因式分解的定义

多项式的因式分解是代数恒等变形的基本形式之一。把一个多项式表示成几个整式乘积的形式。

常用方法

提取公因式法；运用公式法；可化为“ x^2+(a+b)x+ab ”型的二次三项式的分解法，分组分解法；二次三项式的”十字相乘法“。

拆项与添项

• 拆项：把多项式中的某项拆成两项或几项代数和的方法
• 添项：在多项式中添加上两个仅符号相反的项

例1 分组后使各组之间有公因式而进行拆项

1. x^3+9x^2+26x+24
2. a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2

解：

1. 解法：

解法1

原式

=(x^3+2x^2)+(7x^2+14x)+(12x+24)

=x^2(x+2)+7x(x+2)+12(x+2)

=(x+2)(x^2+7x+12)

=(x+2)(x+3)(x+4)

解法2

原式

=(x^3+5x^2+6x)+(4x^2+20x+24)

=x(x+2)(x+3)+4(x+2)(x+3)

=(x+2)(x+3)(x+4)

解法3

原式

=(x^3+8)+(9x^2+26x+16)

=(x+2)(x^2-2x+4)+(x+2)(9x+8)

=(x+2)(x^2+7x+12)

=(x+2)(x+3)(x+4)

2. 解法：

原式

=ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)

=ab(a-b)+bc[(b-a)+(a-c)]+ca(c-a)

=ab(a-b)-bc(a-b)+bc(a-c)-ca(a-c)

=b(a-b)(a-c)+c(a-c)(b-a)

=(a-b)(a-c)(b-c)

例2 拆项分组后利用公式

1. (m^2-1)(n^2-1)+4mn
2. x^3+y^3+z^3-3xyz
3. 2a^2b^2+2a^2c^2+ab^2c^2-a^4-b^4-c^4

解题思路：拆项或添项后再利用公式

1.解：

原式

=m^2n^2-m^2-n^2+1+4mn

=(m^2n^2+2mn+1)-(m^2-2mn+n^2)

=(mn+1)^2-(m-n)^2

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)

2.解：

原式

=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+z^3-3xy(x+y)-3xyz

=(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)

=(x+y+z)[(x+y)^2-(x+y)z+z^2]-xy(x+y+z)

=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

3.解：

原式

=4a^2b^2-(a^4+b^4+c^4-2a^2c^2-2b^2c^2+2a^2b^2)

=4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2

=(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)

=[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)