主要参考文献

[1] A. Addazia & A. Marcianò, arXiv: 1802.09940;

[2] J. Mielczarek & M. Szydłowski, arXiv: 0803.1742;

[3] R. Gurau, arXiv: 0802.0940.

图景

quad 我们将展示圈量子引力与弦理论实际上是一体两面，它们是同一个理论中的两个理论且互相对偶，这归结于以下的示意图：

begin{align*} &color{red}{圈量子引力}overset{color{red}{Htextsf-对偶}}{color{red}{longleftrightarrow}}~mathrm{M}textsf-理论~Longleftrightarrow bigg[mathrm{IIB}型超弦overset{Ttextsf-对偶}longleftrightarrow~mathrm{IIA}型超弦/ &overset{S_1textsf-对偶}longleftrightarrow 11维超引力 overset{Itextsf-对偶}longleftrightarrow E_8times E_8杂化超弦overset{Ttextsf-对偶}longleftrightarrow mathrm{SO}(32)杂化超弦/ &overset{Stextsf-对偶}longleftrightarrow mathrm{I}型超弦bigg] end{align*}/

更准确地说，我们要考虑的是 7 维 G_2textsf- 流形上的拓扑 mathrm Mtextsf- 理论^{[1]。然后利用这样的玩具模型（基于美学考虑，这个模型或许可以称为tM/LQG对偶，仿照adS/CFT对偶的格式），意会Mielczarek-Szydłowski给出的相关数据与计算方法（夹了很多私货，划掉）。}

背景理论

7维流形的G2结构

quad 我想先谈谈什么是流形的 Gtextsf- 结构，粗略地说，我觉得它有很多的动机来源于分类空间，交换图表直观地讲，所谓的 Gtextsf- 结构大抵指的就是 Xrightarrowmathbf{B}G 这样一个过程，其中 G 代表Lie群。更直接地，从 Xmapsto T_X 的态射的伴随应该是 X 到分类空间 mathbf{B}mathrm{GL}(n) 的态射，即：

begin{CD} X@>Gtextsf-结构>>mathbf{B}G/ @| @VVmathrm{str}V/ X@>>>mathbf{B}mathrm{GL}(n) end{CD}/

右侧实质上也就是 Ghookrightarrowmathrm{GL}(n) 的分类版本。

quad 精确地说，给定光滑 Gtextsf- 主丛的光滑模叠^{[2]mathbf{B}G ，相应也可以取另一个光滑 Htextsf- 主丛的光滑模叠 mathbf{B}H ，如此便有一个态射 c:mathbf{B}Grightarrow{mathbf B}H [3]。对于光滑流形 X ，设 Irightarrow X 是一个 Ktextsf- 主丛， k: Xrightarrowmathbf{B}K 是态射。我们这里尽可能直观地去描述基于流形的版本，而不是基于Lie群胚的版本（这是因为前者更便于理解，且更具有几何直观），所以取 mathscr{S}(X,mathbf{B}G) 是其对应的光滑叠，如此就可以刻画 I 上的 Gtextsf- 结构为：}

Gtextsf-mathrm{Struc}_I(X):=mathscr S(X,mathbf{B}G)underset{mathscr H(X,mathbf B K)}times {k}/

使得下图交换：

begin{CD} Gtextsf-mathrm{Struc}_I(X)@>>>*/ @VVV@VV k V/ mathscr S(X,mathbf B G)@>>>mathscr S(X,mathbf B K)/ end{CD}/

这样的叠 mathscr S(X,mathbf B G) 也被称为 I 上的 Gtextsf- 结构群胚（这一概念的其他经典讨论来源于无穷^{[4]平展群胚上的相应结构）。}

quad 我们常说的 G_2textsf- 流形就是 Gtextsf- 流形^{[5]的一个特例，其是通过选取 G 为八元数群 mathbb{O} 对应的Lie群构造，即其的自同构群 mathrm{Aut}(mathbb O) 得到的（我们有时把这种群记作 G_2 ，当然我们也知道 G_2hookrightarrowmathrm{GL}(7) ）。因此，这类 7 维流形就被我们称为 G_2textsf- 流形。如果这样还不够直观，我们可以给出等价于其定义的其的几个特征：}

