入读国际高中或就读美高的同学普遍三角函数(trigonometric function)学得不是很好，有些还停留在画三角形、按计算器才能计算sin、cos、tan的水平，很大原因是国外教材注重自我探究，通过一系列的循循善诱来给出结论，但国内是反过来的，先给出结论然后给出大量的例子来展现结论。一个很典型的例子就是诱导公式，很多国际高中考试是允许带公式表的，而关于诱导公式有很多，更夸张的是除了一份度制的还会有一份弧度制的，整整一大张，但其实就是“奇变偶不变，符号看象限”十字口诀。而积分对于高中生而言也是一块难点，换元法(by substitution)、分部积分法(by parts)等都是需要掌握。那么当三角函数遇到积分，就是恶梦的开始。本文基于A-Level further math对于三角函数积分的要求，结合IB、AP的内容，总结一下三角函数积分的常见方法与技巧。

基本知识：

（1）换元法

int f[varphi(x)] varphi^{prime}(x) d x=F[varphi(x)]+C

（2）分部积分法

int u(x) d v(x)=u(x)cdot v(x)-int v(x) d u(x)

（3）常见三角函数积分

int sin x mathrm{d} x=-cos x+c int cos x mathrm{d} x=sin x+c

（4）降幂公式

begin{array}{l}{cos ^{2} alpha=frac{1+cos 2 alpha}{2}} / {sin ^{2} alpha=frac{1-cos 2 alpha}{2}}end{array} (由二倍角公式推得 begin{aligned} cos (2 alpha) &=cos ^{2} alpha-sin ^{2} alpha / &=1-2 sin ^{2} alpha=2 cos ^{2} alpha-1 end{aligned} )

（5）积化和差公式

begin{array}{l}{sin alpha cos beta=frac{1}{2}[sin (alpha+beta)+sin (alpha-beta)]} / {cos alpha sin beta=frac{1}{2}[sin (alpha+beta)-sin (alpha-beta)]} / {cos alpha cos beta=frac{1}{2}[cos (alpha+beta)+cos (alpha-beta)]} / {sin alpha sin beta=-frac{1}{2}[cos (alpha+beta)-cos (alpha-beta)]}end{array}

（6）反三角函数求导

begin{array}{l}{frac{d(arcsin x)}{d x}=frac{1}{sqrt{1-x^{2}}}} / {frac{d(arccos x)}{d x}=frac{-1}{sqrt{1-x^{2}}}} / {frac{d(arctan x)}{d x}=frac{1}{1+x^{2}}}end{array}

（7）关于 sec x,tan x 的积分

int sec x tan x d x=sec x+c

int sec ^{2} u d u=tan u+c

一、换元法(By substitution)

对于一次的 mathrm{sin}kx 与 mathrm{cos}kx ，以及 x^n 都是可以计算的，

begin{array}{l}{int sin k x mathrm{d} x=-frac{1}{k} cos k x+c} / {int cos k x mathrm{d} x=frac{1}{k} sin k x+c}/int x^nmathrm{d}x=frac{1}{n+1}x^{n+1}+cend{array}

所以对于三角函数积分，如果能够通过换元能变成 int sin u(x) mathrm{d} u(x),int cos u(x) mathrm{d} u(x),int u(x)^nmathrm{d}u(x) 那么就是可以积分的。

Question 1: Find int 2 x cos left(x^{2}+1right) mathrm{d} x

注：换元法的标志 f[varphi(x)] varphi^{prime}(x) ，一般找 mathrm{sin}f(x),mathrm{cos}f(x),sqrt{f(x)},e^{f(x)}

Question 2: Find int cos x sin ^{2} x mathrm{d} x

稍微难一点还有利用恒等式 sin ^{2} x+cos ^{2} x equiv 1 进行转化后求解的。

Question 3: Find int cos ^{3} x d x

二、降幂

对于 mathrm{cos}^n x,mathrm{sin}^nx (ngeq2) ,可以想办法把它变成一次的，只要是一次的，我们都是能积分的。

Question 4: Find int cos ^{4} x d x

三、积化和差

注：在IB、AP中是不要求积化和差公式的，即使在国内高中也不强调，不过在A-Level further math是要求的。

对于 sin theta cos phi,cos theta sin phi,cos theta cos phi,sin theta sin phi 都可以转化为两个一次的正余弦相加，所以就能积分。

Question 5: Find int sin 3 x cos 2 x d x

四、分部积分法(By parts)

对于反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数和指数函数("反、对、幂、三、指")，如果是对其中任意两种函数乘积的积分，那么我们就可以考虑用分部积分法。

Question 6:Find int x cos x d x

五、构造方程求解

构造方程求解主要还是应用了分部积分法，持续用分部积分法直至与原被积函数相同，而从求解出原函数。

Question 7: Find int e^{x} cos x d x

六、利用反三角函数求积分

根据反三角函数求导公式可知，

int frac{1}{1+x^{2}} d x=arctan x+c

int frac{1}{sqrt{1-x^{2}}} d x=arcsin x+c

int -frac{1}{sqrt{1-x^{2}}} d x=arccos x+c

那么对于型如 frac{1}{a^{2}+x^{2}} ,frac{1}{sqrt{a^{2}-x^{2}}},-frac{1}{sqrt{a^{2}-x^{2}}} 的积分，我们都可以借助反三角函数积分。

Question 8: Find int frac{1}{sqrt{9-x^{2}}} mathrm{d} x

七、三角换元

有些被积函数中并没有出现三角函数，但是我们可以通过换元法把它转化成关于三角函数的积分(毕竟我们已经讲了这么多关于三角函数的积分了)：

sqrt{a^{2}-x^{2}} 可以令 x=a sin theta

x^{2}+a^{2} ,sqrt{x^{2}+a^{2}} 可以令 x=a tan theta

sqrt{x^{2}-a^{2}} 可以令 x=a sec theta

Question 9: Find int frac{sqrt{x^{2}-9}}{x} d x

八、转化（换元，万能公式）

有些三角函数积分不属于我们上述所讲的任何一种定式，那么就只能靠运气和努力了，多尝试说不定就积出来了。

Question 10: int frac{1}{1+sin theta} d theta

感谢 @米修米修 Question 10，我们也可以这么做

begin{array}{l}{int frac{1}{1+sin theta} d theta} / {=int frac{1}{sin^2frac{theta}{2}+cos^2frac{theta}{2}+2sinfrac{theta}{2}cosfrac{theta}{2}}mathrm{d}theta}/{=2int frac{sec^2frac{theta}{2}}{tan^2frac{theta}{2}+2tanfrac{theta}{2}+1}mathrm{d}frac{theta}{2}}/{=2int frac{1}{tan^2frac{theta}{2}+2tanfrac{theta}{2}+1}mathrm{d}tanfrac{theta}{2}}/{=-2(tanfrac{theta}{2}+1)^{-1}+c}end{array}

本文总结了常见的三角函数积分方法与技巧，比如换元法、分部积分法、三角换元等，不过还有一些关于 sec x,tan x 的积分没有写进去，因为其本质还是换元法。三角函数积分一个难点是公式很多，比如二倍角、和差化积等，所以在熟练公式的基础上才能更好的解决这一类问题。

如果有其他方法与技巧，欢迎交流讨论，希望点赞支持~

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