一、三角函數的定義

三角函數是基本初等函數之一，是以角度（數學上最常用弧度制，下同）為自變量，角度對應任意角終邊與單位圓交點坐標或其比值為因變量的函數。也可以等價地用與單位圓有關的各種線段的長度來定義。

註：有興趣的同學可以認真仔細看，不懂可以問小編，三角函數是高中數學的重點內容，也是高考必考點。

（一）、三角函數的圖像和性質

y=sinxgdsgs

函數：y=sinx；

定義域：R；

值域：［-1，1］x=2kπ+π/2 時ymax=1，x=2kπ-π/2 時ymin=-1；

周期性：2π；

奇偶性：奇函數；

單調性：

在［2kπ-π/2,2kπ+π/2 ］上都是增函數；

在［2kπ+π/2 ,2kπ+2π/3］上都是減函數(k∈Z)；

y=cosx

函數：y=cosx；

定義域：R；

值域：［-1，1］x=2kπ時ymax=1，x=2kπ+π時ymin=-1；

周期性：2π；

奇偶性：偶函數；

單調性：

在［2kπ-π,2kπ ］上都是增函數；

在［2kπ ,2kπ+π］上都是減函數(k∈Z)；

y=tanx

函數：y=tanx；

定義域：｛x｜x∈R且x≠kπ+π/2,k∈Z｝；

值域：無最大值、無最小值；

周期性：π；

奇偶性：奇函數；

單調性：在［kπ-π/2,kπ+π/2 ］上都是增函數(k∈Z)；

y=cotx

函數：y=cotx；

定義域：｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝；

值域：無最大值、無最小值；

周期性：π；

奇偶性：奇函數；

單調性：在［kπ,kπ+π ］上都是減函數(k∈Z)；

二、三角形各元素之間的關系

（一）、銳角三角函數

直角三角形

在直角三角形中，當平面上的三點A、B、C的連線，AB、AC、BC，構成一個直角三角形，其中∠ACB為直角。對∠BAC而言，對邊（opposite）a=BC、斜邊（hypotenuse）c=AB、鄰邊（adjacent）b=AC，則存在以下關系：

如圖，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。

（1）三邊之間的關系：a^2＋b^2＝c^2。（勾股定理）

（2）銳角之間的關系：∠A＋∠B＝90°；

（3）邊角之間的關系：（銳角三角函數定義）

銳角三角函數關系

（二）、任意角三角函數

任意角

任意角三角函數關系

三、三角函數公式

（一）、同角三角函數的基本關系式

如右圖，六邊形的六個角分別代表六種三角函數，存在如下關系：

三角函數速記方法

1）倒數關系——對角相乘乘積為1。

sinθ·cscθ=1；

cosθ·secθ=1；

tanθ·cotθ=1；

2）商數關系——六邊形任意相鄰的三個頂點代表的三角函數，處於中間位置的函數值等於與它相鄰兩個函數值的乘積。

sinθ=cosθ·tanθ；

tanθ=sinθ·secθ；

3）平方關系——陰影部分的三角形，處於上方兩個頂點的平方之和等於下頂點的平方值。

sinθ^2+cosθ^2=1^2;

tanθ^2+1^2=secθ^2;

1^2+cotθ^2=cscθ^2；

（二）、誘導公式

口訣：奇變偶不變，符號看象限

公式一：設α 為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等：

sin(2k pi +a)=sina,k in Z

cos(2k pi +a)=cosa,k in Z

tan(k pi +a)=tana,k in Z

cot(k pi +a)=cota,k in Z

公式二：設 α 為任意角， π+ α與 α的三角函數值之間的關系：

sin(pi +a)=-sina

cos(pi +a)=-cosa

tan(pi +a)=tana

cot(pi +a)=cota

公式三：任意角 -α與α 的三角函數值之間的關系：

sin(-a)=-sina

cos(-a)=cosa

tan(-a)=-tana

cot(-a)=-cota

公式四： π-α與α 的三角函數值之間的關系：

sin( pi -a)=sina

cos( pi -a)=-cosa

tan( pi -a)=-tana

cot( pi -a)=-cota

公式五：2π-α與 α 的三角函數值之間的關系：

sin(2 pi -a)=-sina

cos(2 pi -a)=cosa

tan(2 pi -a)=-tana

cot(2 pi -a)=-cota

公式六： π/2+/-α及3π/2+/-α 與 的三角函數值之間的關系：

sin( frac{pi}{2} +a)=cosa

cos( frac{pi}{2} +a)=-sina

tan( frac{pi}{2} +a)=-cota

cot( frac{pi}{2} +a)=-tana

sin( frac{pi}{2} -a)=cosa

cos( frac{pi}{2} -a)=sina

tan( frac{pi}{2} -a)=cota

cot( frac{pi}{2} -a)=tana

sin( frac{3pi}{2} +a)=-cosa

cos( frac{3pi}{2} +a)=sina

tan( frac{3pi}{2} +a)=-cota

cot( frac{3pi}{2} +a)=-tana

sin( frac{3pi}{2} -a)=-cosa

cos( frac{3pi}{2} -a)=-sin alpha

tan( frac{3pi}{2} -a)=cot alpha

cot( frac{3pi}{2} -a)=tan alpha

誘導公式

(1)的三角函數值，等於α的同名函數值，前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號。（口訣：函數名不變，符號看象限）

y

(2)的三角函數值，等於α的異名函數值，前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號。（口訣：函數名改變，符號看象限）

e069ad585451e66a5c326ab3f55d802b

（三）、和角公式和差角公式

口訣：正餘同餘正，餘餘反正正

和差角公式

其中當A+B+C=π時,有:

(1) 兩角差的餘弦

由餘弦公式可得：

(2) 兩角和的餘弦

(3) 兩角和的正弦

(4) 兩角和的正弦

(5) 兩角和的正切

(6) 兩角差的正切

（四）、二倍角公式（含萬能公式）

a95f374539467149fbaa42ab7ea717ca

（五）、三倍角公式

三倍角公式

（六）、半角公式（符號的選擇由θ/2所在的象限確定）

半角公式

（七）、積化和差公式

積化和差公式

（八）、和差化積公式

口訣：正加正，正在前。正減正，餘在前。餘加餘，餘並肩。餘減餘，餘不見，負號很討厭。

和差化積公式

證明：

（九）、輔助角公式

9a891ab009bce183456d530470643c10

其中：角θ的終邊所在的象限與點所在的象限相同，

（十）、正弦定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。

斜邊三角形

在△ABC中，A、B、C為其內角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。

正弦定理

（十一）、餘弦定理

餘弦定理：三角形任何一邊的平方等於其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的餘弦的積的兩倍。

餘弦定理

（十二）、海倫公式

海倫公式

（十三）、三角形的面積公式

面積公式

（十五）、其它公式

（十六）、特殊角三角函數值