（1）其上的 Gtextsf- 结构是闭形式，即 mathrm{d}G=0 ；

（2）其上的 Gtextsf- 结构是余闭形式，即设 star 是Hodge星算子，有 mathrm dstar G=0 ；

（3）设 G 上的联络为 nabla ，有 nabla G=0 ；

（4）对于 G 上的度规 g ，存在和乐群 H(g)subset G_2 ；

（5）对于 G 上的度规 g ，Ricci流 mathrm{Ric}(g)=0 ；

（6）对于 G 上的度规 g ，Ricci标量 R(g)=0 ；

（7） G 无扭；

只要 X 与同时满足如上的 G 相容，我们就可以说其上容许 G_2textsf- 结构。

quad 让我们考虑一些 Gtextsf- 结构的特例，这部分内容有关于量子场论中我们时常用到的几个群，并且实际上有许多相关的描述。

【数域】——【 Gtextsf- 结构】——【和乐群】——【维数】

【 mathbb C 】——【Kähler流形/Calabi-Yau流形】——【 mathrm{U}(n) / mathrm{SU}(n) 】——【 2n 】

【 mathbb H 】——【四元Kähler流形/超Kähler流形】——【 mathrm{Sp}(1) & mathrm{Sp}(n) / mathrm{Sp}(n) 】——【 4n 】

【 mathbb{O} 】）——【 mathrm{Spin}(7)textsf- 流形/ G_2textsf- 流形】——【 mathrm{Spin}(7) / G_2 】——【 8 / 7 】

我们之后的讨论都将基于一个配备 G_2textsf- 结构的 7 维流形 mathcal M 进行（而且，记其保的3-形式为 Phi ）。

7维G2流形的ADM分解

quad 我们可以通过一般的场论手段猜测，流形 mathcal{M} 上的Hamilton作用量大致为何等形式。对于流形 mathcal{M} 所保的3-形式 Phi ，根据圈量子引力中的构造，我们可以考虑度规 h=h(Phi) 满足：

sqrt h h_{ab}=Phi_{acd}Phi_{bef}Phi_{ghi}varepsilon^{cdefghi}/

此时 G 相当于是一个4-形式场，整体的作用量大致形如：

S=int_mathcal{M}mathrm{vol}_mathcal{M}sqrt{h}/

对其的ADM分解自然就是取 Sigma 为一个 6 维流形使得 mathcal{M}=Sigmatimes mathbb R ，此时相应的作用量被称为Hitchin作用量，即以 g 与 Phi 为引力参量的Hamilton作用量：

S_mathrm{Hit}[g,Phi]=int_mathcal{M}mathrm{vol}_mathcal{M}[sqrt g-g^{ab}sqrt h h_{ab}]/

接下来就是老生常谈的构造了，我们构造正则动量 pi=frac{delta S_mathrm{Hit}}{delta dotbeta_{ij}} ，给出形变代数^[6]：

[beta_{ij}(x),pi^{kl}(y)]=delta^{kl}_{ij}delta^{(6)}(x-y)/

设 widetilde{kappa}^j_i=Phi_{ikl}Phi_{mno}varepsilon^{klmnoj} ，对应的Hamilton量 mathcal{H} 应该总能分成动量项与3-形式项两部分，即：

mathcal{H}=mathcal{H}_0-cmathcal{H}_1/

圈量子引力的方法论直接告诉我们如何去构造它们，即：

begin{align*} mathcal H_0&=pi^{ij}pi^{kl}pi^{mn}varepsilon_{ijkl} / mathcal{H}_1&= widetilde{kappa}^j_i widetilde{kappa}^i_j/ end{align*}/

给定测试函数 M,N 并引入修正因子 a ，我们有标量约束：

begin{align*}mathcal{H}(N)&=int_Sigma mathrm{vol}_Sigma N(mathcal{H}_0-amathcal{H}_1)/ &=int_Sigma mathrm{vol}_Sigma N(pi^{ij}pi^{kl}pi^{mn}varepsilon_{ijklmn}-awidetildekappa^j_iwidetilde kappa^i_j)end{align*}/

相应有形变代数：

[mathcal{H}(N),mathcal{H}(M)]=int_Sigma D_j omega^j_{NM}=int_Sigma D_j[18a (Npartial_i M-Mpartial_i N)pi^{ik}widetilde{kappa}^j_k]/

M-理论规约到圈量子引力

quad 这部分内容在我之前的文^{[7]中介绍过了，在此作简要说明。从 3 维流形 partialmathcal{M} [8]开始，通过考虑这个流形上的 mathrm{SU}(2)textsf- 1-形式 e 与 mathrm{SU}(2)textsf- Yang-Mills联络 A ，度规可以被表示为如下形式：}

g_{ab}=-frac{1}{2}mathrm{tr}(e_a e_b)/

从而Einstein-Hilbert作用量可以改写为：

S=int_{partialmathcal{M}}mathrm{tr}bigg(ewedge F+frac{Lambda}{3}ewedge ewedge ebigg)/

构造Yang-Mills联络 mathcal{A}=begin{equation}left{begin{aligned} mathrm{SL}(2,mathbb C)textsf-联络quad& Lambda<0/ mathrm{ISO}(3)textsf-联络quad& Lambda=0/ mathrm{SU}(2)timesmathrm{SU}(2)textsf-联络quad &Lambda>0/ end{aligned}right.end{equation} ，如此有Chern-Simons作用量（此时我们可以用一般形式书写，因为这是普适成立的）：

