畢業多年，曾經有同事問我，

該如何理解特征值的意義？

當時，實在羞愧！

一學過數學的，真不知該如何回答。

極力回想，也隻能以"特征值的求法、步驟...bla...bla...”應付瞭事，

答非所問，簡直瞭得！

這樣的答案，教科書裡寫得清清楚楚，Google/百度一大堆……

人傢問的是意義，如何理解其意義？

直扣靈魂，

我真的曾經理解過它的意義嗎？？？

招瞭吧，真沒有！

原在數學系時，教室裡，對著黑板一堆密密麻麻的公式，我也是時常神遊天外的主......

考試前，為瞭避免掛科才熬夜突擊，對著書本一一比劃，至少要演算兩到三張稿紙，

才勉強能記住方法、步驟，哪還管得著它的意義？

這種突擊式訓練記憶，忘得也快，就像寫代碼一樣，過一陣就忘瞭！

課堂上，老師大多是照本宣科。

想當年，

也許是知識閱歷不夠，很難理解其意義；

也許是努力不夠，被足球耽誤瞭；

也許是天賦所限，不能頓悟！

...…

總之，可以確定，那時我肯定是沒有真正理解它的意義的。

不知道現在的學生有多少還是一樣？

在學習一些抽象的數學工具時，代換三、四步之後就不知所雲瞭，

往往隻能靠記憶強撐，而這種記憶最多維持一周，年輕時可能長點兒，

後來，說忘就忘瞭......

有極少數天才，能在抽象世界裡面一直轉，抽啊抽，一直抽......並最終以此為業。

而大多數人（99+%），一到畢業，就尷尬，因為真的不理解其意義，

看似學瞭些高深的數學知識，隻會做題，不會運用，根本不理解公式指代符號的現實映射！

進而職場上，若還有其它方面缺失訓練的短板，一旦顯現，囧是必然！

我想，這不單是數學教育的問題，也是其它各方面教育，可能尷尬的本源：

不理解其意義！！！

好，扯遠瞭，回到正題，來看靈魂之問：

如何理解特征值的意義？

最近才有些感悟，和大傢分享一下。

說到特征值lambda，數學上，基本是指矩陣的特征值。

說到矩陣，高等代數幾乎一整本書都在講它，最著名的數學軟件叫Matlab，直譯為矩陣實驗室。

足見其高深、復雜！

而這麼復雜混亂的東西確有一個特征值， 難道不奇怪？

再說，矩陣到底有多復雜混亂？先看數學公式體會一下：

這是一堆數，每個數字都可以在實數域內取值（正、負、零），m或n可以無限的延伸，聯想到現在的大數據，還有什麼東西不能由它表示？如果您相信萬物皆數，這兒都可以說萬物皆矩陣瞭，萬物，能不復雜嘛？

另外，這一堆數既可以表示數據記錄，還可以表示某種不知名的抽象運算（物理上叫算子），這樣的數學運算，對某些對象集，確僅僅以固有的方式伸縮，且不管它是數據記錄還是抽象運算，全都一樣！

如此混亂復雜！ 確有本征!

這不神奇嗎？

數學就是這樣，抽象、高級、有理！

若這樣說感覺虛、玄，那麼就來看一下它精確（枯燥）的數學定義：

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特征值lambda

設A是一n times n矩陣，xi是一n維非零列向量，若存在一數lambda，使得

Axi=lambdaxi \

則稱lambda為A的一個特征值，xi為A的屬於特征值lambda的一個特征向量。

展開 Axi=lambdaxi ， 即

left [ begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \ ... & ...& ...&... \ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \ end{array} right] left [ begin{array}{c} x_{1}\ x_{2}\ ...\ x_{n}\ end{array}right]=lambdaleft [ begin{array}{c} x_{1}\ x_{2}\ ...\ x_{n}\ end{array}right]=left [ begin{array}{c} lambda x_{1}\ lambda x_{2}\ ...\ lambda x_{n}\ end{array}right] \

若把矩陣的每一行理解為一個基向量varepsilon_{i}，則是表示基向量與該向量的內積（varepsilon_{i}bulletxi） 等於lambda x_{i}。

