n為無限大時的二項分佈的擴展，從上面的泊松公式概率公式的推導中可以看出，泊松公式是二項分佈概率公式中n趨近於無窮大時的極限。事實上，在工程應用中，當n＞20，並且p≤0.05（發生概率5%，稀有事件）時，就可以用泊松分佈近似表示二項分佈。

泊松分佈的表達式為：

在與時間相關的可靠性度量函數中，需要計算成功的概率或可靠度時，常常把n換成時間t，p可以換成單位時間內的失效率Pλ，那麼參數λ = t*Pλ。

例：控制臺指示燈平均失效率為每小時0.001次。如果指示燈的失效數不能超過2個，該控制臺指示燈工作500小時的可靠度是多少？

因此，該控制臺指示燈工作500小時的可靠度是0.986。