S=int_Mmathrm{tr}bigg(mathcal{A}wedgemathrm d mathcal{A}+frac{2}{3}mathcal{A}wedge mathcal{A}wedgemathcal{A}bigg)/

另外我们在 3 维LQG常用到的是 @唐子骞 老师的文章 Turaev-Viro模型 中提到的 mathrm{TV}(Delta) ，我们考虑的是一个 6j~textsf- 体量子系统，即：

begin{align*}mathrm{TV}(Delta)&=bigg[-frac{bigg(sqrt{q}-frac{1}{sqrt{q}}bigg)^2}{2k}bigg]^Vsum_{j_e}prod_{边}[2j_e+1]_qprod_{四面体}(6j)_q/ &=bigg[-frac{bigg(sqrt{q}-frac{1}{sqrt{q}}bigg)^2}{2k}bigg]^Vsum_{j_e}prod_{边}frac{sqrt{q^n}-frac{1}{sqrt{q^n}}}{sqrt q-frac{1}{sqrt q}}prod_{四面体}(6j)_qend{align*}/

任取无穷三角剖分概形 M=(M,mathcal{O}_M) ， mathrm{TV}(Delta) 总是其上的拓扑不变量。

quad 接下来考虑 4 维圈量子引力，照例给定 mathrm{SU}(2)textsf- Yang-Mills场 A^k ， mathrm{SU}(2)textsf- 对称表示给出的标量场 Psi_{ij} ，此时广义Palatini作用量为：

S_mathrm{GP}[Sigma,F]=int_{mathcal{M}^4}Sigma^kwedge F_k-frac{Lambda}{24}Sigma^kwedgeSigma_k+Psi_{ij}Sigma^iwedge Sigma^j/

其中 Sigma^k=-eta^k_{ab}e^awedge e^b ，关于标架等内容请参考 @Monsoon 老师的 自旋联络与标架语言 等文章，这里我直接把这仨分量算出来放在这：

(Sigma^1,Sigma^2,Sigma^3)=(e^1wedge e^2-e^3wedge e^4,e^1wedge e^3-e^4wedge e^2,e^1wedge e^4-e^2wedge e^3)/

如此 mathcal{M}^4 上的度规 sqrt{g}g_{ab}=-frac{1}{12}Sigma^i_{aa_1}Sigma^j_{ba_2}Sigma^k_{a_3a_4}varepsilon^{ijk} varepsilon^{a_1a_2a_3a_4} 。

quad 针对规约也就是取完备 7 维流形 X ，选定 m 维向量丛与 n 维链 M 使得 m+n=7 ，这点观察来自于某些低维引力上。可以看出， (m,n)=(4,3),(3,4) 都是可以被讨论的。M-理论的运动方程为：

mathrm dPhi=0,quad mathrm d_{starPhi}Phi=0/

通过上面对圈量子引力的讨论，可以看出第一个方程等价于：

mathrm de=-Awedge e- ewedge A,quad mathrm d A=-Awedge A-Lambda ewedge e/

还等价于Chern-Simons引力给出的运动方程：

mathrm dmathcal{A}+mathcal{A}wedgemathcal{A}=0/

第二个方程 mathrm d_{starPhi}Phi=0 只需要观察到 Phi=Ae^{123}+Be_iwedge Sigma^i 这样的形式，让其中 Sigma^1=alpha^{12}-alpha^{34} 并其他指标以此类推， alpha^i 代表纤维投影中的1-态射，即 D_Ay^i 即可，这样就有：

Phi=alpha^{123}+alpha^1wedgesum_{o=1}^3alpha^owedge Sigma^o/

M-理论的量子化

quad 有了上面的铺垫，只需要取1-形式 beta 的和乐（基于美学考虑，这里使用与下文不同的记号）：

mathcal{H}[S]=expbigg(int_Sbetabigg)/

此时动量流 Pi[A]=int_Api_A^* 。设 S,A 的相交数 #(S,A) ，定义Poisson括号为：

[mathcal H[S],Pi[A]]=#(S,A)mathcal{H}[S]/

此时就可以用自旋网络分解确定其的量子位形空间，粗略地说，圈量子引力所用的 mathscr H_mathrm{kin} 可以分解为若干 1 维子空间的正交直和，或谓之曰，可以在其中构造一组基（这就是所谓的自旋网络基）。这个 mathscr{H}_mathrm{kin} 一般情况下由Lie群表示论中的Peter-Weyl定理控制，给定Ashtekar-Lewandowski测度 mathrm{d}mu_mathrm H ，有：

L^2[mathrm{SU}(2),mathrm dmu_mathrm H]=bigoplus_{j}[mathscr H_jotimesmathscr H_j^vee]/