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真感覺公式很枯燥的同學，可暫先跳過上面。

下面，我將從三個方面來試圖闡釋其意義，以便大傢更好的理解。

• 幾何上
• 醫學上
• 物理上

（一）幾何上

如果把矩陣理解為一個坐標系（不一定直角的，也可能是嚴重變形的“尺子”），有一類向量叫特征向量，其中的任一個向量，在該坐標系（矩陣）上的投影，都隻是自身固定的伸縮！

如何理解投影呢？且拿三維來說吧，一根射線在另外一個坐標系（矩陣）下的影子，是其每一軸都會有投影分量，把所有分量組合還原成影子，會跟其自身共線，且影子和射線的長度比值永遠固定，這個比值就是特征值，簡如下圖。

Av 與 v共線時的比值（切換不同的基）

而該比值對這條直線上的所有向量都適應，即無論射線長短、方向。

那麼總共會有多少條這樣的直線呢？

n維矩陣最多有n條，每一條的比值（特征值）可能都不一樣，有大有小，都代表這一維度的自身特征，故這裡大、小意義就明顯瞭。

• 大可以理解為該維度上尺子的單位刻度大，比如9表示一個單位刻度。
• 小可以理解為該維度上尺子的單位刻度小，比如0.1表示一個單位刻度。

(二) 醫學上

如果把矩陣理解為中醫祖傳秘籍（亂不外傳的密碼），特征向量理解為秘方子（枸杞、百合、紅花、童子尿...)，特征值就是對該方子的用藥量，溫、熱、寒不同方子特征值不一樣， 這也說得通，如下圖！

進一步，把西藥制成品也類比為特征向量。比如新冠治療中的瑞得西韋， 特征值就是該神藥該服用多少？還有其它藥方子，如蓮花清瘟等，假設都能治療新冠肺炎，但用量肯定是不一樣的，即不同特征向量對應的特征值不一。

589ddda4f4f02aa33d41de0887d18e5f

如此看來，特征值可理解為醫學上藥物用量的一個刻度，也是中西醫互相密而不宣的溝通橋梁，正如下圖的lambda_{0}

e3d438ea1afdbe5323ca66b51653fc02

(三) 物理上

“遇事不決，量子力學” 戲謔的表明瞭量子力學的高深、難懂！

且看薛定諤方程的前半部分，就復雜得都讓人頭暈、眼花.....

f642a5afe40c08bf60eb254ac28912cf

物理學傢把這種神操作統稱為算子（因為給您解釋不清楚~），是不是有點巫師作法、道士占卜的感覺？

不同的是那幫巫師(物理學傢)，在圈內對不同公式符號都給出瞭互相認可的解釋！

例如：量子力學把世界看成是波動的，如果一個波函數經過一個量子變換後，它仍是同一個波函數乘一個常量(如上圖C)。

......

再看看矩陣，它不也就是一個算子嗎？而且還是線性的，如此簡單，so easy!

大巫師（物理學傢）牛！

跳出矩陣，這樣，特征值的意義又從線性上升到非線性統一瞭。

還是大巫師（物理學傢）牛~

總之，就是一段復雜的操作，統稱為算子（還不如叫神算子~），

特征值也叫算子的本征值，臺灣人習慣這樣稱呼，同一個意思，英文詞源其實來自德語(自身的)。

本來很好理解的概念，幾經"轉手"之後就晦澀難懂瞭......

遙想當年，若彼時能有這樣的理解，就完美瞭！

想記下這點感悟很久啦，

若有緣遇上，能給您帶來一點點共鳴，便是欣喜 。

最後，附上特征值的教科書式求法，以便大傢回憶。

附：特征值求法

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特征多項式

|lambda E-A|=left | begin{array}{c} lambda-a_{11} & -a_{12} &...&-a_{1n}\ -a_{21} & lambda-a_{22} &...&-a_{2n}\ ... & ... &...&...\ -a_{n1} & -a_{n2} &...&lambda-a_{nn}\ end{array}right |=0 \

它是數域P上的一個n次多項式，若是復數域，必有n個根。每一個根都是矩陣A的一個特征值

求特征值與特征向量方法步驟

• 求出特征多項式|lambda E-A|的全部根
• 把所求根代入方程組[lambda E -A]X=0中求出一組基礎解系，就得到屬於相應特征值的線性無關的特征向量

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