大家好，我是pianofanie，本期有我弹奏的巴赫《平均律钢琴曲集第一首前奏曲》，顶图为巴赫曾经使用过的管风琴，由我拍摄于莱比锡巴赫博物馆。

上一课：【趣味乐理第二课（纯律） – 知乎专栏】

进入巴洛克时期，复调音乐大量发展，对乐曲的转调要求也越来越高，五度相生律和纯律由于不便于转调，所以作曲家开始尝试更优化的律法。

巴赫开始使用的一种新律法，用这种律法调制的钢琴叫做The Well-Tempered Clavier（德文Das Wohltemperirte Klavier），现在很多书翻译为“平均律”，其实直译过来应该叫做“好律”。

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因为这个律法通过把每一个音都调制得有一些“走音”而消除了各音之间差距，比如在上一课纯律中我们发现了“大全音”和“小全音”，“纯五度”和“狭五度”这样的区别。

巴赫的“好律”是一种巧妙的折中之道，虽然每一个音听起来都有“缺陷”，但是每个音的缺陷听起来都一样“坏”，因此在转调的过程中每个调听起来不会有太大变化。

西方音乐界逐渐从“好律”又发展到“十二平均律”，这是一种以2的根号12次方为等比的律法，将八度内的音平均分为十二份。

其实早在16世纪（1581年左右）我国明朝的朱载堉就计算出了十二平均律，称为新法密率，然并卵，没有中国的音乐家使用它。

十二平均律的计算方法很简单，以某音为基础，只需要不断乘以2的根号12次方即可得到下一个音的频率，如下表：

而且在十二平均律里黑键上的音不管是用升号还是降号表示，他们的频率是一样的（要注意到在五度相生律和纯律中都是不一样的）。

在十二平均律中，根据标准音定义为a1=440Hz（第一国际高度），计算c1（中央C）的频率，精确到小数点后两位：

这就是十二平均律推导出的中央C的频率。

十二平均律和其他律法的差异到底有多大呢？

注：最小比值是按照五度相生律和纯律的最小数字计算，其中三全音按照特殊最小值计算。

从这个表可以看出，差异是非常小的。从此开始，以十二音为基础的音乐开始普及，经历了巴洛克时期、古典时期、浪漫时期、印象时期、现代时期，古典音乐蓬勃发展，这些时代的作曲家给我们留下了宝贵的音乐财富，换句话说，没有十二平均律，就没有今天我们听到的这么多音乐。

十二平均律算得上是音乐与数学中的一个巧合，世界上还有很多其他的律法，比如我国汉代划分为60个部分、宋朝划分18部分、印度划分22部分、阿拉伯划分24部分等等，这些律法始终都只在小范围内传播，也是因为在数学上受到了限制。

我曾经在这个回答里讲过这样一个巧合：

数学中有哪些巧合让人眼前一亮？ – 知乎

最后解答一下大家常见的疑问：

1. 十二平均律里的“协和”与“不协和”是怎样区分的？

答：在十二平均律里，如果以听觉（频率比）来判断，除了八度以外都是不协和的，所以“纯五度”、“纯四度”听起来都不协和。但是通常我们在音程里说“协和”与“不协和”并不是来自于平均律，而是来自于纯律，并且已经形成一种固定的乐理，所以可以理解为音程上的“协和”与律法无关，只和音程本身有关。

2. 学习弹奏钢琴一定要学调律吗？

答：不需要。可以掌握一些基本的调律知识，有小问题时可以自己修整，但是调律这件事最好还是让专业的调律师来处理，演奏者只需要在一台调好的琴上演奏即可。

3. 既然弹钢琴不需要懂律法，那我学这些知识有何用？

答：技多不压身，律法的变化不仅反映了音乐史，而且和作曲家选择调性也有一定的关系，很多弹钢琴的朋友觉得升C就是降D，因为它们是一个黑键，于是在读谱或写谱的过程中就很随意，这就是不懂律法造成的，实际上为了更深入了学习作曲家的作品，一定要学习律法，这样能进一步明白作曲家的意图。

**********正式课程结束***********

【下期预告】律法的知识就告一段落了，后面的课程我将对其他的乐理知识做进一步的探索。

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