此时 mathscr H_j 被视为 (2j+1) 维的载波空间。自旋网络函数 pi^j_{mn} 的归一化 {sqrt{2j+1}pi^j_{mn}} 所给出的基：

int_{overline{mathcal A_e}}overline{pi^{j'}_{m'n'}}pi^J_{mn}mathrm dmu_e=frac{1}{2j+1}delta^{j'j}delta_{m'm}delta_{n'n}/

就是自旋网络基（不难看出它标准正交）。图论式地直观叙述，首先对一般的复Hilbert空间有：

begin{align*} mathscr H_alpha&=bigotimes_{e}mathscr H_e=bigotimes_ebigg{bigoplus_j[mathscr H^e_jotimes (mathscr H^e_j)^vee]bigg}=bigoplus_{j_1,cdots,j_N}left{bigotimes_e [mathscr H^e_jotimes(mathscr H^e_j)^vee]right}/ &=bigoplus_{j_1,cdots,j_N}bigg{bigotimes_v[mathscr H^{v=s(e)}_{j_1(s),cdots j_N(s)}otimes mathscr H^{v=t(e)}_{j_1(t),cdots,j_N(t)}] bigg} end{align*}/

注意，指标 j_1,cdots,j_N 事实上给每个边都分配了一个 mathrm{SU}(2)textsf- 表示，那么对于每个顶点也有：

begin{align*}mathscr H^{v=s(e)}_{j_1(s),cdots,j_N(S)}&=bigotimes_{s(e)=v}mathscr H^e_j/ mathscr H^{v=t(e)}_{j_1(t),cdots,j_M(t)}&=bigotimes_{t(e)=v}(mathscr H^e_j)^vee end{align*}/

利用Clebsch-Gordon分解，得到：

mathscr H_{j_1(s),cdots,j_N(s)}^{v=s(e)}otimesmathscr H^{v=t(e)}_{j_1(t),cdots,j_N(t)}=bigoplus_{l}mathscr H^v_{j_1(v),cdots,j_N(v),l}/

那么动力学Hilbert空间就是 mathscr H_mathrm{kin}=bigoplus_{alphainmathscr L}(mathscr H'_alphaoplus mathbb C) ，设指标：

s=(gamma(s),j_{1}(s),cdots,j_N(s),m_1(s),cdots,m_N(s),n_1(s),cdots,n_N(s))/

此时自旋网络基就是 Pi_s:=prod_{ein E[gamma(s)]}sqrt{2j_e+1}pi^{j_e}_{m_en_e},quad j_ene 0 ， left<Pi_s|Pi_{s'}right>_mathrm{kin}=delta_{ss'} 就构成动力学Hilbert空间中的一组标准正交基。遵循范畴论地精神，这是一个函子：

begin{align*} T:mathscr H_mathrm{kin}&longrightarrow widetilde{mathscr H}/ Psi&longmapstowidetildePsi(s)=left<Pi_s|Psiright>_mathrm{kin} end{align*}/

动力学Hilbert空间中的联络表示与 widetilde{mathscr H} 自旋网络表示由（逆）Fourier变换保得。对于上述讨论得情况，也可以定义一个自旋网络 Gamma 使得 left<Gamma|Psiright>_mathrm{kin}=Psi(Gamma) 。

quad 至于维数的规约，从 11 维超引力理论 S_mathrm{SG}=int_{mathcal{M}^{(11)}}mathrm d awedge mathrm da wedge a 出发，我们构造这样的拓扑图景：

mathcal{M}^{(11)}=mathbb Rtimes Sigma_6 times mathbb S^1times mathbb R^3/

此时 pi^*=int_{mathbb R^3}Pi^* ，相应的形变代数也可以拆分到这种图景上：

begin{align*}[beta_{ij}(x),pi^*_{klmn}(y)]&=int_{mathbb S^1}mathrm dthetaint mathrm{vol}_{mathbb R^3} x^{alphabetagamma}[a_{theta ij},Pi^*_{klmnalphabetagamma}]/&=varepsilon_{ijklmn}delta^{(6)}(x-y)end{align*}/

圈量子修正下的Aharonov-Bohm效应

quad 接下来的电磁学讨论都取Coulomb规范，即 chi= q^{ab}partial_apartial_b 。从规范固定条件开始，我们取Coulomb规范固定，即 chi^i=partial^a A^i_a=frac{1}{2pi}partial^a f^i alpha_a(x)=0 ，其中：

alpha_a(x)=bigg(-frac{y}{x^2+y^2},frac{x}{x^2+y^2},0bigg)/

这部分已是电磁学的经典内容，不多作赘述。沿着道路 ell 作和乐得到：

h_ell[A]=expbigg[frac{mathrm i}{2pi} f^itau_iint _ell mathrm dx^aalpha_a bigg]/

此时（Yang-Mills的）磁场 B^a_iequiv frac{1}{2}varepsilon^{abc}F^i_{bc} ，直接读出来就是：

B^a_i=int_ellmathrm d sf_i dot x^a(s)delta^{(3)}(x-x(s))/

代入面 S 上的流 mathcal{F}_S={}_Smathcal{F}_i[B]=int_S mathrm dsigma^1mathrm d sigma^2 varepsilon_{abc}B^a_i(X(sigma))partial_1 X^bpartial_2 X^c 得到：

mathcal{F}_S=int_ellmathrm d sint_Smathrm dsigma^1mathrm dsigma^2 varepsilon_{abc}f_i dot x^a(s)partial_1 X^b partial_2 X^c delta^{(3)}(X(sigma)-x(s))/

拓扑地说，此时的（相对）模空间 widetilde{M}_{g,n}={f^iinmathbb S^3}/mathrm{SU}(2) ，不难看出其中的元素其实具有类似闭弦的那种周期性，大抵就是 phiin[0,2pi] 。注意到之前所述的自旋网络中的结果（ widetilde{mathscr H} 的标准内积）：

left<widetildePsibig|widetilde Psi'right>_mathrm{kin}:=sum_{sin S}overline{widetildePsi(s)}widetildePsi'(s)/

考虑Faddeev-Popov行列式 Delta_mathrm{FP}(widetilde{M}_{g,n}) ，此时 left<g|g'right> 仿照上式作路径积分为：

begin{align*}left<g|g'right>_mathrm{kin}&=intmathcal{D}Aoverline{Psi}_g[A]Psi_{g'}[A]/ &=int prod_{r}mathrm d widetilde{M}_{g,n}^r {det}^mathrm{Jac}(widetilde{M}_{g,n}^r)Delta_mathrm{FP}(widetilde{M}^r_{g,n})overline{g}(widetilde{M}_{g,n}^r) g'(widetilde{M}_{g,n}^r)end{align*}/

取场的形式，即 mathrm d^2Phi=phi^2mathrm dphi mathrm d^2 v^i ，此时Jacobi行列式 {det}^mathrm{Jec}(phi)=phi^2 。在我们选择的规范固定条件下，规范系数为 -delta_{ij}Delta-frac{1}{2pi}varepsilon_{ijk} Phi^kalpha^apartial_a ，本征值 lambda_n=n^2+frac{n}{2pi}phi ，其中 n=pm 1,pm 2,cdots 。计算相应的Faddeev-Popov行列式：

begin{align*} Delta_mathrm{FP}(phi)&=cfrac{det K(Phi^i)}{det K(0)}=cfrac{prod^{+infty}_{n=1}lambda_n(phi)^2lambda_{-n}(phi)^2}{lambda_n(0)^2lambda_{-n}(0)^2}/ &=cprod^{+infty}_{n=1}bigg[1-bigg(frac{phi}{2pi}bigg)^2bigg]=cfrac{sin^2(phi/2)}{phi^2/4}/ end{align*}/

这里的常数归一化之后就没了，代回去之后得到：

left<g|g'right>_mathrm{kin}=frac{1}{pi}int^{2pi}_0sin^2(phi/2)overline gg'/

还是像上文那样写的直观一点，就是选俩图 mathfrak{G}_1,mathfrak{G}_2 ，然后：

begin{align*}left<mathfrak{G}_1|mathfrak{G}_2right>_mathrm{kin}&= intmathcal D A overline{Psi_{Gamma,mathfrak G_1}}[A]overline{Psi_{Gamma',mathfrak G_2}}[A]/ &=int_{mathrm{SU(2)}^L}prod^L_{ell=1}mathrm dmu_mathrm H (h_ell) overline{mathfrak{G}_1}(h_1,cdots,h_L) mathfrak{G}_2(h_1,cdots,h_L)end{align*}/

还是用那套表示论方法，得到 left<{}_1mathfrak G_{j_1 i_n}|{}_2mathfrak G_{j'_ell i_n'}right>_mathrm{kin}=prod_ell delta_{j_ell j_{ell'}}prod_ndelta_{i_ni_{n'}} ，进而构造Ashtekar-Isham-Lewandowski态 Psi_{ell,mathfrak G_1}[A]=mathfrak G_1(h_ell[A]) 。这些讨论只要取 f(phi)=mathfrak G_1(mathrm e^{mathrm itau_3phi}) 就归约到上面的情况，也就是 left<mathfrak G_1|mathfrak G_2right>_mathrm{kin}=left<g|g'right>_mathrm{kin} 。

自旋网络分解的同伦群方法

quad 上述中关于（相对）模空间 widetilde{M}_{g,n} 的讨论促使我们寻找其背后暗藏的拓扑信息，一个好的想法便是利用同伦群构造一个关于规范变换的版本。设规范变换群为 G ，我们考虑一个同伦群 pi_1(Sigma-S,G) ，如此模空间为：

widetilde{M}_{g,n}=mathrm{Hom}[pi_1(Sigma-S,G),G]/

我们若以其中元素 m_r 来表其，即以 {m_r} 代替以上记号，那么相应可以有：

Psi_{Gamma,mathfrak G}[A^{m_r,g}]= f(m_1,cdots,m_r)/

其中 Psi_{Gamma,mathfrak G}[A]=mathfrak G(h_{ell_1}[A],cdots,h_{ell_L}[A]) ，如此 mathfrak{G} 便取值于 mathrm{SU}(2) ，即：

mathfrak G:mathrm{SU}(2)^Lrightarrow C/

内积 left<f|gright> 的形式也就如上文所述了：

left<f|gright>=int mathcal D AoverlinePsi_f[A]Psi_g [A]=int_{widetilde M_{g,n}}mathrm dmu(m_r)overline f(m_1,cdots,m_r)g(m_1,cdots,m_{r'})/

M理论/圈量子引力对偶宇宙学

平直FRW时空的情况

quad 接下来我们来进行基于这个玩具理论的一些具体情况讨论，首先就是针对宇宙学的一些基本内容。为了给闭弦作用量 S[phi,g_{ab},B_{ab}] 引入圈量子引力修正，我们采用一些共形场论方法。这里我先写出闭弦作用量的形式：

begin{align*}S[phi,g_{ab},B_{ab}]&=frac{1}{2kappa_D}int mathrm d^D xsqrt{-g}mathrm e^{-phi}bigg[R+(nablaphi)^2-frac{1}{12}H^2-V(phi)bigg]/ &=frac{1}{2kappa_D}int mathrm d^D xsqrt{-g}mathrm e^{-phi}bigg[R+(nablaphi)^2-frac{1}{12} H_{abc}H^{abc}-V(phi)bigg]end{align*}/

对度规作共形变换 g_{ab}mapsto widetilde g_{ab}=expbigg(-frac{2}{D-2}phibigg)g_{ab} ，作用量变为：

S=frac{1}{2kappa_D}intmathrm d^D xsqrt{-widetilde g}bigg[widetilde R-frac{1}{D-2}(widetildenabla phi)^2-frac{1}{12}mathrm e^{-frac{4}{D-2}phi}widetilde H^2-mathrm e^{frac{2}{D-2}phi}V(phi)bigg]/

取 4 维形式，即 D=4 ，有：

{}^{(4)}S=intmathrm d tmathcal L=frac{1}{16pi G^{(4)}}intmathrm d^4 x sqrt{-widetilde g}bigg[widetilde R-frac{1}{2}(widetilde nabla phi)^2-mathrm e^phi V(phi)bigg]/

通过定义Ashtekar联络 F=mathrm dA+frac{1}{2}[A,A] ，根据联络动力学的基本理论，有广义Palatini Hamilton量：

begin{align*}{}^{(4)}mathcal H_mathrm{GP}&=intmathrm d^3 x (N^i G_i+N^aC_a+Nh_mathrm{scalar})/ &=intmathrm d^3 x[N^iD_a E^a_i+N^aE^b_iF^i_{ab}-(1-beta^2)N^aK^i_a G_i]+Nh_mathrm{scalar}end{align*}/

其中 beta 是Barbero-Immirzi参数；相应的标量约束为：

begin{align*}{}^{(4)}mathcal H_mathrm{GP}(N)&= intmathrm d^3 xN h_mathrm{scalar}/ &=frac{1}{16pi G^{(4)}}intmathrm d^3 x Nbigg[frac{E^a_i E^b_j}{sqrt{|det(E)|}}varepsilon^{ij}_k -2(1+beta^2)frac{E^a_i E^b_j}{sqrt{|det(E)|}}K^i_{[a}K^j_{b]}bigg]/ end{align*}

设 (widetilde phi,U(widetildephi))=bigg(frac{phi}{sqrt{16pi G^{(4)}}},frac{1}{16pi G^{(4)}}mathrm e^{phi}V(phi)bigg) ，相应的胀子广义Palatini Hamilton量为：

{}^{(4)}mathcal{H}_{widetilde phi}=intmathrm d^3 x Nbigg[frac{pi^2_{widetildephi}}{2sqrt{|det(E)|}}+frac{E^a_i E^b_i }{2sqrt{|det(E)|}}partial_awidetildephipartial_bwidetildephi +sqrt{|det(E)|} U(widetildephi)bigg]/

取平直FRW时空，作ADM分解得到 mathrm d widetilde s^2=-N^2mathrm dwidetilde t^2+q_{ab}mathrm d x^amathrm d x^b ，度规 q_{ab} 可表示为：

q_{ab}=delta_{ij}omega^i_aomega^j_b=widetilde a^2(t)q_{ab}/

利用圈量子引力中的Ashtekar变量 (A,E)=(Gamma+beta K,sqrt{|det(q)|}e) ，选取基准度规 {}^circ q_{ab} ，从而得到：

(A,E)=(cV_0^{-1/3}{}^circ omega^i_atau_imathrm dx^a,pV_0^{-2/3}sqrt{{}^circ q}{}^circ e^a_i tau_ipartial_a)/

此时标准FRW引力变量 (c,|p|)=(betadot{widetilde a}(t)V^{1/3}_0,widetilde a^2V^{2/3}_0) ，如此得到的（非圈量子引力水平）Hamilton量为：

{}^{(4)}mathcal H=-frac{3}{8pi G beta^2}sqrt{|p|}c^2+frac{pi^2_{widetildephi}}{|p|^{3/2}}+|p|^{3/2}U(widetildephi)/

考虑此时流 mathcal F_S={}_Smathcal F_i[E] 对应的和乐：

h^{(mu)}_i=expbigg( int^{mu V^{1/3}_0}_0 mathrm dx^atau_i c V_0^{-1/3}{}^circomega^i_abigg)=bigg[mathbb Icosbigg(frac{1}{2}mu cbigg)+2tau_isinbigg(frac{1}{2}mu cbigg)bigg]/

那么 h^{(mu)}_{alpha_{ij}}=h_i^{(mu)}h_j^{(mu)}h_i^{(mu)-1}h^{(mu)-1}_j ，Ashtekar联络此时为：

F^k_{ab}=-2varprojlim_{Arrightarrow 0}frac{mathrm{tr}bigg[tau_k(h^{(mu)}_{alpha_{ij}}-mathbb I)bigg]}{mu^2 V^{2/3}_0}{}^circ omega^i_a{}^circ omega^j_b/

正如 @Kangning Liu 在 CFT中的纠缠熵 所述的一种计算方法一样，此时也是计算迹更方便一点，也就是：

mathrm{tr}bigg[tau_k(h^{(mu)}_{alpha_{ij}}-mathbb I)bigg]=-frac{1}{2}varepsilon_{kij}sin^2(mu c)/

其实这也是因为在圈量子宇宙中，这个极限 Arrightarrow 0 是病态的。这里需要借助全息理论的最小量子面积，也就是所谓的 Delta=2sqrt 3 pi betaell_mathrm{Pl}^2 ，如此修正之后极限中的 mu 就变为：

mu=overlinemu=sqrt{frac{Delta}{|p|}}/

但是，遵此构造出的 {}^circmutextsf- 概形不一定有经典投射极限，而且也不一定有足够好的物理性质。截至目前的一个办法是引入晶格模型 mu(p)propto|p|^n ，其中 nin[-1/2,0] 。

膨胀速度的预言

quad 很遗憾，这个问题目前还没有比较好的解决办法，因此我们只能暂且使用 cmapsto frac{sin(overlinemu c)}{overlinemu} 这种权宜之计使得我们的理论起码不那么病态，由此得到的有效Hamilton量为：

{}^{(4)}mathcal{H}_mathrm{eff}=-frac{3}{8pi G^{(4)}beta^2}frac{sin^2(overlinemu c)}{overlinemu^2}sqrt{|p|}+frac{1}{2|p|^{3/2}}pi_{widetilde{phi}^2}=0/

第二个等号来自于圈量子引力中的Hamilton约束，相应写出其的Hamilton-Legendre方程：

begin{equation} left{ begin{aligned} dot p&=[p,mathcal H_mathrm{eff}]=frac{2}{beta}frac{sqrt{|p|}}{overlinemu}sin(overlinemu c)cos(overlinemu c)/ dot c&=[c,mathcal{H}_mathrm{eff}]=-frac{1}{beta}frac{partial}{partial p}bigg[sqrt{|p|}frac{sin^2(overlinemu c)}{overlinemu^2}bigg]-mathrm{sgn}(p)frac{1pi G^{(4)}beta}{2|p|^{5/2}}pi^2_{widetildephi}/ dot{overlinephi}&=[overlinephi,mathcal{H}_mathrm{eff}]=|p|^{3/2}pi_{overlinephi}/ dotpi_{widetildephi}&=[pi_{widetildephi},mathcal H_mathrm{eff}]=0/ end{aligned} right. end{equation}/

如此 p(widetilde t)=mathrm{sgn}(p)bigg[frac{4pi G^{(4)}}{3}pi^2_{widetildephi}beta^2Delta+12pi G^{(4)}pi^2_{widetilde{phi}}widetilde t^2bigg]^{1/3} 。取标度因子 widetilde a 与Hubble参量 widetilde H ，在参考文献[2]中给出了M理论/圈量子引力对偶下的宇宙学情况：

arXiv: 0803.1742

红线是 widetilde a(widetilde t) 的解，蓝线是Hubble参量 widetilde H 随 widetilde t 的变化情况。

大爆炸假说下的演变情况

quad 取变换 (a,mathrm d t)mapsto(mathrm e^{phi/2}widetilde a,mathrm e^{phi/2}mathrm dwidetilde t) ，如此便有：

begin{align*} phi&=sqrt{16pi G^{(4)}}widetildephi=sqrt{16pi G^{(4)}}intmathrm dwidetilde tfrac{1}{|p|^{3/2}}pi_{widetildephi}/ &=frac{16pi G^{(4)}pi_widetilde{phi}}{sqrt{12pi G^{(4)}pi^2_widetildephi}}int frac{mathrm dwidetilde t}{sqrt{frac{beta^2}{9}Delta+widetilde t^2}}=frac{2sqrt 3}{3}mathrm{sgn}(pi_widetildephi)mathrm{arcsinh} bigg(frac{3widetilde t}{betasqrtDelta}bigg)/ end{align*}/

此时能量密度 rho=frac{1}{2}dot{widetilde{phi}}^2 ，（热）大爆炸在我们的理论中被视为一种阶段，发生时的能量为：

rho_mathrm{BB}=frac{3}{8pi G^{(4)}beta^2Delta}/

参考文献[2]给出了相应的图景：

arXiv: 0803.1742

红线代表胀子场 widetilde{phi}=widetildephi(widetilde t) 的演化，蓝线代表胀子能量密度 rho=frac{1}{2}dot{widetildephi}^2 的演化。对于 widetilde t 在负值时， g_s^2 迅速衰减为零，使得在大爆炸发生之前的宇宙并没有什么相互作用现象。为了直观，我们把 g_s^2 的表达式列于此：

g^2_s=expbigg[frac{2sqrt 3}{3}mathrm{sgn}(pi_widetilde{phi})mathrm{arcsinh}bigg(frac{3widetilde t}{betasqrtDelta}bigg)bigg]/

在大爆炸发生后，我们的 g^2_s 不断增长，而且它在所需范围内一定是单调增长的。这其实相当没有必要，因为对于耦合常数，我们更希望它足够饱和（存在胀子势 U(widetildephi) 时就是这种情况）。

quad 标度因子 a=a(widetilde t) 在我们的理论中大抵形如如下：

a(widetilde t)=V_0^{1/3}expbigg[frac{sqrt 3mathrm{sgn}(pi_widetildephi)}{3}mathrm{arcsinh}bigg(frac{3widetilde t}{betasqrtDelta}bigg)bigg]bigg[frac{4pi G^{(4)}}{3}pi^2_widetildephibeta^2Delta+12pi G^{(4)}pi^2_widetildephi widetilde t^2bigg]^{1/6}/

标度因子与耦合常数的演化图景为：

arXiv: 0803.1742

红线为标度因子 a(widetilde t) 的演化，蓝线为耦合常数 g_s^2 的演化。

quad 反推回时间 t ，相应的量也都回到依赖时间 t 的情况：

begin{align*}t&=intmathrm dwidetilde texpbigg[frac{sqrt 3 mathrm{sgn}(pi_widetildephi)}{3}mathrm{arcsinh}bigg(frac{3widetilde t}{betasqrtDelta}bigg)bigg]/ &=frac{1}{2}bigg[3widetilde t-frac{sqrt 3}{3}mathrm{sgn}(pi_widetildephi)sqrt{beta^2Delta+9widetilde t^2}bigg]expbigg[frac{sqrt 3}{3}mathrm{sgn}(pi_widetildephi)mathrm{arcsinh}bigg(frac{3widetilde t}{betasqrtDelta}bigg)bigg]/end{align*}/

在大爆炸之后的宇宙，标度因子 a(t)propto t^{1/sqrt 3}approx t^{0.557} 且任取 tgg 0 有 phi(t)propto log t ，此时耦合常数 g^2_spropto t^{sqrt 3-1}approx t^{0.732} 。

其他参考文献

[1] A. Ashtekar & J. Lewandowski, arXiv: 0404018;

[2] A. Ashtekar, Phys. Rev. D36 (1987) 1587;

[3] A. Ashtekar & J. Lewandowski, arXiv: 0264.9381;

[4] M. Han, W. Huang, Y. Ma, arXiv: 0509064;

[5] T. Thieman, arXiv: 0210094.

参考

1. ^本文中将不对M理论与拓扑M理论进行区别
2. ^这里指的是moduli，不是module
3. ^基于美学考虑，我们使用分类空间的首字母c来表征
4. ^在本文中，无穷一词指的是高等代数意义下的(infty,1)-结构，包括相应的函子等，均以无穷为标记
5. ^带G-结构的流形 = G-流形
6. ^这里的称谓源自Han-Huang-Ma，实际上你可以就理解成Poisson代数在这个方面的一个黑话
7. ^https://zhuanlan.zhihu.com/p/453524446
8. ^注意，这里只是一个记号上的，而不理解为刚才的流形M的边界